奥数：排列组合的基本理论和公式
一、排列组合的基本理论和公式，排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。如231与213是两个排列，2，3，1的和与2，1，3的和是一个组合。
(一)两个基本原理是排列和组合的基础 :
(1)加法原理:做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有m12种不同的方法，……，在第n类办法中有m种不同的方法，n
那么完成这件事共有N,m，m，m，…，m种不同方123n法。
(2)乘法原理:做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有m种不同的方12法，……，做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事n
共有N,m×m×m×…×m种不同的方法。 123n
这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理;做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。
这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来。
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表
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示从5个元素中取出3个，总共有多少种不同的取C5
法。这是组合的运算。例如:从5个人中任选三个人去参加比赛，共有几种选法,这就是从5个元素中取出3个的组合
33运算。可表示为。其计算过程是=5!/[3!×(5-3)!] CC55
叹号代表阶乘，5!=5×4×3×2×1=120， 3!=3×2×1=6，
3(5-3)～=2～=2×1=2，所以=5!/[3!×(5-3)!]=120/(6×2)=10 C5
针对上面例子，就是从5个人中任选三个人去参加比赛，共有10几种选法。
排列组合公式:
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 n—元素的总个数;r—参与选择的元素个数。 ～—阶乘，如 9～,9×8×7×6×5×4×3×2×1。 举例:
Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数,
A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可
3能，最终共有9×8×7个三位数。计算公式,,9×8×7。 P9
Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”,
A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复
3的个数即为最终组合数 = 9～/3～×6～=9×8×7/3×2×1 C9
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