不等式.均值不等式的应用
均值不等式的应用
典例分析
4【例1】 若，则的最小值是___________( x,0yx,，x
1122【例2】 设abc,,,0，则21025aacc，，,，的最小值是( ) abaab(),
A(2 B(4 C( D(5 25
41【例3】 若为?ABC的三个内角，则的最小值为 ( ABC,,，ABC，
1 智康高中数学.板块三.均值不等式的应用.
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
库
【例4】 设，则( ) ababab,,，，,0,0,24
A(有最大值 B(有最小值 ab，8ab，8
C(有最大值 D(有最小值 ab8ab8
】 已知:(其中表示正实数)， 【例5ab、,RR，，
222222ababaabbabaabb，，，，，，，2()2求证: ??????(ab11abab，，23()23，ab
333abc,,0,【例6】 设，求证:，当且仅当时等号成立， abc,,abcabc，，?3
222abcabc，，，，33进一步证明:，当且仅当abc,,时???abc11133，，abc
各等号成立(
2 智康高中数学.板块三.均值不等式的应用.题库
【例7】 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量(千辆/y
小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间的函数关系为:v
920v( yv,,(0)2vv，，31600
?在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大,最大车流量为多少,v
(精确到千辆/小时) 0.1
?若要求在该时段内车流量超过千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内, 10
【例8】 某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万
元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元(问这种汽车使用多少
年报废最合算?(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)
3 智康高中数学.板块三.均值不等式的应用.题库
【例9】 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图
2中阴影部分)，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏10cm18000cm
之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:)，5cmcm能使矩形广告面积最小,
2【例10】 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为米的无盖长方体沉淀
AB箱(污水从 孔流入，经沉淀后从孔流出(设箱体长度为米，高度为ba
ab,米(已知流出的水中，杂质的质量分数与的乘积成反比(现有制箱材料ab
ab,平方米，问当各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最60
AB,小(孔的面积忽略不计)
AB
b2
a
4 智康高中数学.板块三.均值不等式的应用.题库
2【例11】 设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的宽与高的比为，画,,(1),4840cm
面的上下各留的空白，左右各留的空白，问怎样确定画面的高与宽的8cm5cm
23，，,尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小,如果,,，那么为何值时，能,,,34，，使宣传画所用纸张面积最小,
【例12】 某单位用木料制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为(单位:)xy,m
2的矩形(上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积. 问分别为多xy,8m少(精确到0.01m) 时用料最省?
5 智康高中数学.板块三.均值不等式的应用.题库
2【例13】 某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室(在温室内，沿左(右两800m
侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地(当矩形温13mm
室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大(最大种植面积是多少,
1【例14】 对个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定
污物质量义为:1,)为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99(有两种物体质量(含污物)
方案可供选择，方案甲:一次清洗;方案乙: 分两次清洗(该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为(设用单位质量的水初次清xaa(13)??
x，0.8洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是y(1)xa,,x，1
yac，，其中是该物体初次清洗后的清洁度( c(0.80.99),,cya，
c,0.95?分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少;
?若采用方案乙，当a,1.4时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小?
6 智康高中数学.板块三.均值不等式的应用.题库
【例15】 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为元，如果他卖出该a
m产品的单价为元，则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元，mnma，
a则他的满意度为(如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为na，
hh和，则他对这两种交易的综合满意度为( hh1212
ABAB现假设甲生产、两种产品的单件成本分别为12元和元，乙生产、两种5
AB产品的单件成本分别为元和元，设产品、的单价分别为元和元，320mmAB
ABAB甲买进与卖出的综合满意度为，乙卖出与买进的综合满意度为; hh甲乙
3?求和关于、的表达式;当时，求证:=; hhmm,hmmh甲AB甲AB乙乙5
3?设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大,最mm,mmABAB5
大的综合满意度为多少,
?记?中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得hh?hmm0甲AB0
和同时成立，但等号不同时成立,试说明理由( hh?乙0
7 智康高中数学.板块三.均值不等式的应用.题库
浙公网安备 33021202002483