2009年IMO中国国家队选拔考试试题含答案(第一天

2009年IMO中国国家队选拔考试试题含 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 (第一天 2009年IMO中国国家队选拔考试 第1天 2009年3月31日 8:00-12:30 湖北 武汉 ，，1、设D是三角形ABC的BC边上一点，满足CAD=CBA(圆O经过B，D两点，并分别与线段AB，AD交于E，F两点，BF、DE相交于G点(M是AG的中点(求证:CM?AO( 2、给定整数，求具有下述性质的最大常数:若实数序列,()nn,2 aaaa,,,...,满足 012n 0...,,,,,aaaa， 012n 1及 ，， in,,1,2,...,1aaa,，()iii，,112 则有 nn22()()iana,,. ,,ii,,11ii p3、求证:对于任意的奇素数，满足pn|!1，的正整数的个数不超过n23p，这里是一个与无关的常数. ccp ，，1、设D是三角形ABC的BC边上一点，满足CAD=CBA(圆O经过B，D两点，并分 别与线段AB，AD交于E，F两点，BF、DE相交于G点(M是AG的中点(求证:CM? AO( 证明 如图，连接EF并延长交BC于P，连接GP交AD于K，并交AC延长线于L( A E M F GOK BDPC L 如下图，在AP上取一点Q，满足?PQF,?AEF,?ADB( 易知A、E、F、Q及F、D、P、Q分别四点共圆(记?O的半径为r(根据圆幂定理 知: 2AP,AQ×AP，PQ×AP,AF×AD，PF×PE 2222,(AO,r)，(PO,r)( ? A E Q F G O BPD 22222类似地，可得: AG,(AO,r)，(GO,r)( ? 2222由?，?得AP,AG,PO,GO，于是由平方差原理即知PG?AO( 如下图，对?PFD及截线AEB应用Menelaus定理，得 DAFEPB( ? ，，,1AFEPBD 对?PFD及形外一点G应用Ceva定理，得 DKFEPB( ? ，，,1KFEPBD DADK???即得: ( ? ,AFKF A E F G KO BDP ?表明A，K;F，D构成调和点列，即AF×KD,AD×FK( 再代入点列的Euler公式知: AK×FD,AF×KD，AD×FK,2AF×KD( ? 而由B、D、F、E四点共圆，得?DBA,?EFA(而?CAD,?CBA;故?CAF,? EFA，这就表明AC?EP(由此， CPAF ( ? ,PDFD 在?ACD中，对于截线LPK应用Menelaus定理，得 ALCPDK; ? ，，,1LCPDKA AL将?，?代入?即得( ,2LC 最后，在?AGL中，由M、C分别是AG、AL的中点，故MC是其中位线，得MC? GL(而已证GL?AO，从而MC?AO( aaaa,,,...,,()n2、给定整数，求具有下述性质的最大常数:若实数序列满足 n,2012n 0...,,,,,aaaa， 012n 1及 ，， in,,1,2,...,1aaa,，()iii，,112 则有 nn22()()iana,,. ,,ii,,11ii 2nn(1)，解:的最大值为. ,()n4 2nn(1)，aaa,,,,...1,()n,首先，令，得. 12n4 aaaa,,,...,，有不等式 下面我们证明:对任何满足条件的序列012n 2nnnn(1)，22()()iaa, (*) ,,ii4ii,,11 aan2首先我们证明. ...a,,,12n 2()iaiaa,，事实上，由条件有对任意成立. in,,1,2,...,1iii，,11 aall，1(1)lala，,对于给定的正整数，将此式对求和得，即对il,1,2,...,,11,,,lnll，11，ll 任意ln,,1,2,...,1成立. 2222ikjk,下面我们证明，对于ijkn,,{1,2,...,},，若，则. ij,ikjk，， 2232()2()ikjkjkik，,，()0ijk,,事实上，上式等价于，即，显然成立. aa现在我们来证明(*). 首先对于，来估计的下界. 1,,,ijnij aaji,jaia,,0由前述，知，即. ijij ij22aa,,0aaaa,，又因为，故，即. ()()0jaiaaa,,,ijijjiijjiijij，，这样，我们有: nn222()2iaiaijaa,， ,,,iiijiiijn,,,,,111 22nijij2222 ,,，，2()iaaa,,iji，，ijij,,,,iijn11 2nn2ik2,,()a. ,,i，ikik,,11 2n2ikb,bbb,,,...记，由前面证明可知. ,i12nik，k1, 222又，由切比雪夫不等式，有: aaa,,,...n12 nnn122abab,()(). ,,,iiiin,,,111iii nnn122iaab,()()()这样. ,,,iiin,,,111iii 而 22222nnnnnn2(1)ikijijnn，222 biiiji,,，，,，,,2()2(),,,,,,,,iikijij，，，4,,,,,,,,,,,,iikiijniijni11111111 2nnnn(1)，22()iaa,因此. ,,ii4ii,,11 故(*)获证. 2nn(1)，综上所述，可知的最大值为. ,()n4 23p3、求证:对于任意的奇素数，满足pn|!1，的正整数的个数不超过，这里是一nccp p个与无关的常数. nnn,,,...证明 显然，符合要求的应满足11,,,np. 设这样的的全体是， nn12k 23我们只需要证明，当时结论是显然成立的，下设. kp,12k,12k,12 1...,,,,,,,nn,(11),,,ik将重排成不减的数列. 则显然有 ii，1121k, kk,1 ,,,,,,()nnnnp. ? ,,iiik，11ii,,11 我们首先证明，对，有 s,1 |{11:}|,,,,,ikss,， ? i ,即等于给定的的至多有个. ssi nns,,nnp!1!10(mod)，,，,，则，由此可知(,!)1pn,，故 事实上，设ii，1ii，1i ()(1)...(1)1(mod)nsnsnp，，,，,. iii n故是次同余方程 si ()(1)...(1)1(mod)xsxsxp，，,，, p的一个解. 由于是素数，由拉格朗日定理知，上述同余方程至多有个解，故满足snns,,n的至多只有个值，从而?得证. sii，1i ll(1)，现在我们证明，对任意的正整数，只要，就有. ,,，l1l，,,11kll(1)，，122假设结论不成立，即，那么都是1到中的正整数. 而由?知，,,l,,,,,...,lll(1)，12(1)ll，，1，122 在中，1至多出现1次，2最多出现2次，…，至多出现次，即从1到,,,,,...,lll12(1)ll，，12 ll(1)，ll(1)，的正整数总共至多出现次，这与个数都,,,,,...,，112...，，，,l12(1)ll，，1222是不超过的正整数矛盾～ l mm(1)，设是满足的最大正整数，则 m，,,11k2 mmmm(1)(1)(2)，，， ? ，,,,，111k22 我们有 kmmm,,,,11112,,,,,,，，，,，,，(...)(1)(1)ii,,,,iiiiiiiii(1)(1)(1)(2)(1)，，，，，，，，121iiii,,,,10002222 3mmmm(1)(21)，，,,.63 由于，故，因此，结合?，?可得 k,12m,4 22k,1(1)(2)mm，，233,kmp,，,,,,244(3)4(3). ,i2i,1 这就证明了结论.