高次不等式的解法---穿根法
一．方法:先因式分解,再使用穿根法.
注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).
③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.
例1:解不等式
(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0
(2)
≤1
解:
(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0
根据穿根法如图
不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5}.
(2) 变形为
≥0
根据穿根法如图
不等式解集为
{xx<
或
≤x≤1或x>2}.
【例2】 解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．
【分析】 如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
解：(1)原不等式可化为
x(2x+5)(x-3)＞0
顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．
(2)原不等式等价于
(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0
∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．
【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．
二．
数轴标根法”又称“数轴穿根法”
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为
正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第四步：画穿根线：以数轴为
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，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1
2。
运用序轴标根法解题时常见错误分析
当高次不等式ｆ（ｘ）＞０（或＜０）的左边整式、分式不等式φ（ｘ）／ｈ（ｘ）＞０（或＜０）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（ｘ－ａ１）（ｘ－ａ２）…（ｘ－ａｎ）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间ｆ（ｘ）、 φ（ｘ）／ｈ（ｘ）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图１。
运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：
１． 出现形如（ａ－ｘ）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。
例１ 解不等式ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０。
解 ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴上，由图１可得原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或０＜ｘ＜２或ｘ＞３｝。
事实上，只有将因式（ａ－ｘ）变为（ｘ－ａ）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：
解 原不等式变形为ｘ（ｘ－３）（ｘ＋１）（ｘ－２）＜０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴上，由图１，原不等式的解集为｛ｘ｜－１＜ｘ＜０或２＜ｘ＜３｝。
２． 出现重根时，机械地“穿针引线”
例２ 解不等式（ｘ＋１）（ｘ－１）２（ｘ－４）３＜０
解 将三个根－１、１、４标在数轴上，由图２得，
原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或１＜ｘ＜４｝。
这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：
解 将三个根－１、１、４标在数轴上，如图３画出浪线图来穿过各根对应点，遇到ｘ＝１的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到ｘ＝４的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集
｛ｘ｜－１＜ｘ＜４且ｘ≠１｝
３． 出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”
例３ 解不等式ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ ３－１）＞０
解 原不等式变形为ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ ２＋ｘ＋１）＞０，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。
解 原不等式等价于
ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋１）＞０，
∵ ｘ２＋ｘ＋１＞０对一切ｘ恒成立，
∴ ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０，由图４可得原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或０＜ｘ＜１或ｘ＞２｝
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