不动点原理与递推数列的极限

不动点原理与递推数列的极限 不动点原理与递推数列的极限 第27卷第6期 2009年l1月 泉州师范学院(自然科学) JournalofQuanzhouNormalUniversity(NaturalScience) VoI.27NO.6 NOV.2009 不动点原理与递推数列的极限 施伟民,荣维坚 (1.泉州师范学院理工学院,福建泉州362000;2.漳州师范学院数学系,福建漳州363000) 摘要:递推数列的极限问题,常是用单调有界原理来解决.但当递推数列不是单调时,其方法失效.文章 利用不动点原理的思想,得到解决递推数列极限的存在性问题的一个定理,使得其解法变得更为有效且简洁. 关键词:递推数列;压缩映射;不动点原理 中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1009-8224(2009)06—0014—03 极限的存在与计算的问题一直是数学分析中重要的基本问题.求解极限问题的方法有很多,一般地,求递 推数列=f(x)(=0,l,2,…)的极限,通常是利用单调有界原理来解决.但有些递推数列并不是单调 的,不能直接应用单调有界原理,例如本文中的例1.为了解决这一类递推数列极限的存在与计算的问题,文 [1]介绍了用上,下极限存在并且相等的思想来求解极限的方法,由于需要计算上,下极限并证明它们相等, 解题过程一般比较复杂.考虑到若递推数列的极限存在z一Xo,且-厂(z)在.点处连续,则所求极限值z0一 f(x.)是,()不动点.因此,可利用不动点原理来求解递推数列的极限问题. 不动点原理在实分析中有着十分广泛的应用,用它可十分简单地证明隐函数存在定理,微分方程解的存 在性定理等,特别地,在求一些递推数列极限中它有十分重要的作用.本文旨在通过不动点原理的思想,来解 决递推数列极限的存在性和计算问题,并且其解法也变得更为有效而且简洁. [2设X是度量空间,T是X到x中的映射,如果存在一个数a,0<a<1,使定义1 得对任意的z,Y? X,有 d(Tx,Ty)?ad(x,),(1) 则称T是压缩映射. 引理1(不动点定理)设X是完备的度量空间,丁是x上的压缩映射,那么T有且只有一个不动点(即 方程Tx:z,有且只有一个解). 在引理1的条件下,递推数列一Tx,r一?.是x中柯西点列,并且收敛于T的不动点.因此, 可以利用不动点原理来解决递推数列的极限问题. 由于式(1)条件不易满足,为了使应用更加方便,对于X=a,6]的情况,我们将进一步改进式(1)的条 件,得到了下面加强的不动点定理. 1主要结果 定理l设厂(z)是区间[n,阳到自身的一个映射,若Vz,Y?a,6]且z?Y,有I-厂(z)一,()I< Iz—YI,若.72o?[a,,l—f(x),一0,1,2,…,则{}必收敛,且limz一320满足Xo—f(xo),即zo是 映射厂(z)在区间[n,6]上的唯一的不动点. 证明先证不动点的唯一性. 假设,Y.?[口,6],是厂(z)的不动点,且函?Y.,则有X.=f(x.),Y.一f(Y.).由已知条件,有 J一YoI:lf(x.)一f(y.)I<J函一Y.J,矛盾.故不动点是唯一的. 收稿日期:2009—06—24 作者简介:施伟民(1963一),男,福建泉州人,讲师,从事函数论研究 第6期施伟民等:不动点原理与递推数列的极限15 再证不动点的存在性,即证zf(x)收敛. 由已知Vz,?[.,阳且z?,有l-厂()一厂()l<I—I,从而知,(z)连续,且口?z?6(有界)?记 =sup=spII? 若N?N,使得z,z:0,则有z,:f(x)一f(XN-)一,可得?十z,有z ?_,p—O,1,2,…,故l… iraz一zw.因此,以下均假设,对任给的n>1,zn?'z一-' 当<1时,此时式(1)对数列{z)成立(取一),与不动点定理的证明类似?易证{z)为柯西点列,从而 收敛. 当.一1时,若嘞?N,使得I【一1,则与已知条件i,()一,()f<1z—j矛盾?从而jzn 的子列{),使得 ,. 1!三?二!一1(2)lira———T—————————1—一一1?… 因为{}有界,由致密性定理知,{工)有收敛子列,不妨仍记作{z.}'N_}+ lim .. 一-z.?又因为-厂(z)连续, 故liraX1=limf(x)=f(xo).I一?—+.. 现证明_厂(.)=-z..否则,将上述极限代人式(2),得 !. 兰二!!1. I(o)一XoI 从而与已知条件l厂(z)一,()I<Iz—I矛盾,故 (—):o.. 记:lz一z1,由已知条件知单调递减,且有下界,从而收敛.又由式(3)可知,Y—O,故 一o.设{z,)为{)的任一收敛子列,~].1…imx=.因为,()连续,t~}imz+-一,(,'.?又 一 jz+一.1一O,可得,()=.由不动点的唯一性可知;..即{-z}的任一收敛子列都收敛于 z,从而{)收敛.定理1证毕. 2应用 定理1在解决递推数列极限的存在性和计算问题上有着十分重要的作用,并且其解法显得更为简洁? 例1设1,z-1十蠢,求zn? 这道题是美国大学生数学竞赛题.因为数列{)不是单调的,不能直接应用单调有界原理?通常的解法 是用归纳法说明数列{z}的偶数项单调递增,奇数项单调递减,然后再证明偶数项的极限与奇数项的极限相 等,从而得到limz一,其解题过程相当繁杂.下面利用本文的定理1,给出一个十分简洁的解法? 解考察函数,(.z)=l+,?[1,2],由_厂()的单调性,易知_厂()是[1,2]到自身的映射?另一 方面,V,Y?[1,2]且z?3,,有 l,()一,()I:I1+而1一(1+i_二聿二)l='__二F1而IIz—1' 因为,?[1,2],故I1丁而1<1,即I-厂()一,()I<1x--yI?因此,-厂(z)是[,]到自身 的压缩映射.由定理1可得递推数列:z=1+?一,(z),-z.一1收敛,其极限为方程-z,()一1+ ?的解,解得lira一,/2.1十,27… 为了说明定理1的确是引理1的改进和加强,考虑如下的例子. 例2嘲设一2<c<1,令z=号,t=号+每2,一1,2,…,证明序列{n)收敛,并求其极限 泉州师范学院(自然科学)2009年11月 根据文[5]的证法是分别考虑当c=0时,0;当0<c<1时,{z}单调递增,可以直接应用单调有 界原理;而当一2<f<0时,{z)就不是单调的了.其证明方法比较复杂,现利用本文的定理1,给出一个简洁 的证法. 证明考察函数,()寺+詈2,z?D一[一1,1],因为,()的最小值为C,最大值为,易知,(z) 是D到自身的映射.另一方面,V-z,Y?D且?,有 {,(z)一,()【=C十Z2一 (2+yZ- )l=I兰专Ilz—{. 因为一1??1,一1?Y?1且z?3,,故l下x+yl<1,即I厂(z)一厂()I<lz—I.因此,,()是 D到自身的压缩映射?从而由定理1可得递推数列z一号,zt寺+等=f(x)收敛,其极限为方程 X=厂(z)=?+-5-(一2<c<1)的解,易解得limz=1一J一1-c(--2<c<1).0一o. 在本题中,当z,Y?D且?Y时,易知 pl二鐾一1,1二yI 故,(z)不能构成引理1意义下的压缩映射(此时引理1中的一1),从而难以应用引理1来证明. 参考文献: [13余国林,魏本成.关于上下极限的一个新定理口].大学数学.2007,23(5):163—166. E2]程其襄,张奠宙,魏国强,等.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社.2003. [3]张文久,李元章,黄雯荣.数学分析的基本概念与方法[M].北京:高等教育出版社,1993. [4]拉森.美国大学生效学竞赛例题选讲[M].潘正义,译.北京:科学出版社,2003. [5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社.2006. PrincipleofFixedPointandLimitofRecurrentSequenceofNumbers SHIWei—min1,R0NGWei—ian0 (1.SchoolofScience,QuanzhouNormalUniversity,Fujian362000,China: 2.DepartmentofMathematics,ZhangzhouNormalUniversity,Fujian363000,China) Abstract:Anewtheoremonthefixedpointprincipleisobtainedandtheproblemontheexisten ceand calculationfortherecurrentsequenceofnumbersisresolvedeffectivelybymakinguseofthet heorem. Keywords:recurrentsequence;reducemapping;principleoffixedpoint