贾宝山.doc - 利用_数形结合_
浅谈新课程理念下"数形结合”思想在集合与函数中的
应用
单位：天津市大港一中
姓名：贾宝山
学科：数学
浅谈新课程理念下"数形结合”思想在集合与函数中的
应用
摘要:"数形结合"思想方法是解决数学问题的重要方法，本
文对高中数学中的问题，谈谈如何运用"数形结合"的思想方法解题.
关键词：数形结合.图形.集合.函数.
数学是研究空间形式和数量关系的科学，“数”与“形”的
结合是中学数学最完美的珠联璧合. “数”是 “形”的抽象，“形”是“数”的直观表现.数形结合思想是充分应用数的严谨
和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使
抽象思维和形象思维结合，通过对图形的描述代数的论证来解决
数学问题的一种重要思想方法.纵观历年高考
试题
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，利用数形结
合思想解题占一定比例，尤其是选择、填空，更突出其重要性，
其应用主要是“以形助数”、“以数定形”.
著名的数学家华罗庚先生说过："数形结合千般好，数形分
离万事休."有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以
使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化.简单化，从而探索出巧妙的解法.下面就高中数学的几个重要应用“数形结合”方
面进行研究.
一．利用“数形结合”求解集合问题.
初中阶段会用数轴上的点表示有理数，建立实数与数轴上的
点的一一对应关系，借助数轴理解相反数及绝对值的意义.高中阶段会用数轴表示集合间的包含关系，会用数轴进行数集的运
算：
22例1．已知集合M＝?x|x-3x-28?0?，N＝?x|x-x-6＞0?
则M?N为 （ A ）
A、?x|-4?x＜-2或3＜x?7? B、?x|-4?x＜-2或3
?x＜7?
C、?x|x＜-2或x＞3? D、?x|x＜-2或x?3?
-47-47-47-23-23-23
解题策略：此题以一元二次不等式的解集为载体，考查了其
解法及交集运算.结合数轴，以形助数.
例2．设集合A＝?x|-2＜x＜-1或x＞1?， B＝?x|（x-a）（x-b）?0?，（a＜b）若A?B=?x|x＞-2?，Ａ?Ｂ=?x|1＜x?3?，求a,b的值.
分析
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：由于本题较复杂，应先化简集合.B＝?x|a?x?b?，A?B＝?x|1＜x?3?
欲求a,b的值，它是集合B的两个端点，此题不能直接看出
答案，由数想形，以形助数，需画出一条数轴，标出A，A?B及Ａ?B.由A?B＝｛x|x＞-2｝ 知Ｂ的两端点落在Ｅ的右侧，由A?B＝｛x|1＜x?3｝可知Ｂ的右端点Ｈ必落在３的位置，下面确
定左端点的位置，若落在F的左侧，与Ａ?Ｂ矛盾．若落在Ｇ，
Ｈ中间与Ａ?Ｂ也矛盾．若落在Ｆ，Ｇ之间，则与A?B矛盾，AABB当且仅当它落在Ｆ处满足题意，即a＝－1,b＝3
EEHHGGFF
33-2-11-2-1100AABB
解题策略：本题以不等式为载体，考查了交集、并集的运算，
我们用数轴这一数形结合重要工具解决了它，由数想形，以形助
数. “复杂数集先化简，画出数轴是关键，抽象问题具体化，运
动变化定端点.”
二．利用“数形结合”求解函数问题.
(一)．利用“数形结合”求函数的定义域
面对求函数的定义域问题，有些人常常是顾此失彼，所以在
看到题目后，首先的应该把所有使函数有意义的条件列出，待求
出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来，再逐一判断，这
样才能尽量避免失误，得出正确的答案.
例1：已知函数f(x)的定义域是[a,b]其中a<0
b,求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.
AA??BB
aa-a-a-bb-bb00
分析：若g(x)的定义域为M,f(x)f(-x)的定义域分别为A.B，则有M=A?B，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求. 如图
解：?函数f(x)的定义域为[a,b]
?a?x?b
若使f(x)e有意义，必须有a?－x?b，即有－b?x?－a
?a＜0＜b ?－b＜0＜－a
又?|a|＞b＞0 ?.a＜－b
?函数g(x)的定义域{x|a?x?b}?{x|－b?x?－a}={x|－b?x?b}
解题策略：这样的题目要是改为选择题，图形一画那就简单
明了，不用解题，若像上面的求解，则图形有助于解题.
(二).利用“数形结合”求函数的值域
对于一些给了的定义域求值域的函数，若只采用代数的方法
思考问题，往往会太过于抽象或无从下手.但如果根据函数的定
义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达
到事半功倍的效果.
例2．求函数y=|x-2|－|x+4|的值域.
分析：就自变量x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分
段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得y的范围
yyy
x,,46,6666,,,,42xfxx()22,,,, ,x,2,6,ooooxxx2222-4-4-4-4函数的图象如图，由图象即可得y?［-6，6］.
-6-6-6-6解题策略：数形结合能将抽象的问题直观化.形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中要注意把握善
于运用这种数学思想.
(三).利用数形结合求函数的单调区间
2例3.设函数f(x)=-（x-1）+2|x-1|+1(－5?x?3).指出函数
yyyf(x)的单调区间并说明在各个区间上f(x)是增函数还是减
函数. 2222
2解：当x?1时，f(x)= -（x-1）+2（x-1）+1
oooo2-1-1-1-1-5-5-5-53333xxx=-（x-2）+2
2 当x＜1 时，f(x)=-（x-1）+2（1-x）+1
2=-x+2
2,,,，(2)2xx,1,fx(),, 2即,，x2x,1,,
根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图，函数f(x)
单调区间为
［－5，－2），［－2，-1），［-1，0）， ［0，3］.
由图形可看出函数在区间［－5，－2），［-1，0）上为增函数，在区间 ［－2，-1），［0，3］上为减函数.
解题策略：用数形结合的方法，先画出函数的图象，由图象
可直观得解.
(四).用“数形结合”求函数的最值
求函数的最值的类型题有很多种，例如：给出函数，根据其
定义域求最值.这种题型与求函数的值域是相类似的，另一种类
型的求最值的题型则是给出x,y所满足的方程，再求另一个关于
x,y的函数式的最值，我们常用数形结合来解这类问题，正确地
作出图像，必要时还要配合一定的计算.
2，sinx例4.求函数y,的最大值和最小值 3，cosx
分析：首先我们用代数方法来解决本题，原式可化为：
3y+ycosx=2+sinx
1cos(x，y),(2,3y) 2y，1
1?|cos(x+v)|?1 ? |cos(x，y)|,|(2,3y)|,12y，1
24，9y,12y2,1? ?8y －12y+3?0 2y，1
3,33，3,y, 44
,33，33y,y, ? minmax44
对于这种纯代数方法我们能够解决本题，但我们发现在解题
过程中利用了三角函数的相关知识的转化，如果不是对三角函数
这部分知识比较熟悉，相信学生可能无从下手.而对于这种特殊的函数，应注意观察，利用其特殊的性质，把函数看作是定点（－
3，－2）与单位圆上的点P（cosx,sinx）连线的斜率.
2，sinxsinx,（,2）y,,这可以看作是定点A（－3，解：3，cosxcosx,（,3）
－2）与单位圆上的点P（cosx,sinx）连线的斜率.因此，y的最
值就是当直线AP与单位圆相切时的斜率.
22?单位圆x+y=1中斜率为k的切线方程
2y,kx,1，k为
由于该切线过点A（－3，－2），故
2,2,,3k,1，k
3,3k,? 4
，,3333k,k,?， maxmin44
通过以上两种解题方法，我们就会发现“数形结合”思想方
法在解题中的优势所在.
2222x，y，2x，1，x，y,4x，2y，5例5求的最小值.
分析：这是一道含有两个根式的函数最值的
问题.看似一道求二元函数的最值问题，显然用
现阶段的初等数学知识很难求解出.于是我们将函数解析式变形为
2222u,(x，1)，(y,0)，(x,2)，(y，1)
oxy，就不难发现这正是平面直角坐标系内的一
P(x,y)A(,1,0)B(2,,1)个动点与两个定点、之间的距离之和的最小值
PAB问题，所以，当且仅当点位于、两点所定的直线上且在两
ABAB点、之间（含、两点）时：
22u,(|PA|，|PB|),|AB|,(2，1)，(,1,0),10minmin
22Ax，Bx，C,A'x，B'x，C'解题策略:类似这种y=形式
的函数求其最值,常采用这种找出对称点,并利用两点之间线段最短的形式来解.
(五).用“数形结合”求函数的零点个数
求函数零点的个数是函数零点知识的常见题型，例如：给出
函数，根据其定义域求函数零点的个数.这种题型之中的函数一般为一个复杂函数，解方程比较繁琐甚至不能达到目的，所以我
们常用数形结合来解这类问题，把复合方程转化成基本初等函数
相等的形式，求函数的公共解、函数图像的交点.正确地作出图像，从而判断出结果.
例6.求函数y=lgx-sinx 在[0，10]上的零点的个数.
分析：这是一道典型的利用二分法求函数零点、方程的根的
问题.它是由两个初等函数组成的复杂函数，利用求解方程
lgx-sinx=0的根或画函数y=lgx-sinx图象，观察它与x轴的交点的方法都不易实现.但若转化成求解方程lgx=sinx的根、即求函数y=lgx与y=sinx的图象的交点，则由复杂函数的问题转化
成了简单的初等函数的问题，求解起来简单易行.
解：求函数y=lgx-sinx 在[0，10]上的零点可以转化成方
程lgx=sinx在x?[0，10]的解.即函数y=lgx与y=sinx在x?[0，10]交点.作出函数图象，观察图象的交点.
11
22,,oo,,33,,
由图象可知，函数y=lgx与y=sinx在x?[0，10]交点的个数为3个.
所以函数y=lgx-sinx 在[0，10]上的零点的个数为3个.
解题策略：函数的零点和方程的根的问题都可以采用如上做
法：用“数形结合”的方法，先画出函数的图象，由图象可直观
得解.
以上是从集合与函数两部分知识内容上谈谈高中数学中“数
形结合”重要思想方法的应用举例.对于高中数学中“数”和“形”
是数学学习的两个基本对象，对于某些问题，单纯的从“数”的
角度去分析探求需要分类讨论，运算会较繁冗，因此应当从“形”
的角度去构造直观图形来刻划问题的条件和结论，使错综复杂的
代数关系变得清晰可辨，解题思路顿开.本文浅谈集合与函数中
的几个题型中的“数形结合”思想方法，而“数形结合”思想方
法在整个高中数学的学习中有着重要的作用，我们应根据题目的
结构特征，提倡使用“数形结合”思想方法.
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