数学物理方法姚端正CH2作业解答

1数理方法CH2作业解答P33.习题2.13.利用积分不等式，证明（1）ò-£+iidziyx2|)(|22积分路径是直线段；（2）ò-£+iidziyxp|)(|22积分路径是连接i-到i的右半圆周.证明：（1）积分路径是从i-到i的直线段，那么积分路径的长度为2=s，在该路径上，0=x，则2|)(|yzf=，而1||£y，所以1|)(|£zf即1|)(|=Mzf的最大值为ò-=×=£+iiMsdziyx221|)(|22（2）积分路径是连接i-到i的右半圆周，该圆周半径1=r，那么积分路径的长度为pp==rs.在该路径上，qcosrx=,qsinry=,则12sin2112sin21)cos(sincossin2)cos(sin)sin(cos|)(|222222222222244444£-=-+=-+=+=+=qqqqqqqqqqrrrryxzf即1|)(|=Mzf的最大值为所以ò-=×=£+iiMsdziyxpp1|)(|225.计算ò-=lnazdzI)(，其中n为整数，l为以a为中心，r为半径的上半圆周.解：记qireaz=-则qqdriedzi=当1=n时，pqqppqqiidredrieazdziil===-òòò00当n为1¹的整数时，òò=-pqqq0)(innilnerdrieazdz=ò---pqq0)1(1deirninppqqqqq0101|]1)1cos(1)1sin([])1sin()1[cos(--+--=---=--ònninnirdninirnn=---=--×-=--]1)1[cos(1]1)1cos([101pqpnnrnnrnnïîïíìÜÜ--为奇数时为偶数时nnnrn01212上式也可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达为]1)1[(1]1)1[cos(1111---=------nnnnrnnrpP38习题2.2：1.计算积分：ò--lbzazdz))((l是包围a、b两点的围线。解法之一：))((1bzaz--在l内有两个奇点，az=和bz=。在l内作小圆1l包围a，作小圆2l包围b，则由复通区域的柯西 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 知：ò--lbzazdz))((=ò--1))((lbzazdz+ò--2))((lbzazdzbaiibabzdzazdzbabzazdzlll-=--=----=--òòòpp2)02(1)(1))((111baiibabzdzazdzbabzazdzlll--=--=----=--òòòpp2)20(1)(1))((222所以，0))((=--òlbzazdz解法之二：也可以简单地这样处理：0)22(1)(1))((1=--=----=--òòòiibabzdzazdzbabzazdzlllpp解法之三：学了第3节后，可以用柯西公式：在l内作小圆1l包围a，作小圆2l包围b，则由复通区域的柯西定理知：ò--lbzazdz))((=ò--1))((lbzazdz+ò--2))((lbzazdz其中，baibzidzazbzbzazdzazll-=-=--=--=òòpp2|121))((113abiazidzbzazbzazdzbzll-=-×=--=--=òòpp2|121))((22则ò--lbzazdz))((=ò--1))((lbzazdz+022))((2=-+-=--òabibaibzazdzlpp2．计算积分（1）ò+--+idzz222)2(（3）ò+izdzze211p（说明：此题是用找原函数的方法，与实变函数积分的方法是一样的）解：（1）3|)2(31)2(223222izdzzii-=+=++--+--ò（3）由分部积分法得：zzzzzzezedzezezdedzze-=-==òòò则eezdzzeiziz2|)1(211211ppp-=-=++òP44习题2.31.计算下列积分，其中l为2||=z（3）dzzzzlò++)1(2解法之一：被积函数有两个奇点，1-=z和0=z；这两个奇点都包含在围道内，分别以1-=z和0=z为圆心作小圆，分别记为1-l和0l.由复连通区域的柯西定理，有：dzzzzdzzzzdzzzzlllòòò+++++=++-01)1(2)1(2)1(2其中，izzidzzzzdzzzzzllpp2|22)1(2)1(2111-=+×=++=++-=òò--4izzidzzzzdzzzzzllpp4|12212)1(2000=++×=++=++=òò则iiidzzzzlppp242)1(2=+-=++ò2.计算积分ò+lzdz92，其中围道l：（1）包围i3，不包围i3-（2）包围i3-，不包围i3（3）包围i3±解：（1）3|)3(12)3()3(1)3)(3(932pp=+×=-+=-+=+=òòòizlllizidzizizizizdzzdz(2)3|)3(12)3()3(1)3)(3(932pp-=-×=+-=-+=+-=òòòizlllizidzizizizizdzzdz(3)两个奇点都包含在围道内，则分别以两个奇点为圆心作两个小圆，分别记为1l和2l（1l以iz3-=为圆心；2l以iz3=为圆心），则由复连通区域的柯西定理，有òòò+++=+21999222lllzdzzdzzdz其中，3|)3(12)3()3(193211pp-=-×=+-=+-=òòizllizidzizizzdz=+ò292lzdz3|)3(12)3()3(1)3)(3(322pp=+×=-+=-+=òòizllizidzizizizizdz则òòò+++=+21999222lllzdzzdzzdz=03.计算下列积分（1）dzzzlò-5)1(cosp解：izdzdidzzzzl12|)(cos!42)1(cos51445pppp-==-=ò55.求积分dzzelzò)1|:|(=zl从而证明：pqqpq=òde)cos(sin0cos解：ieidzzelzpp220=×=ò证明：因积分的围线为以0=z为圆心，以1为半径的圆，故可令qiez=qqdiedzi=则òòòòò+===×=+pqpqqpqqpqqqqqqqqq20cos20sincos20)sin(cos20)]sin(sin)[cos(sindiiedeiedieideeedzzeiiiielzi=òò-pqpqqqqq20cos20cos)sin(sin)cos(sindedie上式等于ip2，说明;pqqpq2)cos(sin20cos=òdie，则pqqpq=òde)cos(sin0cos而ò=pqqq20cos0)sin(sinde6.计算积分ò-lzzzei3)1(21p，若（1）0=z在l内，1=z在l外；(2)1=z在l内，0=z在l外；（3）0=z，1=z均在l内解：（1）0=z在l内，1=z在l外；1|)1()1(21)1(210333=-=-=-=òòzzlzlzzedzzzeidzzzeipp(2)1=z在l内，0=z在l外；2|)(!21)1(21)1(2112233ezedzddzzzeidzzzeizzlzlz-=-=--=-=òòpp（3）0=z，1=z均在l内这时，围道内有两个奇点，分别以0=z和1=z为圆心作两个小圆，分别记为0l和61l.由复连通区域的柯西定理，有：òòò-+-=-10333)1(21)1(21)1(21lzlzlzdzzzeidzzzeidzzzeippp其中，1|)1()1(21)1(21033300=-=-=-=òòzzlzlzzedzzzeidzzzeipp2|)(!21)1(21)1(211223311ezedzddzzzeidzzzeizzlzlz-=-=--=-=òòpp则21)1(21)1(21)1(2110333edzzzeidzzzeidzzzeilzlzlz-=-+-=-òòòppp