考研数学三真题

2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ． (1) 已知当x→0时f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则( )． (A) k=1，c=4 (B) k=1，c=-4 (C) k=3，c=4 (D) k=3，c=-4 (2) 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则 =( )． (A) -2f'(0) (B) -f'(0) (C) f'(0) (D) 0 (3) 设{un}是数列，则下列命题正确的是( )． (4) 设 ，则I，J，K的大小关系是( )． (A) I＜J＜K(B)I＜K＜J (C)J＜I＜K(D)K＜J＜I (5) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第一列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记 ，则A=( )． (A) P1P2 (B) (C) P2P1 (D) (6) 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )． (7)设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )． (A) f1(x)f2(x) (B) 2f2(x)F1(x) (C) f1(x)F2(x) (D) f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x) (8) 设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自该总体随机样本，则对于统计量 ( )． (A) ET1＞ET2，DT1＞DT2 (B) ET1＞ET2，DT1＜DT2 (C) ET1＜ET2，DT1＞DT2 (D) ET1＜ET2，DT1＜DT2 二、填空题 (9) 设 ，则f'(x)=______． (10) 设函数 ，则dz|(1,1)=______． (11) 曲线 在点(0，0)处的切线方程为______． (12) 曲线 ，直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为______． (13) 设二次型f(x1，x2，x3，)=xTAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下X=Qy的标准形为______． (14) 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=______． 三、解答题：解答应写出证明过程或演算步骤． (15) 求极限 ． (16) 已知函数f(u，v)具有连续的二阶偏导数，f(1，1)=2是f(u，v)的极值，z=f[x+y，f(x，y)]．求 ． (17) 求不定积分 ． (18) 证明方程 恰有两个实根． (19) 设函数f(x)在[0，1]上有连续的导数，f(0)=1，且 ，其中Dt={(x，y)|0≤y≤t-x，0≤x≤t}(0＜t≤1)，求f(x)的表达式． (20) 设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表出．①求a的值；②将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表出． (21) 设A为三阶实对称矩阵，r(A)=2，且 (Ⅰ) 求A的所有特征值与特征向量； (Ⅱ) 求A． (22) 设随机变量X与Y的概率分布分别为 X 0 1 P 1/3 2/3       Y -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3         且P{X2=Y2}=1 求：(Ⅰ) 求二维随机变量(X，Y)的概率分布； (Ⅱ) Z=XY的分布； (Ⅲ) X与Y的相关系数ρXY． (23) 设二维随机变量(X，Y)服从区域G上的均匀分布，G是由x-y=0，x+y=2与y=0围成的三角形区域． ①求X的概率密度fX(x)；②求条件概率密度fX|Y(x|y)． 2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 一、选择题 (1)[考点] 无穷小比较 [ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 解析] 根据泰勒展式，有 f(x)=3sinx-sin3x 故 c=4，k=3，故选(C)． (2)[考点] 导数的定义 [答案解析] 由题设 因为f(x)在x=0处可导，故原式=-f'(0)，故选(B)． (3)[考点] 数项级数的敛散性 [答案解析] 由题设 (4)[考点] 一元函数定积分 [答案解析] sinx＜cosx＜1＜cotx 则 lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx 即 I＜K＜J，故选(B)． (5)[考点] 矩阵的初等变换 [答案解析] 由题意有P2AP1=E， ，因为 ， 所以 ，故选(D)． (6)[考点] 非齐次线性方程组 [答案解析] 由于η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解， 则η3-η1，η2-η1为Ax=0的解，且η1，η2，η3线性无关 又 为Ax=β的解，故Ax=β通解为 故选(C)． (7)[考点] 概率密度函数 [答案解析] 由题意知F1'(x)=f1(x) F2'(X)=f2(x) 则对于(D)项有 ，故选(D)． (8)[考点] 统计量的期望，方差 [答案解析] X1，X2，…，Xn为简单随机样本，则有EX1=EX2=…=EXn=λ，DX1=DX2=…=EXn，且X1，X2，…，Xn相互独立 二、填空题 (9) (1+3x)e3x [考点] 求一元函数的导数 [答案解析] 先求出f(x)的表达式 则f'(x)=e3x+3xe3x=(1+3x)e3x． (10) (2ln2+1)dx+(-2ln2-1)dy [考点] 全微分 [答案解析] 两边取对数得 ，两边取微分得 将x=1，y=1代入得 dz|(1,1)=(2ln2+1)dx+(-2ln2-1)dy． (11) y=-2x [考点] 利用导数求即线方程 [答案解析] 对 两边x求导数得 把x=0，y=0代入得 ，于是切线方程为y=-2x． (12) [考点] 一元积分的应用 [答案解析] (13) [考点] 二次型，正交变换 [答案解析] 由于A中行元素之和为3 则 ，所以A有特征值为1，又因为AT=A且r(A)=1，所以λ2=λ3=0故二次型的标准型为 ． (14) μ(μ2+σ2) [考点] 二维随机变量的期望 因为(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，所以X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，σ2)， EX=μ，EY2=DY+(EY)2=μ2+α2 又因为ρ=0，所以X，Y独立， 于是E(XY2)=EXEy2=μ(μ2+σ2)． 三、解答题 (15)[考点] 极限的计算无穷小量替换 [答案解析] (16)[考点] 二元函数偏导数与全微分 f'x(1，1)=0，f'y(1，1)=0， (17)[考点] 不定积分的计算 [答案解析] (18)[考点] 函数的极值 [答案解析] 方程根据的分布 令 令 时，f'(x)＜0： 时，f'(x)＞0： 时，f'(x)＜0 为极小点， 为极大点 极小值为 极大值为 而 ∴f(x)恰有两实根， 一个为 ，另一个在 内，故方程恰有两个根． (19)[考点] 二重积分 [答案解析] 因为 所以 两边对t求导得 ，解得 因为f(0)=1，所以C=4，于是 (20)[考点] 向量的线性相关性 [答案解析] ①因为 ，所以r(α1，α2，α3)=3， 又因为α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表示，所以β1，β2，β3线性相关，于是|β1，β2，β3|=0，解得a=5 ② 于是 (21)[考点] 矩阵的特征值和特征向量 [答案解析] (Ⅰ) 根据特征值特征向量的定义，A的特征值为λ1=-1，λ2=1，对应的线性无关的特征向量为 因为r(A)=2＜3，所以|A|=0，故λ3=0． 令 为矩阵A的相应于λ3=0的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以有 即 解得 ．故矩阵A的特征值为1，-1，0；特征向量依次为k1(1，0，1)T，k2(1，0，-1)T，k3(0，1，0)T．其中k1，k2，k3是不为0的任意常数． (Ⅱ) α1，α2，α3单位化得 令 ，则 于是 (22)[考点] 二维随机变量的独立性 [答案解析] 解：(Ⅰ) P(X2=Y2)=1 P(X2≠Y2)=0 即P(X=0，Y=1)=P(X=0，Y=-1)=P{X=1，Y=0}=0 故P(X=1，y=1)= ． 故得(X，Y)的概率分布如下表： (Ⅱ) Z取值为-1，0，1 P(XY=-1)=P(X=1，Y=-1)= P(XY=0)=P(X=0，Y=0)+P(X=0，Y=1)+P(X=0，Y=-1)+P(X=1，Y=0)= P(XY=1)=P(X=1，Y=1)= (Ⅲ) ，EY=0，EXY=0， 则cov(X，Y)=EXY-EX·EY=0 故ρXY=0． (23)[考点] 条件概率密度、联合密度 [答案解析] 易知SG=1 则 x＜0或x＞2时fX(x)=0 当0＜x≤1时， 当1＜x＜2时， 综上 当y≥1或y＜0时fY(y)=0 当0≤y＜1时 则