圆的渐开线[整理版]
圆的渐开线
一、教育目标
(一)知识教学点
了解圆的渐开线的概念,掌握圆的渐开线的参数方程( (二)能力训练点
初步掌握选择合理参数建立曲线参数方程的
方法
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,能画出有关渐近线(
(三)学科渗透点
了解数学在工业
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
中的应用,培养精益求精的科学技术态度( 二、教材
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
1(重点:圆的渐开线及其参数方程,如何选择合理参数建立曲线的参数方
程(
2(难点:渐开线形成过程,渐开线型齿轮的工业设计原理(
3(疑点:选择参数的基本要求的可靠性( 三、活动设计
1(活动:讨论、演示、问答、制图( 2(教具:投影仪、圆的渐开线演示仪(可自制)、尺规( 四、教学过程
(一)齿轮传动的设计原理
齿轮广泛应用于机械传动中,齿形设计不好,传动不平稳,机体抖动,噪音大,齿轮磨损大(
投影:
若在从动轮的齿M和齿N之间插入主动轮的齿P,使传动平稳、磨损少,那么,齿P与齿M的接触应具备什么样的特性,请大家思考讨论(图3-6)(
学生1答:
齿P与齿M从B1与B接触开始,两齿外沿无滑动(磨损少)地辗动至A1与A,此时,下两齿刚好开始咬合(平稳无抖动)(
开线型设计(
(二)演示渐开线形成过程
什么叫渐开线,请看演示:
把一无弹性的细绳绕在一个固定的圆盘上,铅笔系在绳的外端,把绳拉直,然后绕圆盘逐渐展开,保持细绳始终与圆相切,笔所画出的曲线,即细绳端点的轨迹,叫做圆的渐开线,圆盘就叫渐开线的基圆(
根据教材第118页图3-4知基圆半径在齿轮内外半径之间,能无滑动地辗动而传动的原因,正是渐开线形成过程中的渐开原理(
(三)建立圆的渐开线参数方程
曲线已经生成,以下求其方程,先请大家思考,如何建立坐标系,
学生2答:
设基圆圆心O,绳端点的初始位置A,以OA为x轴,O为原点,建立直角坐标系(图3-7)(
设基圆半径为r,设M(x,y)(
再思考,能否直接列出M点坐标x,y间的关系,
学生3答:
尚不能列出(
既然不能列出x、y间的直接关系,那么就考虑建立渐开线的参数方程(这首先就需要选定一个参数,而参数的选择必须具备一参对一点的条件,也就是参数能制约整个运动系统(根据这一要求,请大家考虑可以设哪些几何量为参数(
学生4答:
可能会出现:
|MB|=t、?xOB=φ等各种设参方法,不妨设?xOB=φ?0为参数(
作ME?Ox于E,BC?OX于C,MD?BC于D,则?MBD=
圆的渐开线方程即:
注:(1)整个系统仅由基圆半径一个条件确定,r是常数,(φ?0)是参数,故此式可作为一个
公式
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,只要已知基圆的半径,就可以写出圆的渐开线在如图所示的坐标系中的参数方程(
(2)能否消参,若消φ,则
其普通方程比参数方程复杂多了,不利于计算(从这里就看到,参数方程对某些曲线有比普通方程更优越的特点(
(3)可以把基圆换成其它图形,就可以得到其它图形的渐开线,所以,圆的渐开线是渐开线的一个特例(不仅如此,还有很多生产、生活中常用的曲线,本书均未介绍,高中阶段也不作较高要求(因为如需要,都可从数学手册中查到,但要掌握选择参数的基本要求,便能建立曲线的参数方程(
(四)练习
打开教材第119页,看第1
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
,读题(
请大家作图(
学生5板演(
如图3-8所示(
圆都内切,故它们彼此连结得很光滑(
能否建立正方形渐开线的各段弧统一的参数方程呢, 学生6答:
可以(圆心周期性地变,半径成等差数列递增,可设绳子与模轴所成有向角r?0为
参数(
但是,没有这种必要(
(五)小结
(1)圆的渐开线、基圆、圆的渐开线的参数方程( (2)选择参数的基本要求(
五、布置作业
已知基圆的直径是225mm,以基圆圆心和圆的渐开线起始点的连线为原点,圆
心为原点建立坐标系:
(1)画出圆的渐开线(
(2)求圆的渐开线的参数方程(
(3)求圆的渐开线与射线y=112.5(x,0)的交点的集合( 解:(1)略
? 交点集合为
六、板书设计
渐开线的形成及特性(Forming and Feature of Involute Profile)
一、渐开线的形成(Forming of Involute Profile)
如右图所示,当一 直线 BK 沿一圆周作纯滚动时,直线上任意点K的轨迹AK就是该圆的渐开线,这个圆称为渐开线的基圆,半径为,直线BK叫做渐开线的发生线;角叫做渐开线AK段的展角。 (PLAY)
二、渐开线的特性(Involute Feature)
, 发生线沿基圆滚过的长度,等于基圆上被滚过的圆弧
长度
, 渐开线上任意点的法线恒与基圆相切
, 发生线与基圆的切点也就是渐开线在点K的曲率中
心,线段BK为曲率半径。渐开线欲接近基圆的部分,其曲率
半径欲小。在基圆上其曲率半径为零
, 渐开线的形状取决于基圆的大小,相同展角处,基圆
半径愈大,曲率半径也愈大,当基圆半径为无穷大,其渐开线
变为一条直线,故齿条的渐开线变为直线的渐开线
, 基圆内无渐开线
三、渐开线方程式(Involute Equation)
渐开线函数:
渐开线的极坐标参数方程式:
当用直角坐标来表示渐开线时,其方程式为: