13数学的魅力

13数学的魅力 1.3数学的魅力 【摘记】 ?数学是最具有魅力的，就如同音乐、图画具有魅力一样。 ?渔网的几何规律: 相信大家都见过渔网，如果没有见过的话，你一定见过用绳索编织的其他某种网。你是否知道，用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼数(F)，边数(E)都必须符合下面的公式: V+F-E=1 网，可以是多种多样的，纷繁复杂的，但是，他们全都满足同样的规律，这里，当然有其内在的本质。而用数学方法，不但可以表达这种本质，还可以证明这种本质。你看，是不是具有某种魅力, 事实上，这种规律在三维的情形，就是多面体的欧拉公式:V+F-E=2。这里， V 表示凸多面体的顶点数，F表示凸多面体的面数，E表示凸多面体的棱数。你可能知道多面体的这个欧拉公式，它对任何凸多面体都普遍适用，而上述关于绳索织网的公式，是欧拉公式在二维时的情形。 数学就是有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。 ?任何一个省会城市至少有两个人头发根数一样多 标题中给出的问题在数学上是一个“存在性问题”。可以改述为“任何一个省会城市中一定存在两个头发根数一样多的人”。 对于存在性问题，通常有两类证明方法:一类是构造性证明方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明;一类是纯存在性证明，并不具体 给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。 上述命题如果采用构造性证明的方法，就是一个一个地去数省会城市中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，他们的头发根数一样多，便完成了证明。 这个命题如果采用纯存在性证明的方法，则完全是另外一种途径。我们先形象的介绍一个“抽屉原理”:四个苹果放在三个抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果;n个苹果放在少于n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。现在我们来证明这个命题，体会一下抽屉原理的用法。首先介绍一个事实:任何一个人的头发根数都不会多于20万根。省会城市中的人数则远远大于20万，例如50万人。现在把头发根数为1至头发根数为20万分别当作20万个抽屉，把50万人放到20万个抽屉里，根据“抽屉原理”，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的人。而同一个抽屉里的人，是头发根数一样多的人。于是便证明了“任何一个省会城市至少存在两个头发根数一样多的人”。这就是纯存在性的证明方法，这就是数学推理的力量～ 这里并没有具体给出哪两个人的头发一样多，但是依靠逻辑推理，让你不得不承认，确实存在两个头发一样多的人。 ?圆的魅力 圆是非常美丽的图形，圆又非常有用，圆的魅力来自多方面。 车轮可以说是古代最伟大的发明之一。圆没有起点，也没有终点，浑身光滑，毫无瑕疵，这使得车轮能够不停的平稳转动。更加重要的是圆上任意一点到圆心的距离都是定长，这使得车轮滚动时，坐在车上的人不会有上下起伏的感觉。所以想到用圆作为车轮的形状，实在是了不起的发明。而在世界的不同 地域，人们都各自独立的发明了车轮，就如同人们都各自独立地发明了陶器、各自独立地创造了数字一样。这表明它们是人类智慧进化发展到一定事期的必然产物。 无论大圆还是小圆，圆的周长与直径之比总是一个常数。而求出这个常数的近似值，竟成为历史上数学家投入巨大精力解决的难题，并且该近似值的精确度的高低，竟成为一个地域数学发展程度的标志，这个常数后来被称为圆周率，并记作π。圆周率π不但是常数，是无理数，而且是超越数。 在相同面积的平面图形中，圆具有最短的边界。 ?“三角形三内角之和等于180度，这个命题不太好” 这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的一次演讲中说的,后来又多次说过。所以,这不是随便说的一句话。陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度,这个命题不对”,而是说“这个命题不好”。 三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 ) n 边形 n 外角之和 = 360 度 ?四色问题 四色问题也称为“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生古色利(Francis Guthrie)提出。他在为一张英国地图着色时发现，为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但他证明不了这个猜想。于是写信告诉她的弟弟弗雷德里克(Frederick)，弗雷德里克转而请教他的数学老师，即杰出的英国数学家德摩根(Augustus dergan,1806-1871)，希望老师帮助给出证明。 德摩根很容易证明了三种颜色是不够的，至少要四种颜色。但德摩根没能解决四色问题，就又把这个问题转给其他数学家，其中包括著名的数学家哈密顿(W.R.Hamilton, 1805-1865)，但这个问题当时没有引起数学家的重视。直到现1878年，英国数学家凯来(A.Cayley,1821-1895)对这问题进行了一番思考后，认为这不是一个轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数学回文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章，才引起了更大的关注。 一个看起来简单，且容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。 100多年来许多数学家对四色问题进行了大量研究，获得了一系列成果。1920年富兰克林(Philip Franklin,1898-1965)证明了，对于不超过25个国家的地图，四色猜想是正确的，1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个，1936年富兰克林将国家数目提高到31个。1968年，挪威数学家奥雷证明了，不超过40个国家的地图可以用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明四色猜想。 直到1972年，美国依利诺大学的哈肯(W.Haken)和阿佩尔(K.Appel)在前人的基础上，开始用计算机进行证明。到1976年6月，他们终于获得成功。他们使用3台IBM360型超高速电子计算机，耗时1200小时，终于证明了四色猜想。 ?素数的奥秘 音乐家用1，2，3，4，5，6，7谱写悦耳的歌曲，数学家用1、2、3、4、5„编织美妙的数学。自然数是整个数学中最重要的的元素之一。而自然数中又有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数;大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”;1则既 不是素数也不是合数。由于大于1的自然数中，素数的因数最少，所以素数是特别简单的数。又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。关于素数的规律，有很多猜想，到现在既没有证明，也没有被否定。 素数很早就被古希腊的数学家所研究。2300多年前欧几里得的几何《原本》第9卷的定理20,就给出了“数有无穷多个”的漂亮证明。但是,素数的有些规律,虽然表述出来很容易听懂,研究起来却出人意料的苦难。当然,素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。 关于素数的规律,人类有许多的“猜想”。今还有不少关于素数的重要猜想,既没有被证明,也没有被否定。 有的猜想的解决,现在看来可能会十分遥远。有人甚至预言,“人类探寻素数规律的历史,将等同于人类的整个文明史”。 三个关于素数规律的问题: 1、从加法的角度研究素数 两个猜想: 每一个足够大的偶数都是两个素数的和(简称1+1)(“哥德巴赫猜想”)”; “每一个足够大的奇数都是三个素数的和(简称1+1+1)”。 后一个猜想1937年已被证明;前一个猜想至今却既没有人举出反例,也没有人给出证明。前者现在也简称为“哥德巴赫猜想”。 2、从乘法的角度研究素数 算术基本定理:任一个大于1的自然数,都可以被表示为有限个素数(可以重复)的乘积,并且如果不计次序的话,表法是唯一的。 算术基本定理早已被证明,但不是采用"构造性"的证明 。 未解之谜:这个问题是:对任一个大于1的自然数,试给出一个一般的方法,以便较快地找到有限个素数(可以重复),使它们的乘积等于那个预先写出的大于1的自然数. 下面用"构造性"证明的思路,来试图找到解决的办法,同时也体会它的困难所在. 3、找一个公式来表示素数 2n 费马素数 (1640年):Fn = 2 + 1 n 梅森素数 (1644年):Mn = 2 – 1 (n = 2,3,5,7,13,17,31,67,127,257 ) “梅森数中是否有无穷个素数”的问题,也是未解之谜。 关于费马素数 ,n = 5 时, Fn = 4294967297 = 641 × 6700417 梅森的判断中有五个错误:n = 67,257时 Mn不是素数;而n = 61,89,107 时 Mn是素数。 科尔:《大数的因子分解》 1903年10月267 — 1 193707721 × 761838257287 267 — 1 = 193707721 × 761838257287 科尔一言未发;会场上爆发了热烈的掌声. ?“蒲丰投针”的故事 蒲丰是几何概率的开创者，并以蒲丰投针问题闻名于世，发表在其1777年的论著《或然性算术试验》中。其中首先提出并解决下列问题:把一个小薄圆片投入被分为若干个小正方形的矩形域中，求使小圆片完全落入某一小正方形内部的概率是多少，接着讨论了投掷正方形薄片和针形物时的概率问题。这些 问题都称为蒲丰问题。其中投针问题可述为:设在平面上有一组平行线，其距都等于D，把一根长l