养老金计划数学建模

养老金 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 数学建模 重庆工商大学第六届大学生数学建模竞赛 暨2014年全国大学生数学建模选拔赛 论文题目: 养老金计划 参赛队员信息 相关学科平均成绩 高 线概计姓 名 学号 学院 联系电话 性别 宿舍 特 等 性率算 专业班级 长 数 代统机 学 数 计 数统学院 无 2012XXXXX 151XXXXXX X 李祥龙 男 X X X X 管理学院 建模 2012XXXXX 151XXXXXX X 丁月月 女 X X X X 管理学院 写作周影 2012XXXXX 138XXXXXX 女 X X X X X 2013年 6 月 5 日 养老金计划的数学模型 摘要 中国正在跑步进入老龄化社会，养老金短缺问题受到了社会各界的广泛关注。经预测，到2039年,我国将出现不足两个纳税人供养一个养老金领取者的局面,这被称为“老龄社会危机时点”. 本文就养老金问题进行了讨论。假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，参加者20到60岁时工作阶段，他会每月存入一定的金额，60岁退休以后，每月初领取相等的退休金，一直领取20年。建立数学模型，计算参加者不同年龄阶段投入不同的金额，他所领取到的养老金是多少。我们把它分为了两个阶段，先是以年金的形式算出参加者从投入资金到60岁一月初时的本息和，再计算出了他从60岁到80岁领取养老金的公式，从而求出了他每月领取的养老金P. 然后利用Matlab编写程序，最终得出了结果，越早参加养老金计划，领取的养老金越多。从20岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为12205.7元;从35岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为5747.6元;从48岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为4644.4元. 最后，本文讨论了该模型的优缺点，并进行了进一步的推广与分析. 关键词:老龄化 养老金 年金 Matlab 一、问题重述 养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10?.参加者的责任是，未退休时(60岁以前)每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为: 20岁~29岁每月存入X元，30岁~39岁每月存入X元，40岁~49岁每月存入X123元，50岁~59岁每月存入X元.参加者的权利是，从退休(60岁)开始，每月初领取退4 P休金，一直领取20年.建立养老金计划的数学模型，并计算不同年龄的计划参加者的月退休金. 1、从20岁开始参加养老金计划，假设X=X=X=X=200元; 1234 1 2、从35岁开始参加养老金计划，假设X=200元，X=500元，X=1000元; 234 3、从48岁开始参加养老金计划，假设X=1000元，X=2000元. 34 二、问题分析 我们先对整个问题进行分析，建立一个适用于从任何年龄(20—59岁)开始参加养老金计划的数学模型，再分别代入数据，计算出从20岁开始参加养老金计划、从35岁开始参加养老金计划和从48岁开始参加养老金计划可以得到的养老金补助. 我们把参加者从开始参加养老金计划到80岁分为两个阶段。第一个阶段为缴纳养老金阶段，从参加养老金计划开始到60岁1月初，计算出所有月份缴纳的养老金到60岁1月初时的本息和S;第二阶段为领取养老金阶段，从60岁1月初到80岁12月初，利用上一个阶段求出的S计算出每月应当领取的养老金P，使得80岁最后一个月领取养老金后账户的余额为0. 三、模型假设 1、假设参加者能领取养老金的年龄恰好到80岁，不多不少. 2、假设年利率一直都为10%不会受外界的其他因素而变动. 3、假设参加者每月初都是按时缴纳相应的养老金，不会出现拖欠或间断的情况. 4、假设参加者80岁时，银行恰好能把参加者所缴纳的养老金的本息和全部返还给参加者，账户余额没有剩余. 5、假设参加者每月初都会按时去领取养老金，不会提前或延迟. 四、符号说明 符号 符号说明 某人开始参加养老金时的年龄，i为所处年龄段，i?{1,2,3,4}; ai?[20,29], ?[30,39], ?[40,49], ?[50,59] aaaa1234 x 第i个年龄段存钱时每个月要存的金额, 单位为元; i 在[20,29]年龄段存钱的计息次数; b 在[30,39]年龄段存钱的计息次数; c d 在[40,49]年龄段存钱的计息次数; 2 e 在[50,59]年龄段存钱的计息次数; B 在[20,29]年龄段存钱的存到60岁时的本息和,单位为元; 在[30,39]年龄段存钱的存到60岁时的本息和,单位为元; C 在[40,49]年龄段存钱的存到60岁时的本息和,单位为元; D E 在[50,59]年龄段存钱的存到60岁时的本息和,单位为元; 某人开始存钱到60岁存的钱的本息和, 单位为元; S p某人每月初领取退休金, 单位为元. 五、模型的建立 一、建立每个年龄段存入的金额到60岁时所产生的利息和的数学模型 分不同的年龄段求在该年龄段内每个月所存入的金额及到60岁时所产生的利息和. 由于人们是每个月的存钱，计算利率时也要用月利率，即10%/12. 1、 20—29岁 当人们在20岁~29岁中的岁开始每月存入X元时，到60岁时该月金额的本息和为a11 (1+10%/12)的b次方乘X，b为该月月利率循环的次数。计算到29岁最后一个月a11所有月份循环的次数，则b从361到12× (29-+1)+360。故在该年龄段，60岁时所a1 产生的本息和一般模型为 72012,a1b(110%/12)，xB = (化简得之) ,1b,361 其中，20<=<29 a1 2、30—39岁 当人们在30岁~39岁中的岁开始每月存入X元时，到60岁该月金额的本息和为a22 (1+10%/12)的c次方乘X，c为该月月利率循环的次数。计算到39岁最后一个月a22所有月份循环的次数，则c从241到12×(39-+1)+240。故在该年龄段，60岁时所a2 3 产生的本息和一般模型为 72012,a2c(110%/12)，x C = (化简得之) ,2c,241 其中，30<=<39 a2 3、40—49岁 当人们在40岁~49岁中的岁开始每月存入X元时，到60岁该月金额的本息和为a33 (1+10%/12)的d次方乘X，d为该月月利率循环的次数。计算到49岁最后一个月a33 所有月份循环的次数，d从121到12×(49-+1)+120。故在该年龄段，60岁时所产生a3的本息和一般模型为 72012,a3dD = (化简得之) (110%/12)，x,3 d,121 其中，40<=<49 a3 4、50—59岁 当人们在50岁~59岁中的岁开始每月存入X元时，到60岁该月的金额的本息和为a44 (1+10%/12)的e次方乘X，e为该月月利率循环的次数。计算到59岁最后一个月a44 所有月份循环的次数，e从1到12×(59-+1)。故在该年龄段，60岁时所产生的本息a4和一般式为 72012,a4eE =(110%/12)，x (化简得之) ,4 e,1 其中，50<=<59 a4 二、计算参加者从参加养老计划开始到60岁一共所得金额 基础公式 S=B+C+D+E 求解得到模型为 4 在20~29岁时参加养老金计划 72012,a3601240120cbde(110%/12)，x(110%/12)，x+++ (110%/12)，x,,(110%/12)，x21,,34241c,b,361d121,1e, 在30~39岁时参加养老金计划 720-12a1202402cde (110%/12)(110%/12)(110%/12)，，，xxx++,,,234,,,cde2411211 在40~49岁时参加养老金计划 72012,a1203de (110%/12)(110%/12)，，xx+,,34de,,1211 在50~59岁时参加养老金计划 72012,a4e (110%/12)，x,4e,1 三、求参加者每月初领取退休金金额 ，参加者到60岁时产生的本利息和为s，从退休(60岁)开始，每月初领取退休金P但余额仍然在产生利息.以此一边产利一边领p的模式领取20年，直到80岁的最后一个月账户余额为0，并以最后一个月账户余额为0的情形建立等式，求得p. 第一个月账户余额 sp, 第二个月账户余额 ()(110%/12)spp,，，, 0第三个,，，,，，，sp(110%/12)[(110%/12)(110%/12)] 月账户余额: [()(110%/12)]sppp,，，,, 220第,，，,，，，，sp(110%/12)[(110%/12)(110%/12)(110%/12)]， 四个月账户余额: {[()(110%/12)]}(110%/12)spppp,，，,,，，, 3320 ,，，,，，，，，sp(110%/12)[(110%/12)(110%/12)(110%/12)(110%/12)]，， ...... 5 由上述结果，我们可以演绎推理出更一般的情形 即第n个月账户余额为 nnn,,,1120由于sp，，,，，，(110%/12)[(110%/12)(110%/12)(110%/12)]，，，......第80岁的最后一个月，应为第240个月，故令n为240，联系此时账户余额为0建立平衡 2401240124020,,,0= sp，，,，，，，，，(110%/12)[(110%/12)(110%/12)......(110%/12)] 2392392380 = sp，，,，，，，，，(110%/12)[(110%/12)(110%/12)......(110%/12)] 解之得的模型为: p 239240p,，[(110%/12)s，，10%]/[12(110%/12),12] 六、模型的求解 问题一的求解 72012,a3601202401bcedp,[((110%/12)(110%/12)(110%/12)，，，xxx，，，(110%/12)，x),,,,1243ce,,2411b,361d121, 239240 (110%/12)，，，10%]/[12(110%/12),12] 7201220360120,，240bced,[((110%/12)(110%/12)(110%/12)，，，，，，，，，，200200200200)(110%/12)，,,,,ce,,2411b,361,121d 239240 (110%/12)，，，10%]/[12(110%/12),12] =12205.7 问题二的求解 720-12a1202402e239cdpxx,，，，[(110%/12)(110%/12)(110%/12)()10%]++(110%/12)，x，,,,423,,,e1cd241121 240 /[12(110%/12)，,12] 720-1235，120240239cde,，，，[(110%/12)(110%/12)(110%/12)()10%]，，，，200+500+(110%/12)1000，,,,1e,,,241121cd 240/[12(110%/12)，,12] =5747.6 6 问题三的求解 72012,a1203de239240pxx,，，，[(110%/12)(110%/12)(110%/12)()10%]/[12(110%/12)+12]，，,,,34de,,1211 7201248120,，de239240,，，，[(110%/12)(110%/12)(110%/12)()10%]/[12(110%/12)，，,1000+200012]，，,,de,,1211 =4644.4 七、模型的优缺点讨论 1、 模型优点 (1) 给出一个年龄就可以计算出相应的月退休金,若运用到实际中，会带来很大的便利; (2) 因为等式是以最后一个月的账户金额为0建立的，所以按照我们计算的值，可以p 让参加者完全取出自己的本利和，最大限度的保障了自己的利益; (3) 建模的思路简单，原理易于让他人接受; (4) 编程简单易行，可以快速计算出值( p 2、 模型缺点: (1) 该模型是在假设的条件下建立的，所以有一定的局限性，比如若没有考虑到利率 的变化，参加者能领取养老金的年龄不可能恰好到80岁等; (2) 该模型只能以参加者的整数年龄计算，即参加者开始缴纳养老金是每个年龄阶段 1月初，而不能更加细致地表现出其他月份不为1甚至是天数不为1的情况.比如 某人是27岁8月6日参加养老计划的，而不是27岁1月1日，那么在模型中就 不能很方便地计算出值. p 八、模型改进与推广 (1)上述我们只是计算了参加者开始缴纳养老金是每个年龄阶段1月初的情况，我们可以将其改进成不是1月初的情况，进一步推广，将年利率变成日利率，还可以计算出不是月初而是某一天的情况，这样就能更接近实际情况. (2)在实际生活中，利率不是一成不变的，我们可以将利率的变动情况考虑进去，进一步推广成养老金的动态模型. 参考文献 7 [1] 王化成主编，财务管理(第三版)，北京:中国人民大学出版社，2010 [2] 姜启源 谢金星 邢文训 张立平编著，大学数学实验(第2版)，清华大学出版社,2010 附录 附录一:用MATLAB编程 (1) x=[200 200 200 200]; a=[20 30 40 50]; syms b c d e B= symsum(x(1).*(1+0.1/12)^b,b,361,720-12.*a(1)); % 20岁~29岁中的岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和; a1 C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)^c,c,241,720-12.*a(2)); % 30岁~39岁中的岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和; a2 D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)^d,d,121,720-12.*a(3)); % 40岁~49岁中的岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和; a3 E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)^e,e,1,720-12.*a(4)); % 50岁~59岁中的岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和; a4 S=B+C+D+E; % 从开始存钱到60岁时，总共产生本息和; S=vpa(S); % 将计算结果化成小数; p=[(1+0.1/12)^(239)*0.1]/[12*(1+0.1/12)^(240)-12]*S % 每月初领取退休金。 运行结果: p =12205.747361515939831504737414689 8 (2) x=[0 200 500 1000]; a=[20 35 40 50]; B= symsum(x(1).*(1+0.1/12)^b,b,361,720-12.*a(1)); C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)^c,c,241,720-12.*a(2)); D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)^d,d,121,720-12.*a(3)); E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)^e,e,1,720-12.*a(4)); S=B+C+D+E; S=vpa(S); p=[(1+0.1/12)^(239)*0.1]/[12*(1+0.1/12)^(240)-12]*S 运行结果: p =5747.6671888650846543896949163785 (3) x=[0 0 1000 2000]; a=[20 30 48 50]; B= symsum(x(1).*(1+0.1/12)^b,b,361,720-12.*a(1)); C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)^c,c,241,720-12.*a(2)); D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)^d,d,121,720-12.*a(3)); E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)^e,e,1,720-12.*a(4)); S=B+C+D+E; S=vpa(S); p=[(1+0.1/12)^(239)*0.1]/[12*(1+0.1/12)^(240)-12]*S 运行结果: p =4644.4837248332347384601281888253 9