上海电力学院高等数学(上)期终考试试卷
课号150040 任课教师___________班级___ _____学号_________姓名__________成绩__________
一
二
三
四
五
六
七
八
一.填空题(每小题3分,共15分)
1.设
,则
.
2.设
在
上可导,则
,
.
3.
.
4.
___________.
5.设
连续,且
,则
.
二.选择题(每小题3分,共15分)
1.下列结论正确的是( ).
A.
; B.
;
C.
; D.
.
2.设函数
,则点
是导函数
的( ).
A.无穷间断点; B. 连续点;
C.可去间断点; D. 跳跃间断点.
3.设
有连续的导函数,则
( ).
A.
;B.
; C.
; D.
.
4.当
时,下列无穷小量中
①
, ②
, ③
, ④
,
是同阶无穷小量的是( ).
A.①,②; B.②,③; C.③,④; D.④,①.
5.设
在定义域内可导,函数
图形如下图所示,
则导函数
的图形只可能为( ).
三.计算题(每小题5分,共20分)
1.求曲线
在点
处的切线方程;
2.讨论函数
在区间
的单调性和并求极值;
3.求
;
4.求过直线
和点
的平面方程;
四.(每小题6分,共24分)
1.
;
2.设函数
由
决定,求
,
;
3.证明
,
;
4.设
,求
.
五.(8分)(1)求对数螺线
,
的弧长;
(2)求
,
和极轴
所围图形的面积.
六.(10分)设一容器侧面由曲线
绕
轴旋转而成,已知初始时刻液面高度为2
,
(1)求液面高度为
时,容器中液体体积;
(2)若在容器底部有一个直径为2
的圆孔,当容器中液面高度为
时,孔中液体流速为
,求液面高度为
时,液面高度
关于时间
的变化率;
(3)容器中液体从小孔中流尽所需的时间.
七.(8分)设
在
上具有连续的二阶导函数,且
,
,
(1)写出
在点
处带拉格朗日余项的一阶麦克劳林展开式;
(2)证明
.
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