傅里叶级数 傅里叶变换 抽样定理 解释.doc
一、周期信号的傅里叶级数分析
，， 已知ft,,,Someting，那么它就可以
表
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示为如下形式:
,
-----------------------------------------
公式
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(1.1) ，，,,ft,a，acos(nwt)，bsin(nwt),0n1n1n1,
t，Tt，Tt，T000122a,f(t)dta,f(t)cos(nwt)dtb,f(t)sin(nwt)dt其中:、、 011nn,,,TTTttt000
------------------------------------------ 公式(1.2)
二、狄利克雷条件(存在傅里叶级数的条件) (1)有限个间断点 (2)有限个极大值、极小值 (3)绝对可积
三、傅里叶级数的另外写法
C型(这样叫比较形象):
,
----------------------------------------------------公式(3.1) ，，,,ft,c，ccos(nwt，,),0n1nn1,
D型:
,
，， ----------------------------------------------------公式(3.2) ,,ft,d，dsin(nwt，,),0n1nn1,
观察以上两个公式和公式<公式(1.1)>不难发现:
c,d,a;000
22c,d,a，b; nnnn
; a,c,cos,,d,sin,nnnnn
; b,,c,sin,,d,cos,nnnnn
abnn,,,。 tan,,tan,nnbann
四、指数形式的级数
,jnwt1，， ,, ----------------------------------------------------公式(4.1) ft,F(nw)e,1n,,,
对比公式(1.1)不难发现其中
11F(nw),(a,jb)F(,nw),(a，jb) 只要、就可以满足了 1nn1nn22
，，tTtT1100,jnwt1F(nw),f(t)[cos(nwt)-jsin(nwt)]dt =f(t)edt 所以----公式(4.2) 1,,tt00TT
那么又可以得到下面的一串
1j,nF,Fe,(a,jb); nnnn2
1,j,nF,Fe,(a，jb); nnnn,,2
11122F,F,c,d,a，b; n,nnnnn222
F，F,c。 n,nn
五、傅里叶变换
由公式4.1和公式4.2得:
,tT，,,10，，jnwtjnwt,1 ，，,--------------------------------公式(5.1) ftf(t)edte,,,,,,t0T，，n,,,,,
1dw,,, 由上面的中时，，则得到如下公式: T,,,,,2T
,,1jwtjwt, ---------------------------------公式(5.2) ，，ft,[f(t)edt]edw,,,2,,,,
1dw1w,,f,注; 解释下这个，因为，这个就必需懂了～ T2,T2,
得到公式5.2 那基本就完成了，只需要提取一些东西就可以了。
,jwt,; ---------------------------------公式(5.3) F(w),f(t)edt,,,
,1jwt。 ---------------------------------公式(5.4) ，，ft,F(w)edw,,2,,
六、 抽样定理
-T2T3T4T-T2T3T4TTT
(a)(b)
图1 a.取样脉冲信号 b.模拟信号
可以得到抽样后的结果为:
------------------------------------公式(6.1) m(t),m(t),(t)sT
从而 ------------------------------------公式(6.2) M(w),M(w),,(w)s,
,,,2易知 得到 ,(t),,(t,nT),(w),,(w,nw),,Ts,Tnn,,,,,,s
,，tT10jnwt,jnwt11F(nw) =f(t)edt(注:知公式4.1 和公式4.2 ，，,,ft,F(nw)e1,1,t0Tn,,,
t，Tt，T1100,jnwt,jnwtss可知，，F(nw),f(t)edt,,edt,1sT,,tt00TTss
,,,,2jnwtjnwts11,,，所以) ，，ft,F(nw)e,e,(w),,(w,nw),,,ss,Tnnn,,,,,,,,,s
,2, M(w),M(w),,(w),M(w,nw),ss,Tn,,,s
-T2T3T4TT-fHfH
(a)(b)
fs
2/T-T2T3T4T-1/TT1/T-2/T
(d)(c)
fs
-T2T3T4TT-fHfH
(e)(f)
图2 抽样过程 抽样过程中相当于把信号的频谱按照fs平移，而信号所占的频谱带宽最小为2fH所以得
出抽样定理fs>=2fH。
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