数值计算课后答案4

习题四解答1、设x00,x11,写出f(x)ex的一次插值多项式L1(x)，并估计插值误差解：根据已知条件，有x01y11e设插值函数为Li(x)axb，由插值条件，建立线性方程组为a0b1a1be1解之得ae11b1则l_1(x)(e11)x1因为y(x)xe，y(x)e%所以，插值余项为1r(x)f(x)p(x)—f(n1)()(x)(n1)!評()(x)2^f(2)()(xXo)(XG1(x0)(x1)((0,1))所以maxx(x0x11)0r(x)〔maxe2o1o11—e——482、给定函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf xf(Xi)选用合适的三次插值多项式来近似计算f和f°解：设三次插值多项式为f(x)aoa/a?x2a3X3，由插值条件，建立方程组a。4(0.1)a2(0.1)2a3(0.1)30.995a。0.3a20.32a30.330.995a0q0.7a20.72a30.730.765a°1.1a21.12a31.130.454a°0.1a10.01a20.001830.995a°0.1a10.01a20.001a30.995a°0.3a10.09a20.027a30.9950.4a10.08a20.028a30a°0.7a10.49a20.343a30.7650.8a10.48a20.344a31.76a°1.1a11.21a21.331a30.4540.4a10.72a20.988a30.311TOC\o"1-5"\h\za00.1印0.01a20.001a30.9950.4印0.08a20.028a300.32a20.288a31.760.384a33.831解之得a00.41a6.29a23.48xkli(x)xk(k0,1,2,L,n);a39.98(2)(xi0x)kh(x)0(k0,1,2,L,n)证明：作n次插值,n(1)由拉格朗日插值定理，以插值多项式为X0,X1,X2,…Xn为插值节点，对y=f(x)=xkPn(x)li(x)yi，i0而yi=xk,n所以Pn(x)li(x)yi0nh(x)xk同时，插值余项r(x)xkPn(x)(^f(n1)()(x)1(n1)!(xk)(n1)(x)则所求的三次多项式为f(x)0.416.29x3.48x29.98x3。所以f(0.2)0.416.290.23.480.229.980.230.91f(0.8)0.416.290.83.480.829.980.831.743、设x(i0,1,2,l,n)是n+1个互异节点，证明：(1)ni0nn所以li(X)Xjkxki0结论得证。(2)取函数f(x)(xt)k,k0,1,2,L,n对此函数取节点x(i0,1,2,L,n)，则对应的插值多项式为nPn(X)(Xit)kli(X)，i0由余项公式，得nkkr(X)(xt)(Xit)li(X)i0所以n(Xt)k(Xit)kli(x)i01(n1)!(n1)()(x)1(n1)!(xt)k(n1)(X)令t=x，n(Xx)kli(x)0i04、给定数据(f(x).x)Xf(x)(1)试用线性插值计算f的近似值，并估计误差;(2)试用二次Newton插值多项式计算f的近似值，并估计误差解：用线性插值计算f，取插值节点为和，则相应的线性插值多项式是p(x)1.483201.549191.483202.42.2(x2.2)1.483200.32995(x2.2)用x=代入，得f(2.3)1.483200.32995(2.32.2)1.450205(2)作差商表如下Xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商根据定理2,f(x)=f(x0)+f[x0,Xi](x-Xo)+f[x0,X1,X2](X-Xo)(x-x1)+…+f[x0,Xi,…,Xn](x-Xo)(x-x1)…(x-xn-1)+f[xo,Xi,…，Xn,x]n(x)o以表中的上方一斜行中的数为系数，得f=+XXX指出：误差未讨论。5、给定函数表X01245y01646880试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式和插值余项解：作差商表如下Xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商001611673052246—376212534881093—8850根据定理2,以表中的上方一斜行中的数为系数，得TOC\o"1-5"\h\z57p(x)016x7x(x1)x(x1)(x2)x(x1)(x2)(x4)。26指出：余项未讨论。5*、给定函数表x01234y01646880y01646880试求各阶差分，并求等距节点插值。解：由已知条件，显然，xo=O,h=1,x=t。作差分如下Xf(x)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分00161161430—224612—14042—142488—130—8850根据等距节点插值公式，140)TOC\o"1-5"\h\zPn(Xoth)的0t16J144』(2)雉为3(2!3!4!16t7t(t1)t(t1)(t2)35t(t1)(t2)(t3)6指出：在本题这种情况下,实际上pn(t)pn(X)，也就是说,在这样的条件下,t的多项式就是X的多项式，可以直接转换。一般情况下，把t的关系转换为X的关系需要根据X=Xo+th，将t用X表示，即将t代入得到的多项式。h6、给定数据表Xf(x)试用三次牛顿差分插值公式计算f及f。解：所给节点是等距结点：x00.125,h0.125,Xx0ih,i0,1,2,3,4,5。计算差分得xf(x)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分五阶差分0.1250.796180.2500.773340.3750.743710.5000.704130.6250.656320.7500.60228令xXoth(txXo),根据等距结点插值公式，得hPn(x0th)Pn(t)0.79618t(0.02284)世耳(0.00679)2!t(t1)(t2)t(t1)(t2)(t3)t(t1)(t2)(t3)(t4)(0.00316)0.00488(0.00460)3!4!5!则f(0.1581)pn(0.1581)pn(0.1250.2648h)0.790294822,。f(0.636)pn(0.6363)pn(0.1254.088h)0.6518048267、设f(x)在［-4,4］有连续的4阶导数，且f(1)1,f(0)2,f(0)0,f(3)1,f(3)1(1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x)，使其满足p(1)f(1)1,p(0)f(0)2,p(0)f(0)0,p(3)f(3)1,p(3)f(3)1(2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。解：(1)由7*可以求出满足TOC\o"1-5"\h\zp(0)f(0)2,p(0)f(0)0,p(3)f(3)1,p(3)f(3)1的三次埃尔米特插值多项式H(x)—x3-x22。27352设p(x)H(x)a(x3)2x2x3x22a(x3)2x2，贝Up(x)满足273p(0)f(0)2,p(0)f(0)0,p(3)f(3)1,p(3)f(3)1，由f(1)1得527(1)322223(1)2a(13)(1)11108所以2253223)x——x-x27332x24p(x)H(x)a(x14133xx1085412108(x3)2x(2)余项具有如下结构r(x)f(x)p(x)k(x)(x1)x2(x3)2作辅助函数(t)f(t)p(t)k(x)(t1)t2(t3)2则显然(t)在点x,1,0,3处有6个零点(其中0,3是二重零点)，即(x)0,(1)0,(0)0,(0)0,(3)0,(3)0，不妨假设x(1,0)。由罗尔定理，存在1(1,x),2(x,0),3(0,3)，使得(1)0,(2)0,(3)0，再注意到(0)0,(3)0，即(t)有5个互异的零点12033再次由罗尔定理得，存在1(1,1),2(2,0),3(0,3),4(3,3)，使得(1)0,(2)0,(3)0,(4)0第二次应用罗尔定理得，存在1(1,2),2(2,3),3(3,4)使得(1)0,(2)0,(3)0，第四次应用罗尔定理得，存在1(1,2),2(2,3)使得(4)(1)0,⑷(2)0，第五次应用罗尔定理得，存在(1,2)使得⑸()0注意到⑸(t)r⑸(t)5!k(x)f⑸(t)5!k(x)(r(t)f(t)p(t)中p(t)是4次函数，其5次导数为0)所以(5)()f(5)()5!k(x)=0k(x)=宀)5!代入余项表达式，有f(5)()22r(x)f(x)p(x)(x1)x(x3)。5!指出：本题是非标准插值问题，比较简单的求解方法有：求插值问题的基本方法是待定系数法。以本题来说，有5个条件，可以确定个4次的插值多项式，设为yaoqxa?x2aax3aax3，将条件代入，建立-个5元的线性方程组，求出各参数，就可以求出插值多项式。求插值问题的第二种方法是基函数法，即根据给定条件设定插值多项式的结构和各基函数的结构，根据条件确定基函数即可。具体方法与拉格朗日插值基函数构造和埃尔米特插值基函数构造相似。以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法，本题中，首先利用4个条件构造一个埃尔米特插值，在此基础上设定所求插值多项式的一般形式，保证其满足埃尔米特插值条件，代入未利用条件解方程(组)，求出其中的未知参数，即可求出插值多项式。本题也可以先利用p(1)f(1)1,p(0)f(0)2,p(3)f(3)1构造一个2次插值多项式p2(x)，以此为基础构造4次插值多项式p4(x)，p4(x)的结构是P4(x)P2(x)(axb)(x1)x(x3)，满足p(1)f(1)1,p(0)f(0)2,p(3)f(3)1再根据p(0)f(0)o,p(3)f(3)1列出两个线性方程组成的方程组，求出a、b两个参数，即可求出所求的插值多项式。求插值函数余项r(x)的常用方法是：r(x)f(x)p(x)应具有如下形式(以本题为例)22r(x)f(x)p(x)k(x)(x1)x(x3)作辅助函数22(t)f(t)p(t)k(x)(t1)t(t3)则⑴在点x,1,0,3处有6个零点(其中0,3是二重零点)。反复应用罗尔定理,()f(5)()5!k(x)=0k(x)=(5)()5!此时即有代入余项表达式即可求出。7*、设f(x)在［-4,4］有连续的4阶导数，且f(0)2,f(0)0,f(3)1,f(3)1试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H(x)，使其满足p(0)f(0)2,p(0)f(0)0,p(3)f(3)1,p(3)f(3)直到至少有一个(4,4)，使得(5)()0。解一(待定系数法)：解：设H(x)a°H(x)a12a2x由插值条件得20112a2X3asX2，a3X3，则H(0)H(0)H(1)H(1)a。a1a0a1&12a?3&3a2a3解之得a。2,a10,a22弄3227，所以H(x)5322xx273解二(基函数法)：解：设H3(x)f(x。)因为线性0(x)f(xj1(x)f(x°)0(x)f(xj朗日插值基函数为l°(x)-1(x)，x1x33xx0x-i033'h(x)丄呂X1x由④得・20(x)[12(xx。)]l°(x)x人2[12(xX。)丄］兰x1X。人x°[12(x279x22710)]032x3x121(x)[12(xX1),x]X°X1X1由⑤得X20(X)(xX°)X1X0X12XX01(X)(xX1)X1X0则H(x)53222oX—X273&设f(x)Xe(0X1)同理xP(O)f(0),p(0)3xxx°解：设此二次式为小2c39x2x273x29试作一个二次多项式p(x)，使其满足f(0),p(1)f(1)，并导出余项估计式。P(x)abxcx2,f(0)2cx,bxp(0)f(0)1,p(0)将其代入p(x)1,p(1)f(1)ep(x)b2cx，得2所以，要求的二次多项式为2p(x)1x(e2)xo因为0是2重零点，1是1重零点，因此可以设余项具有如下形式:2r(x)f(x)p(x)K(x)(x0)(x1),其中K(x)为待定函数固定x，作辅助函数2(t)r(t)K(x)(t0)(t1)显然(0)0,(0)0,(x)0,(1)0,不妨假设x(0,1)。由罗尔定理，存在1(0,x),2(x,1),使得(1)0,(2)0，TOC\o"1-5"\h\z再注意到(0)0再次由罗尔定理得，存在1(0,1)(0,1),2(1,2)(0,1)，使得(1)0,(2)0再次应用罗尔定理，存在(1,2)(0,1)使得()0。注意到(t)r(t)3!K(x)f(t)3!K(x)(r(t)f(t)p(t)中p(t)是2次函数，其3次导数为0)所以()f()3!K(x)=0K(x)=f()3!代入余项表达式，有f()2e2r(x)f(x)p(x)(x0)(x1)=x(x1)。3!3!指出：石瑞民《数值计算》关于余项讨论很清楚。9、给出sinx在［0,n］上的等距结点函数表，用线性插值计算sinx的近似值,11使其截断误差为丄104，问该函数表的步长h取多少才能满足要求2解：设x,k0,1丄)为等距结点，步长为h，则XkiXkh当X［Xk,Xki］时，作f(x)的线性插值L1(x)XXk1f(Xk)xXkf(Xk1)XkXk1Xk1Xk则有f(x)L1(x)()(xXk)(XXk1)，2由此易知f(X)L1(x)1-max2兀x兀11h2f(x)(XXk)(XXk1)2y，x[Xk,Xk1]因此f(X)L1(x)8-h2由—1—104，得h0.02。82指出：关于最大值的计算与12题相同。10、求f(X)X4在区间［a,b］上的分段埃尔米特插值，并估计误差解：由分段三次埃尔米特插值多项式nH3(x)[f(Xi)i(X)f(Xi)i(X)]i0则f(x)X4的分段埃尔米特插值为nH3(x)[f(x^)i(x)f(Xi)i(x)]i0n[X4i(x)4Xi3i(x)]i0其中2[12(xX1Xi)]XiXXiX1.0X1,Xi1XXi，i2(Xi)[12(xXi)]XiXX1,XiXXi1,inXi1XX10,其他2(xXi)Xxi1,Xi1XXi,i0XiXi12(Xi)(XXi)Xxi1,Xixx1,inXiXi10,其他其余项估计式为h4r(x)max384axb11、已知数据表.4.4⑷hhf⑷(x)——4!一。38416i012Xi10f(xjf(Xi)求三次样条插值函数。解：这是第一类边界条件，要求解方程组TOC\o"1-5"\h\z2110.333330M°goi2iMigi012M2g2其中h0xx07.52.55hx2x1107.52.51h0-0.666671h0h136611g0n(hiy0)0.564g.6y2y1y1y°、10h2(h2h16y2%、1.608g2-(y2打将以上数据代入方程组)1.1200210解之得M。M1M2g。g1g2M0M1M20.8073391.0506781.329334将获得的数据代入到Si(x)Mi(x“6h3-(yi1%)中，得s(x)0.026911(7.5x)30.070045(10x)30.035023(x0.088622(x30.12721833.237783(7.5(5.0x)x)2.275565(x2.5)1.446111(x7.5)12、设f（x）C2[a,b]（具有二阶连续导数），且f(a)=f(b)=0，证明:12f(x)maxf(x)-(ba)maxaxb8axb证明：以a、b为节点进行插值,f(x)P1(x)xb.f(a)ab1-f()(x2!r(x)a)(xb)(a)(xa)(xb)b)因为（xa）（xb）在x丄心b）处取得最大值，故2maxf(x)-maxf(x)max(xa)(xb)](ba)2maxIf(x)8axb13.给定数据表—0.10.10.40.91.6用两种方法求其二次拟合曲线。解一：abxex2，设所求的拟合函数为y52Yi]。2[(abxicx)i1对a、Lb、c分别求偏导,52[(ai1并令偏导数等于0,得bxex2)Vi]0[(abxi155abxi152[(ai15[(ai15a人i1L5ci15[(ai152a人i1ex2)Yi]bXj2cxi52xi1c<2)yJx53cXii12[(abx22cxi)yJXi22bxc^)yi]x55u34bXjc人i1i1将各数据点的数值代入，得方程组为TOC\o"1-5"\h\z5a10c2.910b4.210a34c7解之得a=，b=0。42，c=，所以数据点所反映的函数的近似关系为2y0.40860.42x0.0857x解二：设所求的拟合函数为yabxcx2，将数据代入方程得a2b4c0.1abc0.1a0.4abc0.9a2b4c1.6方程组的系数矩阵和1右端向〕量为1240.11110.1A100,B0.41110.91241.6因为124111111115010ata21012100010041014111100341240.1111110.12.9atb210120.44.2410140.971.6所以5010a2.90100b4.210034c7解之得；a=，b=0。42，c=，所以数据点所反映的函数的近似关系为2y0.40860.42x0.0857x14、已知试验数据x1925313844y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如yabx2的经验公式，并计算均方误差。解：设yabx222[(abXi)yi]i1a、b分别求偏导，并令偏导数等于0,得52[(abx2)y]0i1[(abx')yj052Xii152[(abXi2)i15abyi0y]x20[(ai152aXii1bx2)y]x"4Xi将数据代入得5ab(192252a(19225231231249.03822Xi31238273.3yi0382442)(19.032.349.073.397.8)0442)b(194254314384444)(19219.025244297.8)032.3化简得0369321.505a5327b271.45327a7277699b第二个方程减去第一个方程乘以1065进一步化简得5a5327b271.402a1604444b80279.50解之得a1.01b0.05则x与y的函数关系是y=+0此时，平方逼近误差为5L[(abx2)yi]20.017i1所以,均方误差为.0.0170.13o指出：均方误差实际上就是按最小二乘法则确定的残差15、观测物体的直线运动，得出如下数据:时间t(s)0距离s(m)010305080110求运动方程。解：设运动方程为s=a+bt则6280,tisii110786662ti14.7,t~53.63,siTOC\o"1-5"\h\zi1i1i1将上述数据代入方程组666abtjsi1i16662atibtitsi1i1i1得方程组6a14.7b28014.7a53.63b1078解之得a7.8550478b22.25376所以，s7.855047822.25376t。指出：利用统计型计算器，有关中间数据可以简单求出。16、在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下:时间t05101520253035浓度y(104)0时间t40455055浓度y(104)用最小二乘法求y=f(t)。解：描草图，观察草图可以发现，该组数据分布近似于指数函数曲线，而且随着y的增速放缓，故设Oay两边取对数，得InyInab1，11令Iny乙s,lnat则拟合函数转化为线性拟合关系zcbs11112Si0.6039755,s0・06232136TOC\o"1-5"\h\zi1i11111Zi13.639649,SZ0.5303303。i1i1将上述数据代入111111cbSi乙i1i1111111u2csbsSNi1i1i1得11c0.6039755b13.6396490.6039755c0.06232136b0.5303303解之得b7.4961692,c1.6515592a5.2151048所以7.4961692y5.2151048e'。指出：（1）T=0,该拟合函数不适用。（2）专业的变化规律（经验函数）应当由专业人员给出。仅仅从有限数据的草图得出的规律可能不具普遍性。17、给定数据表xy6560535046用最小二乘法求形如yaebx的经验公式解：对yaebx两边取对数，得lnylnabx，令lnyY,lnaa0,ba1，Yaoaix,代入数据，建立方程组为5ao17.3ai19.9796881517.3a°64.23a1解之得68.55117703ao4.45380aoaeao85.9529ao.132329所以bc0.132329o.132329xy85.9529e18、用最小二乘法求方程组2x4y113x5y3X2y6X2y14的近似解。分析：这是方程个数多于未知数个数的超定方程组，是矛盾方程组，用最小二乘法求解。解：设方程组中各个方程的一般形式为aiXbyCi，则对X、y分别求偏导，并令偏导数等于L42[(aiXbiy)cjao,得Xi14[(axi14XiLbiy)Ci]aio4yaibii12ai142gxbiy)i14aiCii1cjbgxi14xabi1by)cjbo4yb2i14biCii1将数据代入得15x3y5103x49y690解之得x3.727y1.63619、已知数据表它有形如p(x)—1的拟合函数，试求本问题的最小二乘解。abx解：令y则拟合函数变形为bx，原拟合问题转化为线性拟合问题。a、82[(ab^)yj。i1b分别求偏导，并令偏导数等于0,得82[(abxjy]0i1[(ai1Vi]08ab8Xii182[(ai1bx)yjxj[(ai18a人i1bxjV]Xi将数据代入,8bi1得2Xixx8aVi8ai1解之得Xiyii18a36b419.9036a204b2479.48a36b419.9084b8737.90a520.58b104.02所以，所求的拟合函数为1P(x)520.58104.02x20、在平面上给出三个点，它们的坐标是xi(1,1),X2(2,0)T,X3(1.5,3)T，每个点对应一个函数值z11.8,z22.6,z33.1，找出一个通过这三个点的平面。解：这实际上是求过三个点(1,1,1.8),(2,0,2.6),(1.5,3,3.1)的平面方程。由解析几何知识可知，平面的三点式方程为TOC\o"1-5"\h\zxyz1Xy1Z110X2y2Z21X3yZ31将三点坐标代入，解此方程就可求出所求平面方程。(以下从略)补充题(一)1、求次数不超过2和3的多项式p2(x)和p3(x)。使得P2(O)=P3(O)=0，P2(1)=P3(1)=1，P2(2)=P3(2)=8，P3(3)=27。解一：设二次多项式为p2(x)=a0+atx+a2X2，则有a。a0a2020a。a1a2121a。a2a2228解之得，a°0,42,a23。所以P2(X)2x3x2■。设三次多项式为P3（x）=a0+ax+a2X2+a3X3，a°a0a202a3030,2,3a°印1a21a311a°a2a222a3238a°a3a232a33327解之得，a°0,40,a20,a31。所以则有P2(x)x3。解二：由题6,可以直接利用插值多项式公式求出所要求的多项式来。解三：在学习了差商和差分后，也可以利用牛顿插值公式或等距节点插值公式求出所求多项式。对f(x)在0，1,2，3处求差商得xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商0011137128619327所以，P2(x)=p2(0)+1X(x-0)+3X(x-0)(x-1)=3x2-2x，P3(x)=p3(0)+1X(x-0)+3X(x-O)(x-1)+1X(x-0)(x-1)(x-2)=x3。2、已知函数f(x)在节点—1,0，1处的值分别是”，用待定系数法和插值基函数法两种方法求出拉格朗日插值。解1:设所求的多项式为P2(x)a。ajxa?x2，把已知条件代入得a。a1(1)a2(1)20.36792a0a(0)a2(0)1.000a0a1(1)a2(1)22.7182解之得a°1,a11.751,a20.5431所以p2(x)11.1751x0.5431X2。解2:由插值基函数公式nnh(x)lo(X)li(x)l2(X)(XXk)n(XXk)k0kix(x1)2(x1)(x1)x(x1)2(Xo)(x1)(10)(11)[X(1)](X1)[0(1)](01)[x(1)](x0[1(1)](10)代入插值公式得p2(x)0.3679l0(x)1.000l1(x)2.7182l2(x)即2p2(x)11.1751X0.5431X。3、设f(x)=x4,试利用拉格朗日插值余项定理写出以一1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。解：记三次插值多项式为p(x)，由插值余项定理1f(x)p(x)-f(n1)()(X)(n1)!-f4!(4)()(x1)(X0)