第五章 第二节　等差数列及其前n项和

第五章数列第二节　等差数列及其前n项和*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 练下页末页上页首页[基础梳理]1．等差数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从______起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数．②符号语言：___________(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中__叫做a，b的等差中项．第2项差同an＋1－an＝dA*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝___________．(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝___________．3．等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则_____________．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为___的等差数列．(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．a1＋(n－1)deq\f(n（a1＋an）,2)(n－m)dak＋al＝am＋anmd*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页1．两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋D．(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2．三个必备结论(1)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页(2)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).(3)在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1＜0，d＞0，则满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值Sm.3．两个函数等差数列{an}，当d≠0时，an＝dn＋(a1－d)，是关于n的一次函数；Sn＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n是无常数项的二次函数．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页[四基自测]1．(教材改编)已知数列{an}中，an＝3n＋4，若an＝13，则n等于(　　)A．3　　　　B．4C．5D．6 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：A2．已知等差数列{an}满足：a3＝13，a13＝33，则数列{an}的公差为(　　)A．1　　　　B．2C．3D．4答案：B*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页3．(教材改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8＝(　　)A．18B．36C．54D．72答案：D4．在100以内的正整数中有________个能被6整除的数．答案：165．已知等差数列5，4eq\f(2,7)，3eq\f(4,7)，…，则前n项和Sn＝________．答案：eq\f(5,14)(15n－n2)*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页考点一　等差数列的性质及基本量的运算eq\x(◄考基础——练透)角度1　用等差数列的基本量a1和d进行计算[例1]　(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)A．－12　　　B．－10C．10D．12*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页解析：设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×（3－1）,2)×d))＝2a1＋eq\f(2×（2－1）,2)×d＋4a1＋eq\f(4×（4－1）,2)×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B．答案：B*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页(2)已知等差数列{an}的各项都为整数，且a1＝－5，a3a4＝－1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝(　　)A．70B．58C．51D．40解析：设等差数列{an}的公差为d，由各项都为整数得d∈Z，因为a1＝－5，所以a3a4＝(－5＋2d)(－5＋3d)＝－1，化简得6d2－25d＋26＝0，解得d＝2或d＝eq\f(13,6)(舍去)，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋eq\f(7×（1＋13）,2)＝58.故选B．答案：B*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页角度2　用等差数列性质进行计算[例2]　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a3＋a10＝9，则S9＝(　　)A．3B．9C．18D．27解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为D．∵a2＋a3＋a10＝9，∴3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝3，∴a5＝3，∴S9＝eq\f(9×（a1＋a9）,2)＝eq\f(9×2a5,2)＝27.故选D．答案：D*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页(2)(2019·河北唐山第二次模拟)设{an}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　)A．2X＋Z＝3YB．4X＋Z＝4YC．2X＋3Z＝7YD．8X＋Z＝6Y解析：设数列{an}的前3n项的和为R，则由等差数列的性质得X，Y－X，R－Y，Z－R成等差数列，所以2(Y－X)＝X＋R－Y，解之得R＝3Y－3X，又因为2(R－Y)＝Y－X＋Z－R，把R＝3Y－3X代入得8X＋Z＝6Y，故选D．答案：D*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页等差数列的计算技巧 方法 解读 适合 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型 基本量法 用a1和d 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示条件和所求，用方程思想求出a1和d 五个基本量，a1，d，Sn，n，an中知三求二 性质法 用等差数列的性质将已知和所求联系起来，用性质表示an和Sn 当已知中有“an＋am”式的表达式*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页1．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为(　　)A．－3B．－eq\f(5,2)C．－2D．－4解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,S5＝－15，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1，,5a1＋\f(5×4,2)d＝－15，))解得d＝－4，故选D．答案：D*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页2．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则a5＝(　　)A．11B．10C．7D．3解析：∵a1＋a5＝2a3＝8，∴a3＝4，又∵a3＋a5＝2a4，∴a5＝2a4－a3＝14－4＝10.故选B．答案：B*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页3．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列的前13项和为(　　)A．13B．26C．52D．156解析：3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，∴6a4＋6a10＝24，∴a4＋a10＝4，∴S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝eq\f(13（a4＋a10）,2)＝eq\f(13×4,2)＝26，故选B．答案：B*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页考点二　等差数列的判定与证明eq\x(◄考能力——知法)角度1　用等差数列定义证明[例3]　(2019·南京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,2).(1)求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列．(2)求an的表达式．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页解析：(1)证明：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.因此eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2(n≥2)．故由等差数列的定义知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,S1)＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，即Sn＝eq\f(1,2n).由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－eq\f(1,2n（n－1）)，又因为a1＝eq\f(1,2)，不适合上式．所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（n＝1），,－\f(1,2n（n－1）)（n≥2）.))*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页角度2　用等差中项法证明[例4]　已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.(1)若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列；(2)若am＋2是am＋1和am的等差中项，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列吗？解析：(1)证明：由S3，S9，S6成等差数列，得S3＋S6＝2S9.若q＝1，则3a1＋6a1＝18a1，解得a1＝0，这与{an}是等比数列矛盾，所以q≠1，于是有eq\f(a1（1－q3）,1－q)＋eq\f(a1（1－q6）,1－q)＝eq\f(2a1（1－q9）,1－q)，整理得q3＋q6＝2q9.因为q≠0且q≠1，所以q3＝－eq\f(1,2)，a8＝a2q6＝eq\f(1,4)a2，a5＝a2q3＝－eq\f(1,2)a2，所以2a8＝a2＋a5，即a8－a2＝a5－a8，故a2，a8，a5成等差数列．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页(2)依题意，得2am＋2＝am＋1＋am，则2a1qm＋1＝a1qm＋a1qm－1.在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，所以2q2＝q＋1，解得q＝1或q＝－eq\f(1,2).当q＝1时，Sm＋Sm＋1＝ma1＋(m＋1)a1＝(2m＋1)a1，Sm＋2＝(m＋2)a1.因为a1≠0，所以2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，此时Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列．当q＝－eq\f(1,2)时，Sm＋2＝eq\f(a1[1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(m＋2)],1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(2a1,3)[1－(－eq\f(1,2))m＋2]＝eq\f(2a1,3)[1－eq\f(1,4)×(－eq\f(1,2))m]，*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页Sm＋Sm＋1＝eq\f(a1[1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(m)],1－（－\f(1,2)）)＋eq\f(a1[1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(m＋1)],1－（－\f(1,2)）)＝eq\f(2a1,3)[1－(－eq\f(1,2))m＋1－(－eq\f(1,2))m＋1]＝eq\f(2a1,3)[2－eq\f(1,2)×(－eq\f(1,2))m]，所以2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1.故当q＝1时，Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列；当q＝－eq\f(1,2)时，Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页判定数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．(证明用)(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(证明用)(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页将本例1条件变为“数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，2Sn－nan＝n，”求证：{an}为等差数列．证明：因为2Sn－nan＝n，①所以当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1，②所以①－②得：(2－n)an＋(n－1)an－1＝1，(1－n)an＋1＋nan＝1，所以2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，所以数列{an}为等差数列．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页考点三　等差数列前n项和及综合问题eq\x(◄考素养——懂理)[例5]　(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.①求{an}的通项公式；②求Sn，并求Sn的最小值．解析：①设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.②由①得Sn＝eq\f(a1＋an,2)·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页(2)已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．①求证数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列，并求其通项公式；②设bn＝eq\r(2an)－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.解析：①∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列，其公差为2，首项为2，∴eq\f(an,n)＝2＋2(n－1)＝2n.*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页②由①知an＝2n2，∴bn＝eq\r(2an)－15＝2n－15，则数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(n（－13＋2n－15）,2)＝n2－14n.令bn＝2n－15≤0，解得n≤7.∴n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n.n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98.∴Tn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(14n－n2，n≤7，,n2－14n＋98，n≥8.))*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页关于等差数列前n项和问题，主要是求和方法及性质的应用，其关键点为：(1)定性质，根据已知条件判断出数列具有哪些特性．(2)定方法，根据已知条件或具有的性质，确定解决问题的方法．①求和：用哪个公式，需要哪些量．②求Sn最值：(ⅰ)借助Sn的二次函数法；(ⅱ)借用通项的邻项变号法a1>0，d<0，满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0,am＋1≤0))Sn取得最大值Sm；a1<0，d>0，满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0,am＋1≥0))，Sn取得最小值Sm.*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页1．在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(　　)A．21　　B．20C．19D．18解析：由a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35.a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.∴an＝a4＋(n－4)×d＝33＋(n－4)×(－2)＝－2n＋41.∴a20＞0，a21＜0，∴当n＝20时，S20最大，故选B．答案：B*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页2．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，若bn＝eq\f(1,2)an－30，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．解析：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴an＋1－an＝an＋2－an＋1，故数列{an}为等差数列．设数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝10，,6a1＋15d＝72，))解得a1＝2，d＝4.故an＝4n－2，则bn＝eq\f(1,2)an－30＝2n－31，*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn≤0，,bn＋1≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－31≤0，,2（n＋1）－31≥0，))解得eq\f(29,2)≤n≤eq\f(31,2)，∵n∈N*，∴n＝15，即数列{bn}的前15项均为负值，∴T15最小．∵数列{bn}的首项是－29，公差为2，∴T15＝eq\f(15×（－29＋2×15－31）,2)＝－225，∴数列{bn}的前n项和Tn的最小值为－225.*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 建模——传统文化中的数列的学科素养在传统文化中，涉及很多等差数列的模型，经过转化用等差数列的知识求解，体现了数学建模，数学运算的素养．[例1]　《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加(　　)A．eq\f(4,7)尺　　B．eq\f(16,29)尺C．eq\f(8,15)尺D．eq\f(16,31)尺*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页解析：设该女子织布每天增加d尺，由题意知S30＝30×5＋eq\f(30×29,2)d＝390，解得d＝eq\f(16,29).故该女子织布每天增加eq\f(16,29)尺．故选B．答案：B*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页[例2]　中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是(　　)A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页解析：用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a1＋eq\f(8×7,2)×17＝996，解得a1＝65.∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤，故选B．答案：B*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页课时规范练