2022-2023学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试题及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知a−ba+b=23，那么ab的值是(    )A.15B.−15C.5D.−52.下列两个三角形不一定相似的是(    )A.两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形B.腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形C.有一个内角为50°的两个直角三角形D.有一个内角是50°的两个等腰三角形3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=3，下列各式中，正确的是(    )A.sinA=13B.cosA=13C.tanA=13D.cotA=134.已知a=b，下列说法中，错误的是(    )A.a//bB.a−b=0C.|a|=|b|D.a与b方向相同5.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DE//BC的是(    )A.DEBC=12B.DEBC=13C.AEAC=12D.AEAC=136.新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，点A、B、C、D为不同的点且都在格点上，如果∠ADC=∠ABC，那么图中所有符合要求的格点D的个数是(    )A.3B.5C.7D.9二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.已知α为锐角，cotα=2sin60°，那么α=______度．8.已知线段a是线段b、c的比例中项，如果a=2，b=3，那么c=______．9.如果两个相似三角形的面积比为3：4，那么它们对应高之比为______．10.已知点P是线段AB上的一点，如果AP2=BP⋅AB，且AP=2，那么BP=______．11.计算：3a−12(2a−4b)=______．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC=2，AB=3，那么cos∠BCD的值为______．13.如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC与中位线EF交于点G，如果AD=3，EF=5，那么EG=______．14.如图，已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC.BE是AC上的中线，BE=15cm，AG=12cm，则S△ABC=______．15.已知在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB=4，BC=9当BD=______时，△ABD∽△DBC．16.如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往走2.5米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A离地面的高度AB的长为______米．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AF⊥CD，AF分别与CD、CB相交于点E、F，如果tanB=23，那么AEEF的值是______．18.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在边CD上，点A、D关于直线BE的对称点分别是点M、N.如果直线MN恰好经过点C，那么DE的长是______．三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题5.0分)如图，已知△ABC中，BA=a，BC=b，DE//BC，点D是边AB上的一点，ADDB=23．(1)请直接写出向量AE关于a、b的分解式，AE=______．(2)在图中作出向量CE分别在a、b方向上的分向量．(可以不写作法，但必须写出结论)20.(本小题5.0分)如图，梯形ABCD中，AD//BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G．(1)若FD=2，EDBC=13，求线段DC的长；(2)求证：EF⋅GB=BF⋅GE．21.(本小题5.0分)如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE//BC.如果S△ADE=2，S△BCE=7.5.求S△BDE．22.(本小题5.0分)如图，已知△ABC中，AB=12，∠B=30°，tanC=247，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E.求线段CE的长．23.(本小题8.0分)已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D．(1)求证：ADCD=ABBC；(2)延长BD至点E，联结CE、AE，如果∠ACE=∠EBC，求证：AE=CE．24.(本小题8.0分)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，联结BD，以BD为斜边作等腰直角三角形BDE(点E在直线BD右侧)，联结CE．(1)如果∠A=45°，求证：△ABD∽△CBE；(2)如果BC=12，CD=5，求线段CE的长．25.(本小题10.0分)如图，已知在菱形ABCD中，AB=5，cosB=35，点E、F分别在边BC、CD上，AF的延长线交BC的延长线于点G，且∠EAF=12∠BAD．(1)求证：AE2=EC⋅EG；(2)如果点F是边CD的中点，求S△ABE的值．(3)延长AE、DC交于点H，联结GH、AC，如果△AGH与△ABC相似，求线段BE的长． 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 和解析1.【答案】C 【解析】解：∵a−ba+b=23，∴3a−3b=2a+2b，∴a=5b，∴ab=5bb=5．故选：C．根据已知条件得出a=5b，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积．2.【答案】D 【解析】【分析】根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 分别判断得出答案．本题考查相似三角形的判定，相似三角形的最常用的方法判断方法：“AA”，“SAS”，“HL”也可以判断两直角三角形相似．【解答】解：A.两条直角边之比为2：3的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；B.两个等腰三角形的腰与底边对应成比例，则这两个等腰三角形必相似，故此选项不合题意；C.有一个内角为50°的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；D.有一个内角是50°的两个等腰三角形，因为50°是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意．故选：D．  3.【答案】A 【解析】解：∵∠C=90°，BC=1，AB=3，∴AC=AB2−BC2=32−12=22，∴sinA=BCAB=13，cosA=ACAB=223，tanA=BCAC=122=24，cotA=ACBC=22．故选：A．先利用勾股定理计算出AC，然后根据正弦、余弦、正切和余切的定义对各选项进行判断．本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦、余弦、正切和余切的定义是解决问题的关键．4.【答案】B 【解析】解：A、由a=b知，两向量方向相同，所以a//b，说法正确，不符合题意；B、a−b=0，原说法不正确，符合题意；C、由a=b知，两向量的模相等，即|a|=|b|，说法正确，不符合题意；D、由a=b知，两向量方向相同，说法正确，不符合题意．故选：B．根据平面向量的模和方向进行判断．本题主要考查了平面向量和平行线的性质，需要注意：平面向量既有方向又有大小．5.【答案】D 【解析】解：如图，可假设DE//BC，则可得ADDB=AEEC=12，ADAB=AEAC=13，但若只有DEBC=ADAB=13，并不能得出线段DE//BC．故选D．可先假设DE//BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．6.【答案】D 【解析】解：如图，满足条件的点D有9个．故选：D．利用圆周角定理，画出图形，可得结论．本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7.【答案】60 【解析】解：∵cotα=2sin60°=2×32=3，α为锐角，∴α=60°．故答案为：60．根据特殊角的三角函数值解决此题．本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．8.【答案】43 【解析】【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac.即可求解．题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．【解答】解：∵线段a是线段b、c的比例中项，∴a2=bc，∵a=2，b=3，∴c=a2b=43故答案为：43．  9.【答案】3：2 【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比为3：4，∴相似比是3：2，又∵相似三角形对应高的比等于相似比，∴对应高线的比为3：2．故答案为：3：2．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高线的比等于相似比解答．本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10.【答案】5−1 【解析】解：∵AP2=BP⋅AB，∴AP=5−12AB，∴AB=25−1AP=25−1×2=5+1，∴BP=AB−AP=5+1−2=5−1．故答案为：5−1．AP2=BP⋅AB，符合黄金分割，求出AB的值，再减去AP即可求出其值．本题考查了黄金分割知识点，理解黄金分割并熟记其的比值并应用是解本题的关键，综合性较强，难度适中．11.【答案】2a+2b 【解析】解：原式=3a−a+2b=2a+2b．故答案是：2a+2b．先利用乘法结合律取括号，然后合并同类项．本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样应用于平面向量的计算．12.【答案】23 【解析】解：∵AC=2，AB=3，∠ACB=90°，∴BC=32−22=5，∵12AB⋅CD=12AC⋅BC，∴3CD=25，CD=253，∴cos∠BCD=DCBC=2535=23，故答案为：23．首先利用勾股定理计算出BC长，然后再利用直角三角形的面积公式计算出CD长，再用余弦定义可得答案．此题主要考查了锐角三角函数的定义，以及勾股定理的应用，关键是掌握余弦=邻边斜边．13.【答案】3.5 【解析】解：∵EF是梯形ABCD的中位线，AD=3，EF=5，∴EF=12(AD+BC)，即5=12(3+BC)．∴BC=7．∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF//AD//BC，∴AG=CG，∴EG=12BC=12×7=3.5．故答案是：3.5．根据梯形中位线性质得出EF//AD//BC，推出AG=CG，则EG是△ABC的中位线，即可求得EG的长．本题考查了梯形的中位线，三角形中位线定理，主要考查学生的推理能力和计算能力．14.【答案】144cm2 【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵BE是△ABC的中线，∴点G是△ABC的重心，∴AG=2DG，BG=2EG，∵BE=15cm，AG=12cm，∴BG=10(cm)，DG=6(cm)，在Rt△BDG中，BD=BG2−DG2=102−62=8(cm)，∴BC=2BD=16(cm)，∴S△ABC=12×16×18=144(cm2).故答案为144cm2．首先证明点G是△ABC的重心，推出AG=2DG，BG=EG，求出BG，DG，利用勾股定理求出BD即可解决问题．本题考查的是重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．15.【答案】6 【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵△ABD∽△DBC，∴ABBD=BDBC，∵AB=4，BC=9，∴4BD=BD9，解得BD=6；故答案为：6．根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，列出比例式进行计算即可得解．本题考查了相似三角形的判定，主要利用了两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，熟记判定方法是解题的关键．16.【答案】6.75 【解析】解：∵身高影长=路灯的高度路灯的影长，当小红在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即CDBD=CGAB，当小红在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即EFBF=EHAB=CGAB，∴CDBD=EFBF，∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3.5米，EF=2米，设AB=x，BC=y，∴1y+1=2y+5.5，解得y=3.5，经检验y=3.5是原方程的根．∵CDBD=CGAB，∴14.5=1.5x，解得x=6.75．即路灯A的高度AB=6.75米．故答案为：6.75．根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．17.【答案】94 【解析】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=DB=12AB，∴∠B=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵AF⊥CD，∴∠CEA=90°，∴∠ACD+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠DCB，∴∠CAE=∠DCB=∠B，∴tanB=tan∠DCB=tan∠CAE=23，在Rt△ACE中，tan∠CAE=CEAE=23，设CE=2x，则AE=3x，在Rt△CEF中，EF=CE⋅tan∠DCB=2x⋅23=4x3，∴AEEF=3x43x=94，故答案为：94．根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=DB，从而可得∠B=∠DCB，再利用同角的余角相等可得∠CAE=∠DCB，从而可得tanB=tan∠DCB=tan∠CAE=23，然后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义可设CE=2x，则AE=3x，再在Rt△CEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF=4x3，最后进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．18.【答案】87−143 【解析】解：如图，当点E在边CD上时，点A、D关于直线BE的对称点分别是点M、N.如果直线MN恰好经过点C，∵BM=AB=6，AD=BC=8，∴MC=BC2−BM2=82−62=27，∴CN=MN−MC=AD−MC=8−27，∵∠BMC=∠CNE=∠BCD=90°，∴∠BCM+∠ECN=90°=∠BCM+∠CBM，∴∠CBM=∠ECN，∴△BMC∽△CNE，∴BMCN=MCEN，∴68−27=27EN，∴DE=EN=87−143．∴DE的长为87−143．故答案为：87−143．当点E在边CD上时，利用△BMC∽△CNE，则BMCN=MCEN，从而解决问题．本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意画出图形是解题的关键．19.【答案】25b−25a 【解析】解：(1)请直接写出向量AE关于a、b的分解式，分别为AD，DE．∵AC=AB+BC=b−a，∵DE//CB，∴AE：EC=AD：DB=2：3，∴AE=25AC，∴AE=25b−25a．故答案为：=25b−25a．(2)向量CE分别在a、b方向上的分向量分别为CN，CM．(1)利用三角形法则，平行四边形法则解决问题即可；(2)构造平行四边形解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，平面向量等知识，解题关键是理解题意，掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．20.【答案】解：(1)∵AD//BC，∴△DEF∽△CBF，∴FDFC=EDBC=13，∴FC=3FD=6，∴DC=FC−FD=4；(2)证明：∵AD//BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴EFBF=DEBC，AEBC=GEGB，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE，∴EFBF=GEGB，∴EF⋅GB=BF⋅GE． 【解析】(1)由平行线得出△DEF∽△CBF，得出对应边成比例求出FC，即可得出DC的长；(2)由平行线得出△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，得出对应边成比例EFBF=DEBC，AEBC=GEGB，由已知条件得出AE=DE，因此EFBF=GEGB，即可得出结论．本题考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握梯形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．21.【答案】解：(1)设S△BDE=x．∴ S△ADES△BDE=ADDB，∴S△ABES△BCE=AEEC．∵DE//BC，∴ADBD=AEEC，∵S△ADE=2，S△BCE=7.5，∴2x=2+x7.5，解得：x1=−5(舍)，x2=3．∴S△BDE=3． 【解析】设S△BDE=x，则可得出△ABE△BCE的面积之比，再将x的值代入即可得出答案；本题考查了平行线分线段成比例定理以及分式方程的应用，难度较大．22.【答案】解：连接AE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，在Rt△AFB中，∠B=30°，AB=12，∴AF=12AB=6，∵DE是AB的垂直平分线，∴EB=EA，∴∠B=∠BAE=30°，∴∠AEF=∠B+∠BAE=60°，在Rt△AEF中，EF=AFtan60∘=63=23，在Rt△AFC中，tanC=247，∴CF=AFtanC=6247=74，∴CE=EF+CF=23+74，∴CE的长为23+74． 【解析】连接AE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，先在Rt△AFB中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AF=12AB=6，再利用线段垂直平分线的性质可得EB=EA，从而可得∠B=∠BAE=30°，然后利用三角形的外角性质可得∠AEF=60°，再在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，最后在Rt△AFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23.【答案】证明：(1)如图，作DF//AB，交BC于点F，则∠FDB=∠DBA，∵BD平分∠ABC，∴∠DBA=∠DBC，∴∠FDB=∠DBC，∴DF=BF，∵ADBF=CDCF，∴ADCD=BFCF，∴ADCD=DFCF，∵△DFC∽△ABC，∴DFAB=CFBC，∴DFCF=ABBC，∴ADCD=ABBC．(2)如图，延长BD至点E，联结CE、AE，∵∠ACE=∠EBC，∠EBA=∠EBC，∴∠ACE=∠EBA，∵∠EDC=∠ADB，∴△EDC∽△ADB，∴EDAD=CDBD，∴EDCD=ADBD，∵∠ADE=∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴∠DAE=∠EBC∴∠ACE=∠DAE，∴AE=CE． 【解析】(1)作DF//AB，交BC于点F，由∠FDB=∠DBA，∠DBA=∠DBC，得∠FDB=∠DBC，则DF=BF，由平行线分线段成比例定理得ADBF=CDCF，变形为ADCD=BFCF，所以ADCD=DFCF，由△DFC∽△ABC，得DFAB=CFBC，变形为DFCF=ABBC，所以ADCD=ABBC；(2)由∠ACE=∠EBC，∠EBA=∠EBC，得∠ACE=∠EBA，可证明△EDC∽△ADB，得EDAD=CDBD，所以EDCD=ADBD，可证明△ADE∽△BDC，得∠DAE=∠EBC，即可推导出∠ACE=∠DAE，则AE=CE．此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．24.【答案】(1)证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，Rt△ABC是等腰直角三角形，∴BCAC=22，∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE=45°，BEBD=22，∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，即∠ABD=∠CBE，BEBD=BCBA=22，∴△ABD∽△CBE；(2)解：如图1，点D在线段AC上时，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥AC，交AN的延长线于点N，设DE、BC交于点F，∵∠ACB=90°，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DCF=∠BEF=90°，∠3=45°，∠1=∠2，∴△DCF∽△BEF，∴，CFEF=DFBF∵∠BFD=∠EFC，∴△BDF∽△ECF，∴∠3=∠4=45°，∵∠ACB=90°，EM⊥BC，EN⊥AC，∴四边形CMEN是正方形，∠BME=∠N=90°，∴CN=EM=CM=NE，在△DEN和△BEM中，BE=DE∠BME=∠NME=NE，∴△DEN≌△BEM，∴BM=DN，设EM=x，∵BC=12，CD=5，∴5+x=12−x，解得：x=72，在Rt△CME中，∠4=45°，∴CE=2EM=722；同理，如图2点D在线段AC的延长线上时，CE=1722． 【解析】(1)根据∠A=45°可得Rt△ABC是等腰直角三角形，根据角的和差得出∠ABD=∠CBE，根据等腰直角三角形的性质可得BEBD=BCBA=22，即可判定△ABD∽△CBE；(2)点D在线段AC上时，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥AC，交AN的延长线于点N，设DE、BC交于点F，易得△DCF∽△BEF，CFEF=DFBF，可推出△BDF∽△ECF，∠3=∠4=45°，可得四边形CMEN是正方形，设EM=x，证明△DEN≌△BEM，得出BM=DN，即5+x=12−x，求出x，即可得CE的长，同理，可得出点D在线段AC的延长线上时，CE的长；此题属于相似形综合题综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD//BC，∠BAC=∠CAD=12∠BAD，又∵∠EAF=12∠BDA，∴∠CAD=∠EAF，∴∠EAC=∠DAF，∵AD//BC，∴∠DAF=∠G，∴∠EAC=∠G，又∵∠AEC=∠GAE，∴△AEC∽△GAE，∴AEGE=ECAE，即AE2=EC⋅EG；(2)解：过点A作AH⊥BC交CB于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC=CD=5，AD//BC，∵AD//BC，点F是CD的中点，ADCG=DFCF=1，∴CG=AD=5，设BE=x，则EC=5−x，EG=EC+CG=5−x+5=10−x，则AE2=EC⋅EG=(5−x)(10−x)，在Rt△ABH中，cosB=BHAB=35，而AB=5，则HB=3，AH=4，则EH=3−x，在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2，即AE2=(3−x)2+42，∴(3−x)2+42=(5−x)(10−x)，解得x=259=BE，则S△ABE=12BE×AH=12×259×4=509；(3)解：由(1)知，∠EAC=∠DAF，则∠BAE=∠CAG，∴∠BAC=∠EAF，∴当AHAG=ABAC或AHAG=ACAB时，△AGH与△ABC相似，当AHAG=ABAC时，∵∠BAC=12∠BAD，∠EAF=12∠BAD，∴∠BAC=∠EAF，∴∠BAE=∠CAG，∵AB//CD，∴∠BAE=∠AHC，∴∠CAG=∠AHC，又∵∠EAC=∠AGC，∴△AHC∽△GAC，∴AHAG=CHAC，又AHAG=ABAC，∴CH=AB，∵AB//CD，∴BEEC=ABCH，∴BE=EC=12BC=52；当AHAG=ACAB时，同理可得：△AHC∽△GAC，∴AHAG=ACCG，又∵AHAG=ACAB，∴CG=AB，由(2)知，此时BE=259，综上，BE=52或259． 【解析】(1)证明∠EAC=∠G，而∠AEC=∠GAE，得到△AEC∽△GAE，即可求解；(2)由(1)知AE2=EC⋅EG=(5−x)(10−x)，再利用AE2=AH2+EH2，即AE2=(3−x)2+42，进而求解；(3)当AHAG=ABAC时，证明△AHC∽△GAC，得到CH=AB，进而求解；当AHAG=ACAB时，同理可得：△AHC∽△GAC，进而求解．本题为相似形综合题，考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．