专题：解析几何中的动点轨迹问题

专题：解析几何中的动点轨迹问题Part1几类动点轨迹问题一、动线段定比分点的轨迹例1已知线段AB的长为5，并且它的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在段AB上，(0)APPB，求点P的轨迹。例2已知定点A(3,1),动点B在圆O224xy上,点P在线段AB上,且BP:PA=1:2,求点P的轨迹的方程.二、两条动直线的交点问题例3已知两点P（-1,3），Q（1,3）以及一条直线:lyx，设长为2的线段AB在l上移动（点A在B的左下方），求直线PA、QB交点M的轨迹的方程例4已知12AA、是双曲线22221(0,0)xyabab的两个顶点，线段MN为垂直于实轴的弦，求直线1MA与2NA的交点P的轨迹三、动圆圆心轨迹问题例5已知动圆M与定圆2216xy相切，并且与x轴也相切，求动圆圆心M的轨迹例6已知圆221:(3)4Cxy，222:(3)100Cxy，圆M与圆1C和圆2C都相切，求动圆圆心M的轨迹四、动圆锥曲线中相关点的轨迹例7已知双曲线过(3,0)A和(3,0)B，它的一个焦点是1(0,4)F，求它的另一个焦点2F的轨迹例8已知圆的方程为224xy，动抛物线过点(1,0)A和(1,0)B，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F的轨迹方程Part2求动点轨迹的十类方法一、直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。过程是“建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理”，主要用于动点具有的几何条件比较明显时。例1已知动点M到定点A（1，0）与到定直线L：x=3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？例2已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：122yx，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0，求动点M的轨迹方程，说明它 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示什么曲线．二、定义法圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空题的形式出现．例3在相距离1400米的A、B两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？例4若动圆与圆4)2(22yx外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是_____________________OYxNMA例5一动圆与两圆122yx和012822xyx都外切，则动圆圆心轨迹为（）（A）抛物线（B）圆（C）双曲线的一支（D）椭圆三、转移法（重中之重）若轨迹点P（x,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q（x0,y0），则可先列出关于x、y,x0、y0的方程组，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程。一般用于两个或两个以上动点的情况。例6已知P是以F1、F2为焦点的双曲线192162yx上的动点，求ΔF1F2P的重心G的轨迹方程。例7已知抛物线12xy，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．四、点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（x1,y1），B（x2,y2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2等关系式，由于弦AB的中点P（x,y）的坐标满足2x=x1+x2,2y=y1+y2且直线AB的斜率为1212xxyy，由此可求得弦AB的中点的轨迹方程。例8已知以P（2，2）为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。五、几何法运用平面几何的知识如平几中的5个基本轨迹、角平分线性质、圆中垂径定理等 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 轨迹形成的条件，求得轨迹方程。例9如图，给出定点A（a,0）(a>0)和直线L：x=－1,B是直线L上的动点，∠BOA的平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。六、交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以选出一个适当的参数，求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．例10已知MN是椭圆12222byax中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA和NB的交点P的轨迹方程。例11已知两点)2,0(),2,2(QP以及一条直线：y=x，设长为2的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．七、参数法若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．常用的参数有点参数，角()参数,斜率()k参数,定比()参数,用此法要注意参数的实际意义.例12如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点O以外的两个动点,且OA⊥OB,过O作OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程.ONMBAMOAB例13设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且12ttOQOP，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．例14过点M(-2,0)作直线L交双曲线x2－y2=1于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。求动点P的轨迹方程。yMOx八、韦达定理法有些轨迹问题,其变量或不确定的因素较多,直接探求显得困难,但是,根据题设构造出一个一元二次方程,利用韦达定理来探究,则往往能消除一些参变量,迅速求得轨迹方程．例15过抛物线y=x2的顶点O,任作两条互相垂直的弦OA,OB,若分别以OA,OB为直径作圆,求两圆的另一交点C的轨迹方程．Part3经典习题一、选择题1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.设A1、A2是椭圆4922yx=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.14922yxB.14922xyC.14922yxD.14922xy二、填空题3.△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－2a,0),C(2a,0)，且满足条件sinC－sinB=21sinA,则动点A的轨迹方程为_________.4.高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.6.双曲线2222byax=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.7.已知双曲线2222nymx=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222byax=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.解析与答案一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴300xyxxyy∵A2、P2、P共线，∴300xyxxyy解得x0=149,149,3,92220200yxyxxyyx即代入得答案：C二、3.解析：由sinC－sinB=21sinA,得c－b=21a,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222axayax.答案：)4(1316162222axayax4.解析：设P(x,y），依题意有2222)5(3)5(5yxyx,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为728122yx=1(y≠0)6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).由条件yaxyaxxxaxyaxyaxyaxy220000000)(11得而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2.即b2(－x2)－a2(yax22)2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),则A1P的方程为：y=)(11mxmxy①A2Q的方程为：y=－)(11mxmxy②①×②得：y2=－)(2222121mxmxy③又因点P在双曲线上，故).(,12212221221221mxmnynymx即代入③并整理得2222nymx=1.此即为M的轨迹方程.(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±22nm,0)，准线方程为x=±222nmm,离心率e=mnm22；(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±22nm),准线方程为y=±222mnn,离心率e=nmn22.8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又221010yycxx得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)(2)如右图，∵S△AOB=21|OA|·|OB|·sinAOB=22asinAOB当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为21a2.此时弦心距|OC|=21|2|kak.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，.33,2245cos1|2|||||2kkaakOAOCPart4高考中的动点轨迹问题1．已知两点(1,0)M、(1,0)N，点P为坐标平面内的动点，满足||||MNNPMNMP，求动点P的轨迹方程．2．已知动点P到定点2,0F的距离与点P到定直线l：22x的距离之比为22，求动点P的轨迹C的方程．3．已知椭圆22122:1(0)xyCabab的右焦点2F与抛物线22:4Cyx的焦点重合，椭圆1C与抛物线2C在第一象限的交点为P，25||3PF.圆3C的圆心T是抛物线2C上的动点,圆3C与y轴交于,MN两点，且||4MN，求椭圆1C的方程．4．已知点0,1F，直线l：1y，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QPQFFPFQ，求动点P的轨迹C的方程．5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线yx相切于坐标原点O，椭圆22219xya与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，求圆C的方程．6．设0b，椭圆方程为222212xybb，抛物线方程为28()xyb．如图6所示，过点(02)Fb，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F，求满足条件的椭圆方程和抛物线方程．7.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，两个焦点分别为F1和2F，椭圆G上一点到F1和2F的距离之和为12.圆kC:0214222ykxyx)(Rk的圆心为点kA，求椭圆G的方程．8．已知曲线2:Cyx与直线:20lxy交于两点(,)AAAxy和(,)BBBxy，且ABxx．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点(,)Pst是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．9．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x，求双曲线C的方程．10．已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆C的方程（2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPeOM（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．11．设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amxy,向量(,1)bxy,ab,动点(,)Mxy的轨迹为E，求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状．12．已知双曲线C的方程为22221(0,0)yxabab，离心率52e，顶点到渐近线的距离为255，求双曲线C的方程．13．已知抛物线220xpyp上一点,4Am到其焦点的距离为174，求抛物线方程．14．已知椭圆的中心在原点，一个焦点是)0,2(F，且两条准线间的距离为)4(，求椭圆的方程．15．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数2()2fxxxb（xR）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C，求圆C的方程．16．已知曲线C是到点P（83,21）和到直线85y距离相等的点的轨迹，求曲线C的方程．17．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点(20)M，，AB边所在直线的方程为360xy点(11)T，在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程；（3）若动圆P过点(20)N，，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．18．如图，已知(10)F，，直线:1lx，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ，求动点P的轨迹C的方程；