对弧长的曲线积分[指南]

对弧长的曲线积分[指南]对弧长的曲线积分[指南] 10.1 对弧长的曲线积分 10.1.1 对弧长的曲线积分的概念求一个不均匀物体的质量，如果物体为一根直线段，也就是质量分布在一根直线段AB上，由定积分的概念可知，只要计算一个定积分就行了。那如果质量分布在一条可求长的曲线上呢,现在要计算这物体的质量。曲线型物体的质量假定物体所处的位置在平面内的一段曲线弧上，它的线密度为LxOy ，由于物体上各点处的线密度为变量，我们利用下面四个步骤，求物体质量:，，fx,y i(1)分割:在L上任意插入一点列把L分成个小段，设第个小段的M,M...

对弧长的曲线积分[指南] 10.1 对弧长的曲线积分 10.1.1 对弧长的曲线积分的概念求一个不均匀物体的质量，如果物体为一根直线段，也就是质量分布在一根直线段AB上，由定积分的概念可知，只要计算一个定积分就行了。那如果质量分布在一条可求长的曲线上呢,现在要计算这物体的质量。曲线型物体的质量假定物体所处的位置在平面内的一段曲线弧上，它的线密度为LxOy ，由于物体上各点处的线密度为变量，我们利用下面四个步骤，求物体质量:，，fx,y i(1)分割:在L上任意插入一点列把L分成个小段，设第个小段的M,M,？,Mn12n,1 长度为。 ,si i(2)近似:在第个小段上任意取定的一点()，作乘积。，，，，,,,f,,,,si,1,2,？,niiiii在线密度连续的前提下，只要这一小段很短，就可以用这一小段上任一点处的密度代替这小段上的线密度，这一段的质量。，，m,f,,,,siiii n (3)求和:求和。当分点越多，越小，和越接近物体的质量,s，，f,,,,s,iiii,1i nn ，，m,m,f,,,,s,,iiii,1,1ii ,,,,max,s,,0(4)求极限:记，当时，这和的极限总存在，从而得到 i1,,in n ，，m,limf,,,,s,iii,0,,1i 这种和的极限在研究其他问题是也会遇到，现在给出下面定义: 10.1.2. 对弧长的曲线积分 LLL，，fx,y定义设为xOy平面内的一条光滑曲线弧，函数在上有界。在上任意插入一 iiL，，M,M,？,M,s,,,n点列把分成个小段。设第个小段的长度为。又为第个12n,1iii n ，，f,,,,s小段上任意取定的一点，作乘积i,1,2,？,n()，并作和，，，如f,,,,siii,iii,1i ,,0果当各小弧段的长度的最大值时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在，，fx,y ，，fx,yds曲线弧上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即L,L n ，，，，fx,yds,limf,,,,s,iii,,0,L,1i ds其中叫做被积函数，L叫做积分弧段，为弧长的微分。，，fx,y ，，fx,yds注:(1)当在光滑曲线弧上连续时，对弧长的曲线积分是存在的。以L，，fx,y,L后我们总假定在L上连续。，，fx,y (2)如果L是分段光滑的，我们规定函数在L上的曲线积分等于在光滑的各段上的曲线积分之和。，，fx,yds(3)如果LL是闭曲线，那么在闭曲线上对弧长的曲线积分记为。，，fx,y,L 由对弧长的曲线积分的定义可知，它有以下性质性质1 设为常数，则 ,,, ，，，，，，，，,[fx,y，,gx,y]ds,, fx,yds，,gx,yds ,,,LLL L性质2 若可分成两段光滑曲线弧和，则 LL21 ，，，，，，fx,yds, fx,yds，fx,yds,,,LLL12 L性质3 设在上，则，，，，fx,y,gx,y ，，，， fx,yds,gx,yds ,,LL 特别地，有，，，， fx,yds,fx,yds ,,LL 2 对弧长的曲线积分的计算 LL，，定理设fx,y在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为 ,x,t，，, (,,t,,)， ,，，,y,t, 22,,，，fx,yds，，，，,t,t其中，，，，、在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存,t，,t,0,L在，且 ,22,, ()，，，，，，，，，，fx,ydsf[,t,,t][,t][,t]dt,，,,,,,L, 在使用上述定理求弧长的曲线积分时，须注意以下问题: ，，dsfx,yds(1)计算弧长的曲线积分时，只要把、、依次换为、、y，，，，x,t,t,L 22,,，，，，[,t]，[,t]dt，然后从到积分就行了，但必须注意，定积分的下限一定要,,, 小于上限。 , (2) 如果曲线由方程给出，那么可以把这种情形看作是特殊的L(x,x,X)，，y,,x0 参数方程，的情形，从而得出 (x,t,X)，，y,,tx,t0 X2 , ()x,X，，，，，，fx,yds,f[x,,x]1，[,x]dx0,,Lx0 2,ds，，1，[,x]dx即保持不变，把、依次换、。 y，，x,x L(3) 如果曲线由方程给出，则有 (y,y,Y)，，x,,y0 Y2, ()y,Y，，，，，，fx,ydsf[,y,y]1[,y]dy,，0,,Ly0 2,ds，，1，[,y]dy即把换为、y保持不变、换为。，，x,y L(4) 公式可推广到空间曲线由参数方程，，，，，，x,,t,y,,t,z,wt 给出的情形，有 ,222,,,，，，，，，，，，，，，，，fx,y,zds,f[,t,,t,wt][,t]，[,t]，[wt]dt (),,,,,L, .3 应用举例，，fx,yds，，计算弧长的曲线积分，实质是把L的方程代入被积表达式fx,y转化为,L 定积分，其过程可分为以下三个步骤: 22ds,(dx)，(dy) (1)求弧微分:; (2)代入:将L的方程代入被积式; (3)定限:定限原则-----上限大于下限. 2xds 【例 1 】计算，其中L为曲线上由(0，0)到(1，1)的一段弧(图 ).y,x,L 22222ds,(dx)，(dy),(dx)，(2xdx),1，4xdx 解: 2 xds,x1，4xdx 11112222 ? 原式 ,x1，4xdx,(1，4x)d(1，4x),,008 【例 2 】计算，其中L为联结三点,,的直线段(x，y)ds，，B1,1O(0,0)A(1,0),L (图 ). ，，x，yds，解 =+ (x，y)ds(x，y)ds(x，y)ds,,,,OALABBO 11ds,dx在直线段上, ,, ，，x，yds,xdx,OA(x，y)ds,xdx,,OA02 13(1)，，在直线段上, ,, x，yds,，ydy,ABds,dy(x，y)ds,(1，y)dy,,AB02 1在直线段上, ,, ，，x，yds,2x2dx,2BOds,2dx(x，y)ds,2x2dx,,BO0 所以 (x，y)ds,2，2 ,L 2222,(x,y),x，y【例 3 】求曲线L:的质量，其线密度.x，y,ax 解由对弧长的曲线积分的含义可知: 22m,,(x,y)ds,x，yds ,,LL ,,x,cos,22 把L的方程化为极坐标方程.将代入得，,,acos,x，y,ax,y,,sin,, ,,,,??，则 22 22,ds,,，[,(,)]d,,ad, 222x，yds,,ad,,acos,d, ,222m,acos,d,,2a ? ,,,2

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