【考研】概率论与数理统计第五章 大数定理与中心极限定理

【考研】概率论与数理统计第五章 大数定理与中心极限定理 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 第五章 大数定理与中心极限定理 2008年大纲考试内容 切比雪夫(Chebyshev)不等式 切比雪夫大数定律 伯努利(Bernoulli)大数定律 辛钦(Khinchine)大数定律 棣莫弗—拉普拉斯(De Moivre—Laplace)定理 列维—林德伯格(Levy—Lindberg)定理 2008年大纲考试要求 1( 了解切比雪夫不等式。 2( 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律) 3( 了解棣莫弗—拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维—林德伯格定理(独立同分布随 机变量序列的中心极限定理) 一、切贝雪夫不等式 1.1 切贝雪夫不等式及其应用范围 如果不知道属于何种分布，只要和DX()存在，就可以估算出以为中心的对XEXEX，，，，称区间上取值的概率。即:则任给有 ,,0, DX()DX() ,,,, 或 ,,,,, PXEX{()}PXEX{()}122,,?证 明:由积分比较定理可知: 2,22DXxEXfxdxxEXfxdxfxdx,,,,,()(),，，，，，，，，,,,,,,,,,xEXxEX,,,,,,()() 22,,,,fxdxPXEX()，，,,,,,,xEX,,(), DX，，,,,,PXEX(),,,2, DXDX，，，，,,,,,,,,,,1()()1PXEXPXEX,,,,22,,,, 1.2 依概率收敛的定义 X 设a是一个常数，为一随机变量序列， 或，,,，,,,,,0, {}1PXaPXa{}0,,,,nnn PXa,,,{}Xa则称依概率收敛于，记为 或 limXaP, 。 ，，nnn,，,n 二、大数定理 lim0XEXP,, 大数定理的应用范围:?相互独立且同分布;?。 XXXn,,, 45…,，，，，12nn,，, 631 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 2.1 切比雪夫大数定理 XXX,,,„ 设随机变量相互独立，服从同一分布(任意分布)，且具有相同的数学期望和方12n n12EXDXXX,,,,,(), ; 差则有 ,,0,,，，,kkkn,1k n1 PXPX,,,,,,,,,,limlim{}1,,,k,,,,nnn1,k n1xnn评 注 在大量的测量值中，算术平均值具有稳定性，即个随机变量的算术平均值，当,knk,1 EX(),,无限增加时，将几乎变成一个常数，即接近数学期望，这种接近是概率意义上的接近，k PX,,,,X也就是依概率收敛，记为，这也是为什么在实际应用中，常用算术平均来描述事, 件发生的加权平均(即数学期望)的原因。 2.2 伯努利大数定理 nn 设是次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则A ，有 ,,,0 ,,n,,nAA 或 lim1,lim0,Pp,,,Pp,,,,,,,,,,,nnnn,,,, nXXX,，，，...XXX,,...,评 注 1(，服从同一分布; 01,，，An1212n nAn2(当很大(一般要求大于45)时，事件发生的频率具有稳定性，且逼近于其概率，n 这也是为什么在实际应用中，常用频率来代替事件发生概率的原因。 2.3 辛钦大数定理 XXX,,,„设随机变量相互独立，服从同一分布(任意分布)，且具有相同的数学期望12n n1EXXX,,,(); ,,0,,，则有(不要求方差存在) ,kknk,1 n1 Px,,,,,lim{}1,k,,nn1,k nn评 注 在大量的测量值中，算术平均值具有稳定性，即个随机变量的算术平均值，当无限增 加时将几乎变成一个常数。显然，伯努利大数定理是辛钦大数定理的特例。 632 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 陈氏第8技 3个大数定理的应用选择方法 大数定理提供了算术平均代替加权平均的理论根据，适应于事件发生的平均值依概率收敛情形。如果能已知，都存在，则使用切比雪夫大数定理;如果仅知道存在，而未知EXDXEX 是否存在，则使用辛钦大数定理;如果是伯努利试验，则使用伯努利大数定理。 DX 三、中心极限定理 中心极限的应用范围: EXDXDX 和 都存在，且 ()0, ?相互独立且同分布; ?。 XXXn,,, 45…,，，nnn12n 3.1列维一林德伯格中心极限定理(又称独立同分布的中心极限定理) XXX,,,„„ 设相互独立，服从同一分布(任意分布)，且具有数学期望和方差12n n2XEXDXkn(), ()0(1,,),,,,,,…Y，则随机变量的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化量 ,kkkni,1 nnn,,XEX,Xn,,,,kk,,,kkk,,11,,k,1Fx()Y,, 的分布 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数满足 nnnn,,,DX,k,,k,1,, n,,2Xn,,t,k,,,x1,,1,k2 lim()limFxPxedtx,,,,,，，,,n,,,,,,,nn2n,,,, ,,,, 1X,,,,Y,Y评 注 ? 此处 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式中，分子与分母可同乘以 正好对应标准化; N0, 1，，nnn/n, n2XNnn(, ),,n,, ?在时服从正态分布。 ,kk,1 3.2 棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理 XX,„ 设随机变量服从参数为的二项分布(二次分布也是要求相互独np，,n,1,2,...，，1nn nn2,,X,,XDXnpp()(1)0,,,,,,x,立，，，同时隐含)，则 随机变量的标准化量 ,,knknkk,1k,1 2t,,,x,,np1,,n2limPxedtx,,,, ，，,,,,,,,nnpp(1)2,,,,,, n ,,,XNnpnpp~(, 1)评 注 ?正态分布是二项分布的极限分布; ?。 ，，,nk,1k 633 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 陈氏第9技 2个中心极限定理的应用选择方法 中心极限定理提供了任何备选事件发生的标准化量依概率收敛于的理论根据。 N0, 1，， 当，都存在，且时，如果是伯努利试验，则使用莫佛—拉普拉斯中心极限EXDXDX,0 定理;否则使用列维一林德伯格中心极限定理。 四、先进题型与求解秘诀 【例1】已知随机变量的数学期望分别为和，方差分别为和4，相关系数为，XY, ,221,0.5 试估计。 PXY，,6,, DX()解:由于未知的具体分布，故使用切贝雪夫不等式 XY, ,,,,PXEX{()}2, ZXYEZEXEY,，,,，,,，,220 2142140.53DZDXDYDXDY,，，,,,，，，，，,,,，，XY DX()31 PXEXPZEZ{()}{()6},,,,,,,,,22612, 1,，,,PXY{6}12 【例2】随机掷6颗骰子，利用切比雪夫不等式估计6颗骰子点数之和大于14小于28的概率至少为多少, 解:设 Xi,第颗骰子出现的点数 ,,i 123456,,6,,XXX~,,111111,ii,,1i,,,666666,, 17,，，，，，,123456EX，，i62 1912222222EX,，，，，，,123456，，i66 2291735,,2DXEXEX,,,,,，，iii,,6212,, 667,,EXEXEX,,,，,621ii,,,,211ii,,,, 663535,,DXDXDX,,,，,6ii,,,,12211ii,,,, 35 92PX1428,,,,,,,,,,,,,PXPX72172171,,,,,,2 714 634 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 【例3】假设某一年龄段女孩平均身高130cm，标准差是8厘米，现在从该年龄段女孩中随机抽 取5名女孩，测其身高，估计她们的平均身高X在120cm-140cm之间的概率。 解:不知分布估计概率使用切贝雪夫不等式 XXX,„设为第名被测女孩的身高，显然相互独立同分布 ii15 22EXDX()130, ()864,,,,,ii 51XX,,i5,i1 5 11EXEX()()5130130,,，，,,i55,i1 11164DXDXDX()()()56412.8,,,,,，，,,ii2525255 应用切贝雪夫不等式，有 12.8 PXPX{120140}{13010}10.872,,,,,,,,210 【例4】设X为连续型随机变量，则是对任意常数C，必有 EXCEXC,,PXC(),PXC(),,,,,,, (A) (B) ,, EXC,DX()PXC(),,,, (C) (D) ,,,,PXC()2,, ，,XC,()()(),PXCfXdXfxdx,,,,解: ,,XC,,,,,, ，,,EXC1,,,XCfxdx() 应选(C)。 ,,,,, n12limX【例5】，独立同，求。 XE~2X，，,,,iii,，,nn,i1 解:注意随机变量的极限是指依概率收敛情形。本题知道了具体分布，求随机变量平均值的极 EXDX, 限，故使用大数定理，又能够确定，故使用切比雪夫大数定理。 nn1122PXPXEX,,,,,,,,,,lim{}1lim{}1,,iii,,,,nnnn,,ii11 112122 EXDXEX,，,，,,，，iii2222,,, nn111122,,,,,,PXXPlim{}1lim.，，,,ii,,,,，,nnnn22,,11ii 635 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 1x{}X【例6】设独立同分布，，问辛钦大数定理可否适应。 ,，,FXaarctgb()(0)n,b bfxFx()'(),,解: 22,()bx， ，,，,2bbx22，,,,,，,，, EXxfxdxdxmbX()() 022,,0,,,,，bx 辛钦大数定理。 数学期望不存在，故不可适用 【例7】 一个供电网内共有10000盏功率相同的灯，夜晚每一盏灯开着的概率是0.7，假设各盏 灯开、关彼此独立，求夜晚同时开着的灯数在6800到7200之间的概率。 =10000，P=0.7的二项分布。 解:设X表示夜晚同时开着的灯的数目，依题意，X服从n EXnpDXnpp()100000.77000,()(1)2100,,，,,,, 由n较大，根据棣莫佛—拉普拉斯定理X近似服从正态分布N(7000，2100) 2tx,,,x,700020012 PXPedtx{68007200}21,,,,,,,,，，,,,,x,210021002,, 2t,x1200,,2 其中 ,,xedt,,,,210.9999，，,,,,,,22100,, npx,,7000; ,(题中:) n 2【例8】 多次重复观测一个物理量，假设每次测量产生的随机误差都服从正态分布N0, 0.3，，， n如果取次测量的算术平均值作为测量结果，试计算: (1)测量结果与真值之差的绝对值小于一个小正数的概率P; , ,,0.05,(2)给定使P不小于0.95，至少应进行的测量次数n。 ,解:令随机变量X，分别表示第i次的测量结果与测量误差，表示真值，所以 ,ii Xin,，,,,, 1,2,,… ii 2,~(0, 0.3)N, 易见相互独立 ii 2{}XN(,0.3),所以，服从相互独立的正态分布 i n XNnn(,0.09), 服从 ,ii,1 10.09 XX,, 服从 , N(,)inn (1) 根据独立同中心极限定理 636 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 ,,,,Xn,,,nXnnn,,,,,,i{}21 PXP,,,,,,,,,,,,,,,,0.30.30.3nn,,,,,,, ,, * 注意中心极限定义中积分下限为时，对应中。,()x ,,0.05n (2) ,,PX,,,,,0.05210.95,,,,,,0.3,, n,138.2976 故观测次数至少为139。 n SX,{}X 【例9】设随机变量相互独立，，则根据列维一林德柏格中心极限定理，当n,nknk,1 {}X充分大，S似服从正态分布，只要 ( ) nn (A)有相同的数学期望 (B)有相同的方差 (C)服从同一指数方布 (D)服从同一离散分布 {}X解:不管是哪一种中心极限定理，其共同的条件是存在数学期望(可以为0)和方差(不n 能为0)，上述中只有(C)满足。 【例10】一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量50kg，标准 差为5kg，若用最大载重量为5吨的汽车承远，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少 箱，才能保障不超载的概率大于0.977((2)0.977),, X解:设是装运的第i的重量，n表示装运箱数。 i 2EXDX()50,()525,,, ii YXXX,，，，…,{}X 且装运的总重量 独立同分布 12nn PXn()25,EYn()50, i YNnn~(50, 25)由刘维一林德伯格中心极限定理知 Ynnn,,,50500050100010,,,,于是 ,,PYP(5000)0.977(2),,,,,,,,,,55nnn,,,, 100010,n,,,298.0199n故 n 也就是最多可以装98箱。 637 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 knn1,nlime,【例11】利用中心极限定理证明 ,n,,k!2k,1 {}X证明:设独立同分布，均服从参数的泊松分布，则由泊松分布的可加性知,,1i ,,ke,,,PXk{} ,,,,,,k!,, n YX,服从的泊松分布，且 ,,n,ii,1 kn,ne(),()~,,,EYnDYnY !k 于是由列维—林德伯格中心极限定理知 knnn,nlimlim()lim(),,,,ePYnPXn ,,innn,,,,,,!k11,,ki n,,Xn,,i,,1,,,1i =。 ,lim0(0)P,,,,,,,x2n,, ,,,, 评 注 在应用中心极限定理时可采用下列步骤: {}XEXDX(),()第一步 根据题意选取独立同分布的随机变量序列，求出 iii n YX,第二步 弄清所表示的意义，求出EYDY(),()，重新写出新的分布函数。 ,ii,1 第三步 应用中心极限定理(独立同分布，林维)林德柏格)，计算 PaYb(),, 2EXDX(),(),,,, 若 则 ii ,,aEYYEYbEY,,,()()()PaYbP(),,,,,,,,,DYDYDY()()(),, ,,,,anYEYbn,,,()P,, ,,,,nnDYn(),,,, bnanbnan,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,1,,,,,,,,nnnn,,,,,,,,,,,, 【例12】试利用切比雪夫不等式和中心极限定理，分别确定投掷一均匀硬币的次数，使得 出现“正面向上”的频率在0.4和0.6 之间的概率不少于0.9。 638 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 n 解:设表示投掷一枚均匀硬币次“正面向上”的次数 X XBnEXnpnDXnppn~, 0.50.5; 10.25,,,,,,，，，， X,,1 0.40.60.40.6PPnXn,,,,,，，,,,,n,, 0.40.50.50.60.5,,,,,,PnnXnnn,, 0.250n.2525n 0.50.111,,,,,,,PXnn,,1,,220.01nn0.1n，， 25,,,,,10.9250nn XnnXnnn0.40.50.50.60.5,,,,,,,2 0.40.6 PP,,,,,，，,,,,n0.250.250.25nnn,,,, Xn,0.5,, 0.20.2,,,,Pnn,,0.25n,, 0.20.220.21,,,,,,,,nnn，，，，，， 20.210.90.21.6567.568,,,,,,,,,nnnn ，， 评 注 本题计算结构告诉我们，在能够确定具体分布的情形下，虽然切比雪夫不等式和中心极限定理都能求解同类问题，但利用切比雪夫不等式要粗糙得多，故一般不能采用。 639 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 第五章 大数定律和中心极限定理模拟题 一(填空题 1. 设随机变量X的数学期望E(X)=11，方差D(X),9,则根据切比雪夫不等式估计，_______. P{5,X,17}, E(X),,,D(X),4(i,1,2,？,n),X,X,？,X2. 设是n个相互独立的随机变量，且 i12n n1对于X,XP{,,2,X,,，2},，则由切比雪夫不等式估计有________. ,in,1i 3. 设随机变量X的数学期望E(X),13,方差D(X),4,用切比雪夫不等式估计得，则P{|X,13|,c},0.01 c=_________. 4. 设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式估计 P{|X,Y|,6},_________. 二(选择题 2P{|X,E(X)|,3},1. 设随机变量X的方差存在，并且满足不等式，则一定有 9 (A) D(X),2 (B)D(X)?2 77P{|X,E(X)|,3},P{|X,E(X)|,3}, (C) (D) [ ] 99 P{|X,np|,2n},2. 设随机变量,B(n,p),对任意0