含绝对值积分计算中的变量代换
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第卷第期 高等数学研究
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牟月
含绝对值积分计算中的变量代换
施敏加
安徽大学数学科学学院,安徽合肥
摘要 通过实例分析,探讨如何利用变量代换思想解一些和绝对值有关的积
分问题,以求开阔学生在面临
此类问题时的解题思路.
关键词 绝对值;曲线积分;MATCH_
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中图分类号 . 文献标识码 文章编号
则有
变量代换法是数学变换方法的一种,其主要目 甜可 “一口
的就是通过代换能使问题化繁为简,化难为易,将不 ?’?’
能解决的问题转化为能解决的问题.变量代换法在
此时区域变为
求极限,求导,求积分,解微分方程,级数中的应用非 。一“,口:~??,一?口?,
常广泛阻引.在高等数学中的各章节中几乎都用到 且因
了变量代换法,而且在各章节中的应用方法也不尽 相同.下面就变量代换在含有绝对值的积分证明和 ’
渊 卜丢, ,勘
计算中的应用做一介绍.
于是
积分区域中含有绝对值的积分问题
如弛驴几。专口一
在有关重积分的证明和计算中,如果积分区域 专 。:。,甜 ,厂““.
中含有绝对值,直接去证明或者计算可能会感到无 例 计算
法下手.在教学过程中,发现学生碰到类似问题时, 往往不能成功解决,若我们采用变量替换的思想就 妤。
会使问题变得简单.
’,
例 证明等式
其中是曲面 ?,“,
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一
,
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其中闭区域
的外侧.
?.
。一,:.
分析 如何去掉绝对值符号是解答本题的关 分析 此题的证明思路是通过变量替换后将 键,显然直接讨论很难去掉绝对值符号.事实上本题 等式左边的二重积分化为累次积分,若设变换下积 可以利用公式得
分区域。,的像为。,因为等式左边是一个二重积 分,被积函数为;而右边是一个定积分,被 一毋,
积函数为厂“.自然想到要令“,再根据。 问题转化为计算由曲面所围成的空间闭区域的 的特殊几何对称性,可令一‖一口,此时在所设变
体积.如果做变量代换
换下积分区域的像恰好是正方形.
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解 作变量代换
口一?,
?, ??,
凹?,
收稿日期:?;修改日期:?? 此时在该坐标变换下的原像为 基金项目:国家自然科学基金,;安徽省高校优 “口 ?,
秀青年人才基金重点项目
这是对称于坐标原点的正八面体,此时去绝对值符 作者简介:施敏加,男,安徽枞阳人,博士,副教授,主要从事 代数编码与密码研究.:.. 号就简单多了. 万方数据施敏加:含绝对值积分计算中的变量代换 第卷第期
解 做变换
解 设为由曲面所围成的空司闭区域,由 ?,?一口,
公式可知
则有
好毫未
钞 “一
一丁’ ’
兰?
此时积分曲线所围成的闭区域为 一“,口:一??,一??, 妤一野.
所以
做如前述分析所给变换,则有 口 叫 叫
投,丽.
一?’?’?’
再令
曼兰型型:土
’
,可,硼
“,口一南,“,可一南,
而经坐标变换变为
由于点在区域中,因而函数,铆和,口一“,叫:
训?,
在点不连续,当然它们的偏导数在点也不连续,
于是
为了能直接应用公式,必须将点‘‘挖去”.以
一卿矿导好矿勘. 为中心,以长轴为 ,短轴为华做一个小椭
因为对称于坐标原点的正八面体,它在第一挂限 圆周,使整个在以 为边界的有界闭区域内, 部分即为四面体
于是在挖去这个小椭圆域所得区域,上,,钞 :一“,可,叫:可硼?,乱,口,硼?. 和,聊的偏导数均连续了,从而可以利用复连 通区域的公式.这时,我们有
因?的体积为丢,故的体积为鲁,所以 了一掣一,??,
一. “ 口
从而
曲线方程中含有绝对值的曲线积分 工一巍,“,可甜“,口口一
例 计算第二类曲线积分
丢 ,虻“,口也“,口口一
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其中为正向一周.
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分析 该题可以按照第二类型曲线积分对积 分曲线具有可加性进行计算,但计算有点繁琐,需要 扎.鼍岩一鼍岩捌口一
我们计算个定积分.如果直接利用公式也
哥,口““,可可一
会碰到很大的麻烦,主要因为
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注意到此时矿的参数方程为
在点,不连续,当然它们的偏导数在点也不 “一 ’
连续,从而不能直接应用公式.必须将点挖 去,但我们不清楚当挖去怎样的一个包含点。的小 一知帆六?
区域后,使得被积函数或被积表达式得以简化, 从而有
如我们令
?一矿,
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其中叩譬为常数,该曲线围成的区域既不表 枷肛譬?
辽
示圆域,也不表示椭圆域.
万方数据
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