32空间向量运算的坐标表示※
3.2空间向量运算的坐标表示 课题 向量的坐标
教学目的要1(理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系 求 2(掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示
1(投影与投影定理 25分钟 主要
内容
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与2(分向量与向量的坐标 30分钟 时间分配 3(模与方向余弦的坐标表示 35分钟
1(投影定理
重点难点 2(分向量
3(方向余弦的坐标表示
教学方法和启发式教学法，使用电子教案 手段
一、向量在轴上的投影
1(几个概念
AB(1) 轴上有向线段的值:设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足uu,
ABAB，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫uu,,AB,,,
AB做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则uu,,AB
AB,,e
AC,AB，BC(2) 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有
OA,a(3) 两向量夹角的概念:设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，a
,OB,b，
规定
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不超过的称为向量和b的夹角，记为,a，AOB(a,b) '(4) 空间一点A在轴上的投影:通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点uuuA叫做点A在轴上的投影。 u
ABAB(5) 向量在轴上的投影:设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别uu
''''AB为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做ABuABuPrjAB。 u
2(投影定理
,性质1:向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦:u
PrjAB,ABcos,u
性质2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
Prj(a，a),Prja，Prja u1212
性质3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
Prj(,a),,Prja u
二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
1(向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通
数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
M(x,y,z)M(x,y,z) 设a =是以为起点、为终点的向量，i、j、k分MM1111222212
别表示 图7,5
沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7,5，并应用向量的加法
规则
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知:
i + j+k (y,y)(z,z)MM,(x,x)21211221
或 a = ai + aj + ak x yz
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组a、a、a与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影a、a、a就xyzxyz
叫做向量a的坐标，并记为
a , {a，a，a}。 xyz
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是，起点为M(x,y,z)终点为M(x,y,z)的向量可以表示为11112222
MM,{x,x,y,y,z,z}12212121
特别地，点对于原点O的向径 M(x,y,z)
OM,{x,y,z}
注意:向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量a在坐标轴上的投影是三个数a、a、a， xyz
向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ai 、 aj 、 ak. x yz
2(向量运算的坐标表示
设，即，a,{a,a,a}b,{b,b,b}a,ai，aj，akb,bi，bj，bkxyzxyzxyzxyz
则
(1) 加法: a，b,(a，b)i，(a，b)j，(a，b)kxxyyzz? 减法: a,b,(a,b)i，(a,b)j，(a,b)kxxyyzz? 乘数: ,a,(,a)i，(,a)j，(,a)kxyz
? 或 a，b,{a，b,a，b,a，b}xxyyzz
a,b,{a,b,a,b,a,b}xxyyzz
,a,{,a,,a,,a}xyz
? 平行:若a?0时，向量相当于，即 b//ab,,a
{b,b,b},,{a,a,a}xyzxyz
也相当于向量的对应坐标成比例即
bbbyxz ,,aaaxyz
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
设，可以用它与三个坐标轴的夹角(均大于等于0，小于等,、,、,a,{a,a,a}xyz
于)来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图7,6，其余弦表示形式,、,、,,
cos,、cos,、cos,称为方向余弦。 图 7,6
1( 模
222a,a，a，a xyz
2( 方向余弦
,,,,,aMMcosacosx12,,222,,a,a，a，a,0,,aMMcosacos由性质1知，当时，有,xyzy12
,aMMcos,acos,,,,z12,
,aaxx,,cos,,222a,a，a，axyz,aa,yy, cos,,,222aa，a，a,xyz
,aazzcos,,,,222a,a，a，axyz,
222cos,，cos,，cos,,1? 任意向量的方向余弦有性质:
? 与非零向量a同方向的单位向量为:
a10 a,,{a,a,a},{cos,,cos,,cos,}xyzaa
3( 例子:已知两点M(2,2,)、M(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以2MM1212
及与同向的单位向量。 MM12
解:,{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2} MM12
222 MM,(,1)，1，(,2),212
12213,,,cos,,, ，，，，cos,,cos,,,,,,,,,222334
00a,{cos,,cos,,cos,} 设为与同向的单位向量，由于aMM12
1120a,{,,,,} 即得 222
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