累加法 通项 放缩的方向和放缩的程度
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,n2?已知数列{a}中，a=1，且a=a+2n•3(n?2，n?N)( ,n1nn1
(1)求数列{a}的通项公式; n
?(2)令b= (n?N)，数列{b}的前n项和为S，试比较S与n的大小; nnn2
**(3)令c= (n?N)，数列{}的前n项和为T(求证:对任意n?N，都有 T,2( nnn
考数列与不等式的综合;数列递推式;用数学归纳法
证明
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不等式( 点:
专综合题;转化思想(
题:
分第1问对条件式子两边同除以n，然后要用累加法可求出，从而可求出a( n析:
第2问有两种方法:方法1先对n=1，2，3时对进行比较，从而猜想出一个结论，然后对这个结论用
数学归纳法进行证明;
方法2把的差构造，然后利用f(n+1),f(n)的结果正负判断出f(n)的单调性(再
通过n=1，2，3时，的结果变化趋势得出最后的结论(第3问先由a写出c，然后先对nn
的用放缩法进行适当的放大，然后采用裂项法得出一个结果，然后再对T的除第一项以外的每一项按此进行放n
缩和裂项，运算之后很容易就看出与2的大小关系，就可以得出最后的证明结论( 解
解:(1)由题知，， 答:
由累加法，当n?2时，
代入a=1，得n?2时， 1
,n1*又a=1，故a=n•3(n?N)( 1n
*(2)n?N时，(
方法1:当n=1时，;当n=2时，;
当n=3时，(
猜想当n?3时，(
下面用数学归纳法证明:
?当n=3时，由上可知成立;
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?假设:n=k(k?3)时，上式成立，即(
当n=k+1时，左边=，
所以当n=k+1时成立(
*由??可知当n?3，n?N时，(
综上所述:当n=1时，;当n=2时，;
*当n?3(n?N)时，(
方法2:
记函数
所以
则
所以f(n+1),f(n)(
由于，此时;
，此时;
，此时;
由于，f(n+1),f(n)，故n?3时，f(n)?f(3),0，此时(
*综上所述:当n=1，2时，;当n?3(n?N)时，(
(3)
当n?2时，
所以当n?2时，
(
*且故对n?N，T,2得证( n
点本题第1问主要考查了用累加法求数列的通项(第2问主要考查了数学归纳证明，采用先猜想后证明的思维方
评:式(第 3问主要采用了放缩法及裂项法，难点在于放缩的把握放缩的方向和放缩的程度(总体来说第3问比较
难(
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