均值不等式与不等式的
证明
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均值不等式和不等式的证明 一(已知不等式的关系，求目标式的取值范围 例1:(2010辽宁理14)已知的取值范围 ,1,x，y,4且2,x,y,3,则z,2x,3y
。
2变式1:已知且，求的范围。 ,4,f(1),,1,,1,f(2),5f(3)f(x),ax,c
23xx2变式2:(2010江苏12)设为实数，满足则的最大值是 x,y3,xy,8,4,,9,4yy
。
二(利用均值不等式求函数的最值
I.利用均值不等式求最值要注意条件的验证
12x,0f(x),，3x例1:(1)若，求函数的最小值 x
12x,0f(x),，3x(2)若，求函数的值域 x
2x，31,,变式1.(1)求函数的值域; y,x,,,x，12,,
2x，3y, (2)求函数的最小值; 2x，1
2x，5y, (3)求函数的最小值。 2x，4
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II.通过代数变换凑配成使用均值不等式的形式
15例1:已知，求函数y,4x,2，的最大值。 x,44x,5
2ax，x，1变式1:求函数的最小值。 ，，y,x,,1且a,0x，1
26x，1变式2:求最大值。 y,2x，4
III.“1”的变换
19x，y例1:已知，且，求的最小值。 ，,1x,0,y,0xy
14a，b,2y,，变式1:(2011重庆理7)已知，则的最小值是 。 a,0,b,0,ab
1,xAA变式2:函数的图像恒过定点，若点在直线 ，，mx，ny,1,0y,aa,0,a,1
11，上，则的最小值为 。 ，，m,n,0mn
1113a,b,c，，,变式3:，证明:。 a,bb,cc,aa,c
149，，变式4:已知x,y,z,0,x，y，z,1,求的最小值。 xyz
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IV.注意转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用
ab,a，b，3例1:若正数满足，则: a,b
ab(1)的取值范围是 ;
a，b(2)的取值范围是 。 变式1:(2010重庆理7)已知满足，则的最小值是 。 x,y,0x，2y，2xy,8x，2yV.灵活选择和运用均值不等式的变形形式
2y22x1，y例1:设，，则的最大值为 。 x，,1x,0,y,02
2211,,,,变式1:已知，求的最小值。 a,0,b,0,a，b,4a，，b，,,,,ab,,,,
VI.合理配组，反复应用均值不等式
112a,b,0例1:设，则的最小值是 。 a，，，，abaa,b
22,,11,,,,x，，y，变式1:若是正数，则的最小值是 。 x,y,,,,2y2x,,,,
三(利用均值不等式证明不等式
11,,,例1:(1)设,求证:。 ，，a,b,c,Ra，b，c，,4,,ab，c,,
222abc,，，,a，b，c(2)，求证:。 a,b,c,Rbca
,(3)已知,且x，y，z,1，求证:x，y，z,3 x,y,z,R
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,a，b，c,1变式1:若，且。 a,b,c,R
111,,,,,,求证:。 ,1,1,1,8,,,,,,abc,,,,,,
b，cc，aa，b222,,变式2:证明:若，，则 x，y，zx,y,z,Ra,b,c,R,abc
，，2xy，yz，zx
四(不等式的证明
I.比较法(插值法、比值法)
a，maa,b,例1:已知均为正实数，且，求证: a,b,mb，mb
,,nnn，1n，1变式1:已知,且,求证:。 ，，，，，，a,b,Ra,b,n,Na，ba，b,2a，b
II.利用函数的单调性
130,x,1x,sinx,x例1:已知，求证:。 6
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,2x变式1:证明:当。 0,x,时，,sinx,x,2
III.综合法(由因导果)与分析法(由果索因) 例1:证明:2,3,6,7。
2变式1:设，求证:。 f(a),f(b),a,b，，f(x),1，xa,b
,例2:设,求证:。 ，，，，a，ba，b,aa，bba,a,b,b,R112212121212
2b,aca,b,ca，b，c,0,3变式1:若，且，求证:。 a
IV.反证法
1，，，，，，a1,c,b1,a,c1,b例1:已知a,b,c为不小于1的正数，求证:不可能同时大于。 4
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33,a，b,2变式1:已知，，求证:。 a，b,2a,b,R
V.放缩法
a，b，c,1例1:已知正数满足，求证:6a，1，6b，1，6c，1,6。 a,b,c
,n1,n变式1:证明: ，，，，n,n，1n,2,n,R
bcda,1,，，，,2例2:求证。 ，，a,b,c,d,Ra，b，cb，c，dc，d，ad，a，b
mmm,a,b，c例3:设,且满足，问取何值时，以为边可构成三角形，ma,b,ca,b,c,m,R
并判断该三角形的形状。
2222例4:设实数a,b,x,y满足，求证: a，b,1,x，y,3ax，by,3
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xy5,22变式1:设，，求证:。 ，,x,y,Rx，y,13412
VI..构造法
112b,00,a,例1b,b,:设,，若，求证:。 a,b,Rba，1
abc,，:已知为三角形的三边长，求证:。 例2a,b,c1，a1，b1，c
11nmm,n,0x,0且x,1,x，x，变式1:已知，，求证:。 mnxx
n,x,,1且x,0例3:证明:当时，有。 ，，1，x,1，nx，，x,N
,222222例4:设，求证:。 a,b,c,m,R，，a，b，b，c，a，c,2a，b，c
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