运城学院应用数学系2012-2013学年抽象代数试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
及答案
一、判断正误(每小题3分，共12分)
1、(?)一个环没有左零因子当且仅当环的乘法满足消去律。
(?)域是交换的除环。 2、
3、(?)如果循环群生成元的阶是无限的，则它与整数加群同构。
4、(×)若H，K都是群G的子群，则H?K，H?K都是G的子群。
二、单项选择题(每小题3分，共9分)
5、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类{H，aH，bH，cH}。如果|H| = 6，那么G的阶为( B )
A、6 B、24 C、10 D、12
6、设?是正整数集Z上的二元运算，其中a?b = max(a, b)(即取a与b中的最大者)，那么?在Z中( B )
A、不适合交换律 B、存在单位元 C、不适合结合律 D、每个元都有逆元
2-17、设a, b, c和x都是群G中的元素，且xa = bxc，acx = xac，那么x = ( B )。 -1-1-1-1-1-1-1A、ca B、bca C、abc D、bca
三、填空题(每空3分，共9分)
8、整数加群Z有 2 个生成元。
49、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于 25 。
10、剩余类环Z的子环S={[0]，[2]，[4]}，则S的单位元是 [4] 。 6
四、简答题(每小题10分，共30分)
22211、设G是一个群，若对任意的a, b?G，皆有(ab) = ab，证明G是交换群。
222-1证明:对任意的a, b?G，由(ab) = ab得abab = aabb，两边同时左乘a，右乘-1-1-1-1-1b得aababb = aaabbb，即ba = ab，所以G是交换群。......10分
G12、设υ是群G到群的满同态映射，K = kerυ，a，b?G，证明若υ(a) = υ(b)，则aK = bK。
-1-1-1证明:由υ(a) = υ(b)得ē = υ(a)υ(b) = υ(ab)，所以ab?K，所以aK = bK。......10分
-113、设有置换σ = (1345)(1245)，τ = (234)(456)?S，将τσ写成不相交轮换的乘6
积的形式，并确定它的奇偶性。
123456123456,,,,,1解:,,，，......4分 ,,,,,,134562162345,,,,
123456,,,1,,。......4分 ,,(16524),,643125,,
是偶置换。......2分
五、解答题(每小题10分，共40分)
14、证明数集Z[i] = {a + bi | a, b?Z}关于数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环。
证明:1) 任给α = a + bi, β = c + di?Z[i]，a, b, c, d ?Z，则
α + β = (a + c) + (b + d)i?Z[i]
αβ = (ac - bd) + (ad + bc)i?Z[i]
所以，数的加法与乘法是Z[i]的代数运算。......2分
2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以Z[i]的加法与乘法也满足这些运算律。......2分
3) 因为0 = 0 + 0i?Z[i]，且对任意的α = a + bi?Z[i]，有0 + α = α + 0 = α，所以0为 Z[i]的零元。......2分
4) 对任意的α = a + bi?Z[i]，有-α = -a – bi = (-a) + (-b)i?Z[i]，且α + (-α) = 0，所以，α = a + bi?Z[i]的负元为(-a) + (-b)i?Z[i]。......2分
5) 因为1 = 1 + 0i?Z[i]，且对任意的α = a + bi?Z[i]，有1α = α1 = α，所以数1为 Z[i]的单位元。......2分
证毕。
15、设H是包含在群G的中心内的一个子群，证明:当G/H是循环群时，G是交换群。
证明:首先，由于子群H含于群G的中心，故显然H是G的正规子群。......1分
s当G/H是循环群，且G/H =〈aH〉时，令xH，yH?〈aH〉，且xH = (aH)，yH =
tstst(aH)。则 xH = aH，yH = aH，于是有h，h?H使x = ah，y = ah。......6分 1212stts 由于H中元素同G中任何元素可交换，故xy = (ah)(ah) = (ah)(ah) = yx，即1221G是交换群。......3分
G,InnG()16、设G是群，证明有群同构，其中C为G的中心。 C
TGG:,g证明:,,TInnG()，，且T是Inn(G)的单位元，是恒等映射。eg,1xgxg,
,:()GInnG,作映射......4分 gT,g
显然φ是满射;......1分
-1-1-1-1-1-1由TT(x) = T(hxh) = g(hxh)g = ghxhg = (gh)x(gh) = T(x)，得T = TT，ghgghghgh则φ是满同态;......2分
-1-1,,cCc,ker,C,ker,,,aker,，有T(x) = cxc = ccx = x，所以，，又，c
-1aC,KerC,,KerC,,有x = T(x) = axa，即ax = xa，所以，，故;......2分 a
所以由第一同态定理知
G,InnG()。......1分 C
17、使图形不变形地变到与它重合的变
换称为这个图形的对称变换。
正方形的四个顶点分别用1、2、3、4
来
表
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示(如图)，于是正方形的每一对称变换可
用一个4元置换来表示。
绕中心O旋转90度(逆时针方向，下同)的变换是正方形的一个对称变换，它使得顶点1变为2，2变为3，3变为4，4变为1，因此这个对称变换可以表示为
1234,,。类似的，绕中心O旋转180度、270度、360度的变换都是正方形,,2,,2341,,
1234,,的对称变换，绕中心O旋转180度、360度的变换分别为、,,3,,3412,,
1234,,。 ,,1,,1234,,
关于4条对称轴的翻转也都是正方形的对称变换，如关于对称轴l的翻转，将顶1
1234,,点1变为2，2变为1，3变为4，4变为3，因此这个对称变换可以表示为。,,5,,2143,,
1234,,类似的，关于对称轴l的翻转为。 ,,26,,4321,,
事实上，正方形的对称变换只有上面提到的8个，它们组成的集合是S的一个4子群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为D。 4
问题:写出正方形绕中心O旋转270度的对称变换υ;写出正方形关于对称轴4
l、l的翻转υ和υ。 3478
1234,,解:正方形绕中心O旋转270度的对称变换，关于对称轴l,,34,,4123,,
12341234,,,,的翻转为，关于对称轴l的翻转。 ,,,,478,,,,32141432,,,,
......答对1个4分，答对2个7分，答对3个10分。
浙公网安备 33021202002483