一类具有单调功能反应和收获率的离散Leslie模型的多个正周期解

一类具有单调功能反应和收获率的离散Leslie模型的多个正周期解 一类具有单调功能反应和收获率的离散 Leslie模型的多个正周期解 第3O卷第1期 2010年1月 天津师范大学学报(自然科学版) JournalofTianjinNormalUniversity(NaturalScienceEdition) VoI.30NO.1 Jan.2010 文章编号:1671—1114(2010)01—0011—05 一 类具有单调功能反应和收获率的 离散Leslie模型的多个正周期解 姚晓洁,秦发金.,罗芳琼 (1.广西柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系,广西柳州545004;2.NilI大学数学学院, 成都610064) 摘要:研究一类具有单调功能反应和收获率的离散Leslie模型正周期解的存在性问题.利用 重合度理论中的延 拓定理,获得了该系统至少存在两个正周期解的充分条件.最后列举一些例子说明所得结果 的正确性. 关键词:单调功能反应;收获率;离散Leslie系统;多个正周期解;重合度 中图分类号:O175.8文献标识码:A MultiplepositiveperiodicsolutionsforaclassofdiscretedLesliesystem withmonotonicfunctionalresponseandharvesting YAOXiaojie,QINFajin,LUOFangqiong (1.DepartmentofMathematicsandComputerScience,LiuzhouTeachersCollege,Liuzhou545004,Gu angxiProvince,China 2.MathematicalCollege,SichuanUniversity,Chengdu610064,China) Abstract:TheexistenceofpositiveperiodicsolutionisstudiedforaclassofdiscretedLesliesystemwithm onotonic functionalresponseandharvesting.Byusingacontinuationtheorembasedoncoincidencedegreetheory ,sufficient conditionsareobtainedfortheexistenceofatleasttwopositiveperiodicsolutions.Finally,someexample saregiven toshowthecorrectnessoftheobtainedresults. Keywords:monotonicfunctionalresponse;harvesting;discretedLesliesystem;multiplepositiveperio dicsolutions; coincidencedegree 近年来,关于具有Holling型功能反应的捕食系统周期解的研究出现了许多结果,但对Leslie 模型 正周期解存在性的研究还是较少一.文献[9]研究了一类具有无穷时滞和收获率的Leslie模型 f.z()==(,)[n()——6()J?..志(——)z()d——]——(),, 一 ?一], 并利用重合度理论获得了模型(1)具有两个正周期解的充分条件.然而,对于生命短,世代不重叠的种群,用 差分方程来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示更为合理.目前,对具有收获率的差分方程多个正周期解存在性的研究较少见,因此,本研究 讨论一类具有单调功能反应和收获率的离散Leslie模型 xp是薹0愚()一),l,口一,.,……一一… l(尼+1)一(忌)exp{()——) 的周期解存存件问颢.其中.a(k).6(是),c(是).h(k).r(忌).s(忌)都是的浑续a,一周期函数.h(是)表示收获 收稿日期:2009—07—22 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10671133) 第一作者:姚晓洁(197O),女,讲师,主要从事应用数学方面的研究 通讯作者:秦发金(1967),男,教授,主要从事微分方程方面的研究 ? 12?天津师范大学学报(自然科学版)2010年1月 率,(忌)EC(Z,R)是OA--周期函数,K()E[o,..)且满足?K()一1.利用重合度理论,获得了模型(2) 至少存在两个正周期解的充分条件. 先引入重合度理论.设X,Z是赋范向量空问,L:DoraLCX—Z为线性映射,N:Xx[O,1]一Z为连续 映射,如果dimKerL—codimImL<oo,且ImL为Z中的闭子集,则映射L称为零指标的Fredholm映射. 如果L是零指标的Fredholm映射,且存在连续投影P:X—x及Q:ZZ使得ImP—KerL,ImL—KerQ— Im(卜一Q),则LID.n:(卜一P)x—ImL可逆,设其逆映射为K.设n为x中有界开集,如果QN(O× [0,13)有界且K(Q)N:×Eo,1]一X是紧的,则称N在×Eo,1]上是L一紧的.由于ImQ与KerL 同构,因而存在同构映射.,:ImQ—KerL. 引理1[1o(Mawhin延拓定理)设L是指标为零的Fredholm映射,N枥×[o,1]是L一紧的,假设: (i)对任意的?(0,1),方程Lz—N(z,)的解满足lza. (ii)QN(x,O)?0,VzEannKerL. (iii)deg{JQN(?,0),nnKerL,0)?0. 则方程Lz—Nac在DoraLnn内至少有一个解. 引理2设厂:z—R为一周期函数,则对任意给定的k,k.EJ及任意kEz,有厂(志)?f(k)+ ?l厂(s-+-1)一(s)I,厂(是)?厂(是z)一?I厂(+1)一-厂(s)1. 为方便,记,一{0,1,2,…,一1},对连续?一周期序列厂(忌),记 7一吉厂(走),一吉If(k)l,广一minf(k),一maxf(k)? 1正周期解的存在性 为了研究方程(2)的周期解的存在性,将此模型嵌入到重合度的框架中,定义 一 {l?()一(“1(是),U2(走))ER:(志+)一U(壶),i一1,2,Vk?Z), 且lilf一?『XIUi(尼)l,(,甜)Ez,容易看出是Banach空间.令 瑶一{H一(1(五),1A2(是))Ez:Ui(忌)一0,1,2}, 一 {ll一(“1(尼),2(忌))EZ:”(五)一ER,i一1,2}, 不难得到z和z都是z的闭线性子空间,一瑶?,dimz一2. 定理如果d>0,且下列条件满足: (H1)g()满足g(O)一0,且g()>0,u6[0,oo); (H2)a>mc”+2?6”M. 则系统(2)至少存在两个正一周期解,其中—sup. 证明对系统(2)作变换(是)一eu?,(尼)一euz娃,则系统(2)变为 +1)一?妻忌(筹)一,p=O g 一, (3) l”(走+1)一”(是)===d(是)一. 如果系统(3)存在一个一周期解(“(点),”(志)),则(eu,eu)为系统(2)的一个正一周期解,因此 只须证明系统(3)至少存在两个正叫一周期解即可. 取X—Z—Z,(Lu)()一ll(k+1)一H(走), 第30卷第1期姚晓洁,等:一类具有单调功能反应和收获率的离散Leslie模型的多个正周期 解?13? N u2 „ (k 是 )/ ?一)一)K(Hl(一)g(/一p=0eulok)eU2(k),,, 一 ,?[0,1], 显然有KerL一17,ImL—z,则dimKerL一2一codimImL.由于1mL在Z中是闭的,故L是一 个指标为 零的Fredholm映射.易知P和Q是连续的投影且满足ImP=KerL,KerQ—ImL—Im(1--Q),其 中 一EX;Qz一,zEZ? 从而广义逆(L)KP:ImL—KerPnDoraL存在,且 Kpz(~--s)z). 设(==X为有界开集,利用Arzela—Ascoli定理容易证明N在x[0,1]上是L一紧的. 考虑方程Lu=AN(u,),?(O,1),即 是+1)?一)_6(愚)K()-eul(k))eU2ck)一],l:0,…L? i.(正+1)一”(忌)一Ed(忌)一], 将方程(4)两边从0到一1求和得 一 毳[,p=O?g(筹)+],? 一 量,(6) 由式(4)一(6)可得 0(志十1)一?J?+量k0I-薹()+]一2,(7)?J”(志+1)一”(点)J?+?J6(五)?K()e卜+(是)g()+l一 2,(7)=一一O,…?J 塞J”:(走+1)一走)J?曼Id(k)I+萎一(+)?,(8) 设(甜(忌),”z(志))是系统(4)对应于某个AE(O,1)的(.O--周期解,由于((忌),”z(忌))EX,故存在 8,E (一1,2),使得 U(8)一rainU(志),”(刁)一maxu(),i一1,2,(9) k?J.k?I 由式(5)和(9)可得 p?6eu1?l, 即M(a)?1n,结合式(7)和引理2可得 “(忌)?”()+?I(是+1)一(五)I?ln詈+2_蚴兰H,(1o) 由系统(4)第一个方程和式(9)可得 1_6(a)妻)g()一,p=0 e”1%P)-- 从而bLeh?--aMe?白十<0,由(H2),解此不等式得 inZ一<:”1(1)<InZ+,(11) 其中,『二三,+ 雩三,再由系统(4)第一个方程和式(9)得 +1)())g()eUz(~1)一]<O, ,, K ? 愚 _I?? ? 14?天津师范大学学报(自然科学版)2010年1月 从而bMe.”1?一(口--mcM)et?+M>O,由(H2),解此不等式得 1(1)<ln一或者1(1)>ln+,(12) 其中, 全a--mcM一二二2bM胁一—aL--m — cM+~/(aL--mcM)z--4bMhM , 这里一sup. 易知z一<”,<”+<z+,由式(10)一(12)可得”(是)?(1nz一,in一)U(In+,H),由式(6)和(9) 可得 ?,即”.(&)?ln+H,结合式(8)和引理2可得 “z(忌)?”z()+?I”(尼+1)一”:(尼)I?ln+H+(+)?,(13) 再由式(6)和(9)可得??,即”.(72)?ln—dl— - ,结合式(8)和引理2可得 )?)一萎足+1)?I?ln一(+)?,(14) 由式(13)一(14)可得 l”(是)I<max{II,l.l}三R,?(15) 显然,Z?,”?,R的选取与无关. K(-,”)?R,则 f—a--一beul一eU1] QN((),.)一}一十鲁f? 考虑代数方程组 fa一6eu1一五eu1—0, I 1--一_eU2-0.6 显然方程组(16)有两个解(,2)一(Inz+,in+)和(,V2.)一(Inz1一,In一),其中, +一>0~,,321----a--ff-~Z--4bh>+一 d5z71+ 一 一 dXl , 易知z<z<<”+<+<z+.取适当的常数R.>0,使得R.>max{JIn+J,JInJ),设 n一 {c”,”z?x『f.(<lnRu++,HR)?),n.{c,?xl,f.(<lnRl-+,lnRu-),), 显然,1”2.是X的有界开集,且n:一,(,)?,一1,2,因此12满足引理1中的条件(i)一(ii). 由于ImQ—KerL,可取为恒同映射,由式(16)的第一个方程可知ee一,而>则必有e一 ?o,i一1,2.通过直接计算可得 deg{JQN,nKerL,0)===deg{QN,nnKerL,0}?0,一1,2, 即引理1的条件(iii)也满足,从而由引理1知系统(3)在力和力都至少存在一个一周期解,故系统(2)至少 存在两个正叫一周期解. 2应用举例 例1考虑系统 第30卷第1期姚晓洁,等:一类具有单调功能反应和收获率的离散Leslie模型的多个正周期解?15? +1)一)eXp)_6(忌K((p)一 (是+1)==(志)exp{(忌)——j},ny(忌)+(尼)h(k)1(是)f?(17) 其中>0为常数,其他参数与系统(2)相同.这里g(“)一;U,显然g()满足条件(H)?于是由定理1可得 推论1. 推论1如果>O,且有(H.)n>+2,/可成立,则系统(17)至少存在两个正一周期解. 例2考虑下面系统 xp志K.(p)x(k--p)-- P0 一 },lI?…………?,Il6J +一cxp{一},. 其中>o为常数,其他参数与系统(2)相同.这里g()一睾,a?2为常数,显然g(“)满足条件(H)?于 是由定理1可得推论2. 推论2如果>0,且有(H)口>二cM+2成立,则系统(18)至少存在两个正一周 期解. 例3考虑下面系统 xp走~, o K(i)x(k--i)-- i0 一 ),(]9I,一一?,,一一………,IJ l(是+1)一(走)exp{()一{), 其中,n>0,户>0为常数,其他参数与系统(2)相同?这里g(“)一干,显然g(“)满足条件(H)?于是 由定理1可得推论3. 推论3如果>0,R~ff(Hz)口>+2成立,则系统(19)至少存在两个正?一周期解? 致谢:感谢导师四川大学徐道义教授多年来的悉心指导! 参考文献: [1]黄玉梅,李树勇,潘杰.一类含分布时滞的扩散周期竞争模型的渐近性质[J].四川师范大学学报:自然科学版,2004,27(4):343—346. 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