拉格朗日函数

拉格朗日函数 守恒定律 ?5.4 拉格朗日函数 1. 如果在力学系上只有保守力的作用，则力学系及其运动条件 就完全可以用拉格朗日函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来。这里说的运动条件是指系 统所受的主动力和约束。因此，给定了拉氏函数的明显形式 L , L ， q1,...qs ; q&1...q&s ; t ， 就等于给出了一个确定的力学系。拉氏函数是力学系的特性函数。 在使用广义坐标时，由于约束方程自动满足，使得人们对于 力学系的看法发生了变化。以前，力学系的含意只是“质点的集 合”，而现在则应理解为“一个确定的拉氏函数所表征的系统”。 因此，在许多情况下也就没有必要再去考究质点组本身了。例如 刚体被看成是不变质点组。当选取广义坐标之后，原来构成刚体 的“质点”和它们之间的“相互约束”两个方面合二为一，形成 一个特定的力学系。这个力学系完全由一个拉格朗日函数所表征。 这种合二为一是很自然的事情。因为采用了广义坐标就意味承认 了约束;从物理上讲，就等于肯定了一种特定的约束力作用在力 学系上。这时当然应该认为约束体已经解除，不再需要用一些特 殊的几何形象来显示约束的存在了。 另外，拉氏函数中反映出的质点间的相互作用，是以瞬时传 递和遵守伽俐略相对性原理为前提的。拉氏函数并不违背经典力 学的绝对时空 。所以分析力学仍然是欧氏几何上的力学理论。 在力学系的运动过程中，决定其力学状的 2S 个量 q， 和 q&， 随时间而变化。但是，这 2S 个量的一些函数却会表现出守恒的性 质。这些守恒物理量的数值只由初始条件决定，不因系统的运动 而变化;它们称为运动积分。需要注意的是，并不是所有的运动 积分都有相同的价值;只有少数的几个运动积分才具有重要的物 理 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 。这些运动积分的不变性导致人们所熟知的几个守恒定律。 由于拉氏函数是力学系的特性函数，所以力学系如果存在某 些守恒量的话，它的拉氏函数必然会显出某些特殊的性质。下面 我们研究二者的具体对应关系。 广义动量守恒 2. 由于力学系的势能与速度无关，所以广义动量 p， 可表示为 L (5.4-1) p， , q&， 如果拉氏函数 L 中不含有某个广义坐标 q， ，则 q， 称为循 环坐标。由拉氏方程(5.3—13)可知，与循环坐标 q， 相应地有 p， , 常量 即:与循环坐标相应的广义动量是守恒的。 例如一个质点在重力场中自由运动，以直角坐标为广义坐标 时其拉氏函数是 m L , ， x& 2 ， y& 2 ， z& 2 ， mgz 2 显然 x 与 y 都是循环坐标。所以得知，质点在 x 轴、y 轴两个方 向上动量都是守恒的。 广义能量守恒 3. 若力学系的拉氏函数不显含时间 t，则此力学系的广义能量守 恒。 L , 0 。 下面证明这个定理。拉氏函数 L 不显含时间 t，意味 t 因此有 s L L dL q&， ， , q&&， dt q& L d L 改换为 ，则得 利用拉氏方程(5.3—13)将上式中的 q， dt q&， s s d L L d L dL ， , q&， q&&， , q&， dt & & & ， ,1 dt q， q， ， ,1 dt q， 上式也可写为 s d L L , 0 q&， q&， dt ， ,1 由此可见 S L L , 常量 (5.4-2) H , q&， q&， ， ,1 我们定义 H 为力学系的广义能量，上式便表示广义能量守恒，于 是定理得证。至于为什么称 H 为广义能量，那就要研究 H 与能量 E 的关系了。 由(4.1—7)式可将动能 T 写为 1 n r T , ,i 1 mi r&i2 2 r r 2 1 n s ri ir , mi ,， 1 q q&， ， t 2 i ,1 ， r r r r 1 s n ri ri ri ri , &q， q&, ， mi mi q , q , ,1 s s r 2 ri , (5.4-3) ， mi 2 , ,1 上式中的三项显然分别是广义速度的二次、一次和零次函数。若 1 1 ,， 1 a，, q&， q&, ， ,， 1 a， q&， ， 2 a 代表这三项，则动能可表示为 以 T2 、 T1 、 T0 T , T2 ， T1 ， T0 假如系统是定常的、或稳定的。则(4.1—5)式中不含 t，因 r 而 t 函数。由齐次函数的尤拉定理可知，这时有 ri s , 0 。由此得知 a， ， a , 0 ，即动能 T 成为 q&， 的二次齐次 (5.4-4) q&， , 2T ， , 1又因 T ， q& T L , q， & q&， 故(5.4—4)变为 s L (5.4-5) q&， , 2T q& ， , 1 ， 将(5.4—5)代入(5.4—2)，可知系统在这种情况下是机械能守 恒，即 H=T+V=E=常量 这说明，对于定常力学系 H 表示系统的能量，可见 H 是能量概念 的推广，故称为广义能量。 不难证明，对于非定常力学系，广义能量并不表示力学系的 机械能，这时广义能量可表示为 T , T2 T0 ， V (5.4-6) 如果拉氏函数 L 不显含时间 t，这时守恒的是系统的广义能量而 不是机械能。 以开普勒问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 为例，如果选取平面极坐标作为广义坐标，且 L , T V , ， r&， r 2,& 2 ， 以 , 表示折合质量，则质点的拉氏函数为 2 2 r 显而易见，L 中不含广义坐标 , ，而且也不显含时间 t ,所以系统 的角动量守恒，机械能也守恒。 守恒定律与时空的性质 4. 对完整保守系而言，如果广义坐标 x 是循环坐标，则 L , 0 x 这说明坐标系在 x 方向的平移不影响 L 的性质。由于拉格朗日函 数 L 表征着系统固有的动力学性质，所以坐标系在 x 方向的平移 不影响力学系的性质。这反映了空间在 x 方向的均匀性。然而上 面已经证明，x 成为循环坐标是与 x 方向的动量 px 守恒相对应 的，所以动量守恒反映了空间的均匀性。 如果 , 是循环坐标，则有 L , 0 , 可导出角动量 p, 守恒。这时，坐标系在 , 方向的旋转显然不影响 拉氏函数的性质。所以，角动量守恒反映了空间的各向同性。 由 L 中不显含 t，即 L , 0 t 可导出(广义)能量守恒。这时，时间坐标原点的移动不影响拉 氏函数 L 的性质。所以能量守恒反映了时间的均匀性。 总之，经典力学中的三个守恒定理具有深刻的物理意义。它 们分别反映了空间的均匀性、各向同性以及时间的均匀性。 举例 5. 【例一】半径为 a 的圆环以匀角速度 ， 绕 OZ 轴在水平面内 旋转，环上有一个质量为 m 的质点。求质点运动微分方程的首次 积分。 解:这个力学系中只有一个质点。取 x、y 轴、 , 角、 , 角如图所示 5.4.1。由于 , , ，t ，故质点的坐标 为 x , a cos ，t ， a cos ，，t ， , ， y , a sin ，t ， a sin ，，t ， , ， 约束方程是 2 2 , a 2 ， x a cos ，t ， ， ， y a sin ，t ， 其中显含时间 t，所以是非定常约束。 因为V , 0 ，所以质点的拉氏函数 L=T，故有 1 L , m ， x& 2 ， y& 2 ， 2 2 m a 2 ma ，,, ， ，， ，,， ，1cos , ， ，2 2 系统只有一个自由度，广义坐标是, ，而且不是 L 中的循环坐标， 所以系统没有广义定量积分。但是 L 中不显含 t，所以有广义能 量积分 T2 T0 , 常量 此处的 T2 与 T1 分别是 1 ma 2,&2 , T0 , ma 2， 2 ，1 ， cos, ， T2 , 2 由此得 , , 1 &2 ma 2 , , , 常量 , 2 , ※※在本题中质点的机械能是否守恒,为什么,※※ 2【例二】在抛物线形状 ， , 2az 的框架上串了一个质量为 m 的可自由滑动的小球。框架在已知力偶 M=M( , )的作用下绕 OZ 轴转动。力偶矩矢量 M 沿着 OZ 轴。框架对 OZ 轴的转动惯 量是 I。列出系统的运动微分方程，并讨论系统的守恒量。 解: 取框架与小球为一个力学系。系统具有两个自由度，可 ， 和 , 作为广义坐标，， 表示小球的横坐标。因为框架的转角 取 2 不是一个预先给定的函数，框架对小球的约束方程 ， , 2az 又不 显含 t，因此这是一个定常约束系统。 系统的动能是 1 2 m T , ， ，& 2 ， ， 2,& 2 ， Z 2 ， I,& ， 2 2 2 ， ，，& 。代入上式，经整理后得出以广义 由于 Z , ，得 Z& , 2a a 坐标和广义速度表示的动能 1 2 2 m ， 2 2 T , ， I ， ，m,， & ， 1 ， 2 ，& 2 2 a 势能函数为 , mg ， 2 V , ， ，，, ， , ， M ，， ，d， 0 2a 于是求出拉氏函数 L=T,V，并代入拉氏方程，便可得到运动微 分方程 d (1) ,， I ， m， 2 ，,& , , M ，, ， , dt , 2 ， ， ， a 2 ， ，&& ， ，，& 2 ， ， a ， g a,& 2 ， , 0 (2) 因为 L 不显含 t，所以广义能量守恒。又因为系统受定常约束， 所以广义能量就是机械能。于是得到机械能守恒 2 ，, 1 2 2 m ， 2 2 I ， m， ，, &， ， mg & ， ， M ，， ， d， , 常量 0 ，2 2 1， a2 2a 和 L 都不是守恒 因为 L 是显含 , 和 ， 的，故广义动量 L ,& ，& 量。 如果作用在框架上的力偶矩 M ，, ， 恒为零。则广义动量 L 是守恒的，即质点组绕 OZ 轴的角动量守恒，其表达式是 ,& 2 ， I ， m， ，,& , 常量