初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料 完全平方数和完全平方式 甲内容提要 一定义 1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36， ，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如： 在有理数范围　m2,  (a+b－2)2,  4x2－12x+9,  144都是完全平方式. 在实数范围  （a+ ）2,  x2+2 x+2,  3也都是完全平方式. 二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定 1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数. 2. 若n是完全平方数，且能被质数p整除, 则它也能被p2整除.. 若整数m能被q整除，但不能被q2整除, 则m不是完全平方数. 例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内 如果　ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0且a>0； 如果  b2－4ac=0且a>0；则ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式. 在有理数范围内 当b2－4ac=0且a是有理数的平方时，ax2+bx+c是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系 1. 完全平方式（ax+b）2  中 当a, b都是有理数时, x取任何有理数，其值都是完全平方数； 当a, b中有一个无理数时，则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n2+9, 当n=4时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)中 1 若b2－4ac是完全平方数，则方程有有理数根； 2 若方程有有理数根，则b2－4ac是完全平方数. 2. 在整系数方程x2+px+q=0中 1 若p2－4q是整数的平方，则方程有两个整数根； 2 若方程有两个整数根，则p2－4q是整数的平方. 乙例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数. 证明：设五个连续整数为m－2, m－1, m, m+1, m+2. 其平方和为S. 那么S＝（m－2）2＋（m－1）2＋m2＋（m+1）2＋（m+2）2 ＝5（m2+2）. ∵m2的个位数只能是0，1，4，5，6，9 ∴m2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1 ∴m2+2不能被5整除. 而5（m2+2）能被5整除， 即S能被5整除，但不能被25整除. ∴五个连续整数的平方和不是完全平方数. 例2  m取什么实数时，（m－1）x2+2mx+3m－2  是完全平方式？ 解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得 当且仅当 时，（m－1）x2+2mx+3m－2  是完全平方式 △=0，即（2m）2－4(m－1)(3m－2)=0. 解这个方程， 得  m1=0.5,      m2=2. 解不等式　m－1>0 ，    得m>1. 即   它们的公共解是　m=2. 答：当m=2时，（m－1）x2+2mx+3m－2  是完全平方式. 例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式. 求证： a=b=c. 证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得 原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0. 即　4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0. ∴ 2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0, (a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0. 要使等式成立，必须且只需： 解这个方程组，得a=b=c. 例4. 已知方程x2－5x+k=0有两个整数解，求k的非负整数解. 解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数. 可设△= m2  (m为整数)， 即（－5）2－4k=m2  (m为整数)， 解得，k= . ∵　k是非负整数， ∴   由25－m2≥0，　得　 ，  即－5≤m≤5； 由25－m2是4的倍数，得　m=±1, ±3, ±5. 以 m的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k= . 求得k= 6,　 4, 　0. 答：当k=6, 4, 0时，方程x2－5x+k=0有两个整数解 例5. 求证：当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根. 证明：　（用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方. ∵△＝（8k）2－16(k2+1)＝16（3k2－1）. 设3k2－1＝m2  (m是整数). 由3k2－m2＝1，可知k和m是一奇一偶， 下面按奇偶性讨论3k2＝m2＋1能否成立. 当k为偶数，m为奇数时， 左边k2是4的倍数，3k2也是4的倍数； 右边m2除以4余1，m2＋1除以4余2. ∴等式不能成立.；　  　当k为奇数，m为偶数时， 左边k2除以4余1，3k2除以4余3 右边m2是4的倍数，m2＋1除以4余1 ∴等式也不能成立. 综上所述，不论k, m取何整数，3k2＝m2＋1都不能成立. ∴3k2－1不是整数的平方，　16（3k2－1）也不是整数的平方. ∴当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根 丙练习 1. 如果m是整数，那么m2+1的个位数只能是＿＿＿＿. 2. 如果n是奇数，那么n2－1除以4余数是＿＿，n2+2除以8余数是＿＿＿，3n2除以4的余数是＿＿. 3. 如果k不是3的倍数，那么k2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿. 4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？ 5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿. （1990年全国初中数学联赛题） 6. m取什么值时，代数式x2－2m(x－4)－15是完全平方式？ 7. m取什么正整数时，方程x2－7x+m=0的两个根都是整数？ 8. a, b, c满足什么条件时,代数式(c－b)x2+2(b－a)x+a－b是一个完全平方式？ 9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数： 1 四个连续整数的积；  ②两个奇数的平方和. 10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数. 11. 已知四位数 是平方数，试求a, b. 12. 已知：n是自然数且n>1. 求证：2n－1不是完全平方数. 13. 已知：整系数的多项式4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方数，求整数a和b的值. 14. 已知：a, b是自然数且互质，试求方程x2－abx+ (a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题) 15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是(    ) (A)  17    (B)  18    (C)  35    (D)  36 (1990年全国初中数学联赛题) 练习 1.　1，2，5，6，7，0    　2.　0，3，3    　3.　0 4. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除 5. 5。因为平方数的个位数是 （1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1） 即个位数为5×8＋5 6. 3，5  　7.　12，10，6  　8.　a=b,a=c且c>b    　9. 都不是 10.　1987．　∵   A2－B2＝176＝2×2×2×2×11  …… 11.　7744（882）.  ∵ 是平方数，　a+b是11的倍数　 ∴可从 中检验，得出 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 . 12 用反证法，设2n－1=A2,A必是奇数，  设A＝2k+1…… 13   14 　x1=1,  x2=2