佳一数学2016年春季精英版
教案
中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载
六年级-7 替换法、化归法
第7讲 替换法、化归法 [教学内容]
《佳一数学思维训练
教程
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》春季精英版,六年级第7讲“替换法、化归法”。 [教学目标]
知识技能
1(学会用替换的思想建立数学模型,解决较复杂的问题;
2(学会将陌生的问题转化为熟悉的问题,选择合适的方法解题。 数学思考
1(独立思考,找到解决问题的最佳思想并能够较清晰地表达自己的想法;
2(运用方程的思想思考替换问题。
问题解决
1(掌握替换法和化归法解题的基本方法,体验解题方法的多样性,体会一题多解和多题一解的数学奥妙。
2(要养成用数学知识思考问题的习惯,多用数学思维来分析事理。 情感态度
1(体会数学在日常生活中的无处不在,感受数学的价值;
2(通过大胆发言,体验获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立加强自身数学功底的自信心。
[教学重点和难点]
教学重点
掌握替换法和化归法的基本方法。
教学难点
抓住关键条件,进行有效地替换和知识迁移。
[教学准备]
动画多媒体语言
课件
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第一课时
教学过程:
教学路径 学生活动
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
说明 一、课前引入 师:同学们,上节课我们学习了用列表法和还原法解题的策略,
今天我们将学习两个新的策略——替换法和化归法(师板书
课题),这两个方法和列表法与还原法一样,在我们的日常生
活、工作与学习过程中非常的实用。我想请一位同学说一说,
你是怎么理解什么是替换法的,? 生:替换法就是当一个问题中有两个或两个以上的未知量需要我
们求解的时候,就把所有的量替换成一个量,先求出这个量,
然后再求出其他的量。 ?让学生师:非常好,就是这个意思。其实替换法与等量代换有同样的意 知道什么
思(师板书:“替换法:等量代换”),我国古代一个有名的 是替换法。
故事,曹冲称象大家听过吗,故事中,曹冲是如何称出大象
的重量的呢, 生:先把大象赶到一条船上,然后在船的外面与水接触的边缘处
画一条水位线,然后把大象拉到岸上,再往船上放石头,一
直到船下降到刚才的水位线处为止,然后称出石头的重量就
是大象的重量了。 师:这里曹冲是把哪两个量进行了替换, ?让学生生:大象的重量和石头的重量 知道什么(师板书:大象的重量=石头的重量) 是化归法,师:非常好,像这样的过程就是替换的思想。那么化归法就是什 给本节课
么样的策略呢,? 的学习作(若没有学生知道,老师可以直接说出来) 下铺垫。 生:就是把我们没有遇见过的、较复杂的问题转化、归结成我们
已经学过了、简单的问题,进而解决问题。 (师板书:化归法:从未遇见、复杂的?学过、简单的)
师:很好,举个例子,以前我们学习过的时钟问题,分针与时针
的夹角问题经常被我们化归为追及问题来解决。较为复杂的
盈亏问题也可以化归为长方形的面积来解决。 师:刚才我们对替换法和化归法有了一个初步的认识,也让我们
感觉到他们的重要性和实用性。今天就让我们一起回顾2013
年佳一十周年校庆,一起学习替换法和化归法吧~ 师:2013年,佳一数学10周岁了,佳一所有的老师为此举办了 一场精彩的庆典晚会。 课件出示十周年情景 师:我们刚刚所看到的这一切的背后,隐藏了所有人的智慧和汗
水。让我们一起走到台后看一看吧~ 二、呈现问题,小组合作探究 (一)教学例1
例1:黄老师负责运输物资,为此他租了5辆小货车和2辆 大货车,一共花了2500元,一辆大货车的租金比一辆小货车贵 200元,租一辆大货车和一辆小货车各需要多少钱, (1)学生读题,获得信息 师:同学们默读题目,从中找出已知条件。 生:从题中,我知道:
2辆大货车+5辆小货车=2500元
1辆大货车-1辆小货车=200元
(2)小组合作,解决问题
师:大家小组合作,探讨怎样解决问题,(教师巡视指导,了解
学生思路)
(3)汇报解题思路?
生1:如果把2辆大货车换成2辆小货车就可以少花400元,这
样租7辆小货车的租金就是2100元。所以租一辆小货车的
?通过交钱就是300元,那么租一辆大货车的钱就是500元。
流使学生
师:非常好,刚才***同学把大货车替换成了小货车,这种方法 知道并思
就是替换法,我们还可以怎么替换, 考一般情生2:可以把小货车替换成大货车。把一辆小货车替换成大货车, 况下,用替
就要多花200元,那么把5辆小货车替换成5辆大货车就要 换法解题
多花1000元,租7辆大货车就需要3500元,所以租1辆大 有两种甚
货车的钱就是500元,进而得知租1辆小货车的钱就是300 至更多的
元。 替换方法。 师:很好~如果用替换法可以把大货车换成小货车,也可以把小
货车换成大货车。 生3:老师,还可以列方程解决。设小货车x元运费,大货车(x
,200)元运费,根据“大货车运费,小货车运费,2500”
列出方程。 师:非常好,看来方程掌握的不错。大家学习新方法也不忘旧方
法,现在我们小组合作,用尽可能多的方法解决问题。 课件出示解析: 题干“5辆小货车和2辆大货车一共花了2500元”下划线。 下一步 大货车×2,小货车×5,2500 下一步 题干“一辆大货车的租金比一辆小货车贵200元”下划线。 大货车,小货车,200
课件出示答案: 小货车:(2500-200×2)?(5+2)=300(元) 大货车:300+200=500(元) 答:租一辆大货车需要500元;租一辆小货车需要300元。 (4)小结 用替换法解题时,替换哪个量就把哪个量用别的量表示出来。
(过渡)师: 做任何一场活动,物资的准备都是非常重要的,黄老师负责物资 的运输,确保了活动的顺利进行。在我们十周年校庆过程中,佳 一还自己创作了一部微电影和一首校歌,在微电影的制作过程 中,也有很大的数学学问哦,我们快来看一看吧~ (二)教学例2 例2:曹老师负责拍摄佳一微电影《心雨》(片长13分钟)和录 制佳一校歌《快乐佳一》(歌长3分钟),所有制作时间加起来共 用了145小时,已知制作1分钟微电影所用时间可以制作2分钟 校歌,那么制作微电影和校歌分别用了多长时间, (1)学生读题,获得信息 师:同学们默读题目,从中找出已知条件。 生:从题中,我知道:
制作13分钟微电影时间+制作3分钟校歌时间=145小时
制作1分钟微电影时间,制作2分钟校歌时间
(2)学生汇报解题思路
师:给大家1分钟时间思考,然后我们汇报交流。
生甲:我想替换电影制作时间。制作13分钟微电影可以制作26
分钟的校歌,那么制作29分钟的校歌就用了145小时,
平均每制作1分钟校歌就要用去5小时,那么制作校歌就
要用去15小时。另外的130小时用来制作微电影。
师:非常正确,这里我们除了可以把制作微电影的时间替换成制
作校歌的时间,还可以反过来替换。同学们用自己喜欢的方
法把此题在书上完整地解答出来,请一位同学上黑板用“把
制作微电影的时间替换成制作校歌的时间”的方法来把这题
的解题过程写出来。
课件出示解析:
题干“曹老师负责拍摄佳一微电影《心雨》(片长13分钟)和录
制佳一校歌《快乐佳一》(歌长3分钟),所有制作时间加起
来共用了145小时”下划线。
下一步
制作1分钟微电影时间×13+制作1分钟校歌时间×3=145小时
下一步
题干“已知制作1分钟微电影所用时间可以制作2分钟校歌”下
划线。
下一步
制作1分钟微电影时间,制作2分钟校歌时间
(点击换一换按钮进行替换)
课件出示答案:
制作1分钟校歌时间:145?(13×2+3)=5(小时)
制作校歌时间:3×5=15(小时)
制作微电影时间:145-15=130(小时)
答:制作微电影用了130小时,校歌用了15小时。
(3)简单介绍视频制作?
师:有同学可能不理解,制作一首3分钟的校歌怎么会用那么长
时间呀,其实15小时还算少的呢,我们录制一首歌曲首先
要作词、作曲,然后制作成音乐,接着要让歌手录音、合成,
录完后要编辑、调整、完善,最后才做出了成品,这过程是
非常复杂的。一首音乐就这么麻烦,制作一部有图像的微电
影就更加麻烦了,有时为了录一个5秒钟的片段需要花上1
个小时的时间呢~课后就让我们一起欣赏佳一的微电影和校
歌,好吗,
生:好~
师:好的。任何一场活动,都会涉及到用钱,佳一十周年庆典过
程中的花费项目相当多,难免会出现一些错误,不过这可逃
不过负责财务的金老师的法眼~
(三)教学例3
例3:金老师负责费用统计,她发现租花的费用多记了10元,后 经核实才知道100盆一串红和80盆菊花在记账的时候把数量记 反了,正确的金额应该是220元。那么租一盆一串红需要多少钱, (1)学生读题,获得信息 师:同学们默读题目,从中找出已知条件。 生:从题中,我知道:
100盆一串红+80盆菊花=220元
?向学生80盆一串红+100盆菊花=230元
们解说制(2)小组合作,讨论解题思路
作音视频师:很好,下面应该怎么办呢,同桌之间相互讨论,看看应该如
的大概步何进行替换,
骤,一方面生1:我们是这样想的,可以用下面一个式子减去上面一个式子,
帮助他们得到20盆菊花比20盆一串红多10元,那么租1盆菊花就
进一步理比1盆一串红多0.5元,然后用例1的方法就可以了。
解题意,另生2:我们是这样想的,把上面两个式子加起来,可以得到180
一方面帮盆一串红+180盆菊花=450元,那么1盆一串红+1盆菊花
助学生增=2.5元,所以80盆一串红+80盆菊花=200元,再用第一个
加常识。 式子减去这个式子,就得到20盆一串红需要20元,租一
盆一串红需要1元。
(学生们可能会有很多想法,让学生一一讲解。)
180盆一串红+180盆菊花=450元
师:看来同学们的方法真是特别的多,但不管是哪个方法,都是
运用了替换的思想来解决的。下面大家用自己喜欢的替换方
式来把这道题解答完整。
课件出示解析一:
课件出示答案:
1盆菊花-1盆一串红=0.5元 (220-80×0.5)?(100+80)=1(元) 答:租一盆一串红需要1元。 课件出示解析二:
课件出示答案:
1盆菊花+1盆一串红=2.5元
(220-80×2.5)?(100-80)=1(元)
答:租一盆一串红需要1元。
(四)教学例4
师:庆典活动准备得差不多了,几位老师负责分发礼品:
例4:赵、钱、孙、李四位老师负责分发晚会来宾的礼品,赵老
3师发的礼品数是其他三位老师发的礼品总数的。钱老师发的礼 11
5品数相当于其他三位老师发的礼品总数的,孙老师发的礼品数 9
9是其他三位老师发的礼品数总数的,李老师发了108件礼品, 26
则四位老师共发了多少件礼品,
(1)学生读题,获得信息
师:从题目中你了解到了哪些信息,
(生自由回答)
(2)小组合作,讨论解题思路
3师:从“赵老师发的礼品数是其他三位老师发的礼品总数的,”11
这个条件中,你能得到什么,
3生1: 赵老师发的礼品数是其他三位老师发的礼品总数的,把11
“其他三位老师发的礼品数”看作“1”,把“1”平均分成
11份,赵老师发的礼品数占了其中3分,那么四人一共发了
314份的礼品,赵老师发的礼品数占了四人发的总数的。 14
5生2:同样的道理钱老师发的礼品数占了四人发的总数的。孙14
9老师发的礼品数占了四人发的总数的。 35 生3:这样就可以知道李老师发的108件礼品占总礼品数分率。 (3)学生独立完成 课件出示解析:
3题干“赵老师发的礼品数是其他三位老师发的礼品总数的”下11 划线接着出文字:赵老师发的礼品数是全部的 ,下一步 题干“钱老师发的礼品数相当于其他三位老师发的礼品总数的
5”下划线接着出文字:钱老师发的礼品数是全部的 ,下9 一步
9题干“孙老师发的礼品数是其他三位老师发的礼品数总数的”26 下划线接着出文字:孙老师发的礼品数是全部的 ,下一步 李老师发了108件礼品是全部的 。
3596下一步 上面横线上填:1,,,, 14143535 课件出示答案:
35961,,,, 14143535
6共发礼品:108?,630(件) 35
答:四位老师共发了630件礼品。
(4)小结
师:题中所有分率的单位“1”不一样,我们可以运用转化的思
想,以礼品总数为单位“1”。
(五)教学例5
师:这次庆典举办得非常成功,庆典结束后:
例5:崔老师负责嘉宾的接送工作,晚会结束后,他要送一位嘉宾去机场。如果每小时行72千米,则正好可以赶上飞机。为了防止交通堵塞,崔老师每小时行90千米,结果提前了10分钟到达机场,请问会场到机场有多远,
(1)学生读题,分析题意,小组讨论
师:从题目中你们了解了哪些信息,你有什么想法, 生1:我是这样想的,首先是统一单位,速度是每小时几千米,
111所以把10分钟换成时, 时原本可以走72×,12(千666
米),现在每小时行90千米,每小时比原来多行12千米。 师:非常好,接下来呢,
(2)将盈亏问题转化为面积问题
生2:因为“路程=速度×时间”与“长方形面积=长×宽”的形
式是一样的,所以我们可以把这个问题转化成长方形的面
积来求解。
课件出示解析:
(动画分步出示两个长方形;点击下一步出示长方形的面积表示会场到机场的距离)
生:因为长方形的面积表示这里的总路程,所以面积是不变的,
进而图中阴影部分A和B的面积也是相等的。可以得到B的
12长为72×?(90-72)=时。进而得到总路程。 63
师:说的非常好,这里是把行程问题转化成了面积来解答,使题
目更加容易理解。同学们把这道题在书上解答完整。 课件出示答案:
110分钟=小时 6
1272×?(90-72)=(小时) 63
2 ×90=60(千米) 3
答:会场到机场有60千米。
三、课堂小结
师:说一说,这节课你有什么收获,
第二课时
教学过程:
教学路径 学生活动 方案说明 一、课前引入 师:今天我们学习的替换法和化归法的应用只是这两个策略的一
小部分应用,今后我们还会接触到更多的问题需要用到这两
个策略。下面就让我们一起完成拓展问题。 二、解决拓展问题 (一)拓展问题一
1. 庆典晚会采购了一些布置会场用的鲜花。经过了解,买20 盆一串红、20盆菊花、20盆杜鹃花,用了120元;买40盆一串红、 30盆菊花、20盆杜鹃花,用了160元;买50盆一串红、40盆菊花、 20盆杜鹃花,用了190元。那么三种花每盆各多少钱, (1)根据题意写出关系式 师:从题目中你了解到了什么,你能根据条件得到什么, 生:根据条件可以得出下列几个关系式:
20盆一串红,20盆菊花,20盆杜鹃花,120元
40盆一串红,30盆菊花,20盆杜鹃花,160元
50盆一串红,40盆菊花,20盆杜鹃花,190元 师:大家说的非常好,三个未知量三个等式,怎样求出三种花每 盆各多少钱, (2)小组讨论,根据关系式求三种花的价钱 课件出示解析:
等式?,?可得:20盆一串红,10盆菊花,40元?下一步 等式?,?可得:10盆一串红,10盆菊花,30元?下一步
等式?,?可得:10盆一串红,10元,则1盆一串红,1元? 下一步 将?代入?中可得:1盆菊花,2元? 下一步 将??代入?中1盆杜鹃花,3元 答:1盆一串红1元,1盆菊花2元,1盆杜鹃花3元。 (3)方法总结 此题运用了加减法消去未知量: 第一步:利用等式的基本性质,将原方程组中某个未知数的系数 化成相等或相反数的形式; 第二步:再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相 减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程(一定要将方程 的两边都乘以同一个数,切忌只乘以一边,然后若未知数系数 相等则用减法,若未知数系数互为相反数,则用加法); 第三步:解这个一元一次方程,求出未知数的值; 第四步:将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程 中,求出另一个未知数的值;加减消元法 第五步:用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解; 第六步:最后检验求得的结果是否正确 (二)拓展问题二
2.黄老师把一批纪念水杯专门承包给一个人来运送,一共要
运1000个,每一个运费是1元,如果损坏一个不仅没有运费,
还要赔偿10元,最后黄老师给了他890元,则损坏了多少个,
思路:如果一个都没有损坏,那么运费就是1000元,每把1
个替换成损坏的,搬运者就要损失11元,因为一共损失了110
元,所以有10个水杯损坏了。
(三)拓展问题三
3. 欢欢和乐乐两人身上的钱数比为7:3,后来两人都花了14
元钱买了同一本书,这时他们的钱数比为7:1,求欢欢和乐乐原
来各有多少钱,
(1)小组讨论,讨论解决方案
师:读完题后,大家有什么想法,你打算怎样解决问题,
大家小组讨论。
(2)汇报讨论结果
生1:我想设出开始两人的钱数,再根据“后来两人都花了14
元钱买了同一本书,这时他们的钱数比为7:1”列出方程
进行求解。
生2:“欢欢和乐乐两人身上的钱数比为7:3”也就是说开始时乐
3乐的钱数是欢欢钱数的,“后来两人都花了14元钱买7
了同一本书,这时他们的钱数比为7:1”也就是说后来花
1了14元以后,乐乐钱数是欢欢钱数的,设出开始时乐7
乐的钱数,再列出方程。
(3)学生独立完成
课件出示解析一:
欢欢和乐乐两人钱数差不变。
(下一步)
课件出示答案:
7:3=21: 9 ; 7: 1=14: 2
21-14=7(份); 14?7=2(元)
21×2=42(元) ; 9×2=18(元)
答:欢欢原来钱数42元,乐乐原来钱数18元。
课件出示解析二:
设开始两人的钱数分别为7 x元和3 x元,那么花14元后,欢
欢的钱数为: 乐乐的钱数为:
。下一步:横线上分别填(7 x,14)元
(3 x,14)元
课件出示答案:
解:设开始两人的钱数分别为7 x元和3 x元,根据题意列方程:
(7 x,14):(3x,14),7:1
解得 x,6
那么欢欢原来钱数:7×6,42(元)
乐乐原来钱数:3×6,18(元)
答:欢欢原来钱数42元,乐乐原来钱数18元。 方法三:
题干“欢欢和乐乐两人身上的钱数比为7:3”下划线,
3乐乐钱数是欢欢钱数的,下一步: 7
题干“后来两人都花了14元钱买了同一本书,这时他们的钱数
比为7:1”下划线,
1也就是说后来花了14元以后,乐乐钱数是欢欢钱数的。 7
3设:原来欢欢的钱数是x元,那么原来乐乐的钱数为 x元,7那么花14元后,欢欢的钱数为: 乐乐的钱数为:
。下一步:横线上分别填(x,14)元
3( x,14)元 下一步: 7
根据题意列方程:
13(x,14), x,14 77
解得 x,42
3那么乐乐的钱数为×42,18(元) 7
答:欢欢原来钱数42元,乐乐原来钱数18元。 (四)拓展问题四
4. 一辆快车与一辆慢车分别从甲、乙两地同时相向开出,快车经过12小时到达乙地,慢车经过15小时到达甲地,已知平均每小时快车比慢车多行10千米,求甲、乙两地的路程。 (1)学生小组合作,画出图形,将问题转化为长方形的面积来
求解
生:我用横轴代表时间,纵轴代表速度画出图形。 (2)汇报画图步骤和思路
思路:转化成面积如下图:
课件出示答案:
慢车的速度是:
12×10?(15,12)=40(km/h)
甲、乙两地的路程:40×15=600(km)
答:甲、乙两地的路程为600千米。
(五)拓展问题五
5.化归思想在一些重要结论的证明过程中起着非常重要的作用,下面就请你用化归思想证明下面的结论:
右图中,ABCD是任意的梯形,E是梯形腰AB的中点,试说明阴影部分面积是梯形面积的一半。
(1)思路:把较难的问题转化成等高三角形的问题来解答,使
问题变得简单很多。
(2)讲解过程:
课件出示解析:(动画过E点作梯形的高)
点击下一步出示:
阴影部分的面积=梯形面积-空白三角形的面积 点击下一步出示:
梯形面积=(上底+下底)×高?2
空白三角形的面积=上底×高?2?2+下底×高?2?2
=(上底+下底)×高?2?2 师和学生共同探讨其他的解题办法。
如图,过E作EF平行于AD交CD于F,
下一步连接AF
三角形DEF和三角形AEF等底等高,三角形DEF面积,三角形AEF面积下一步
所以三角形EDC面积=四边形AECF的面积 下一步 然后连接AC,我们发现由于E是AB的中点,所以三角形AEC的面积是三角形ABC面积的一半,同样的,三角形AFC面积是三角形ADC面积的一半,所以阴影部分四边形的面积就是梯形面积的一半,最终证明原图中阴影部分面积是梯形面积的一半。
三、课堂小结
师小结:今天我们学习了替换法和化归法,在解题的过程中,其
实我们也能感觉到替换法与化归法有共通之处,都有变
换、转化的意思在里面,希望大家在未来的学习过程中,
要多动脑筋,灵活思考,更加熟练地运用我们学习过的策
略。今天的课就到这里。同学们再见~
(老师可以播放佳一校歌送孩子们出教室)
本讲
教材
民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材
答案:
教材:
例1:大货车500元,小货车300元
例2:微电影130小时,校歌15小时
例3:1元
例4:630件
例5:60千米
拓展问题:
1. 1盆一串红1元,1盆菊花2元,1盆杜鹃花3元。 2. 10个
3. 欢欢原来有42元,乐乐原来有18元。
4. 600千米
5. 略