高中数学专题复习：三角函数

高中数学专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 复习：三角函数 高一数学同步练习 必修四 第一章三角函数(一) 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 A.基础梳理 1(任意角 (1)角的概念的推广 ?按旋转方向不同分为正角、负角、零角( ?按终边位置不同分为象限角和轴线角( (2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α，k?360?(k?Z)( (3)弧度制 ?1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角( ?弧度与角度的换算:360?,2π弧度;180?,π弧度( 112?弧长公式:l,. |α|r， 扇形面积公式:S,lr,|α|r扇形22 2(任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r,0)，那么角α xyy，cos α,，tan α,，它们都是以角为自变量，以比的正弦、余弦、正切分别是:sin α,rrx 值为函数值的函数( 3(三角函数线 三 角 函 数 线 有向线段MP为正弦线 有向线段AT为正切线 有向线段OM为余弦线 B.方法与要点 1、一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦( (2)终边落在x轴上的角的集合{β|β,kπ～k?Z},终边落在y轴上的角的集合 ,,,π,kπ,,,,,β| β,，kπ～k?Z,终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为ββ,～k?Z. ,,,22,,2、两个技巧 (1)在利用三角函数定义时～点P可取终边上任一点～如有可能则取终边与单位圆的交点～|OP|,r一定是正值( (2)在解简单的三角不等式时～利用单位圆及三角函数线是一个小技巧( 3、三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90?的角是概念不同的三类角～第一类是象限角～第二类、第三类是区间角( (2)角度制与弧度制可利用180?,π rad进行互化～在同一个式子中～采用的度量 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 必须一致～不可混用( (3)注意熟记0?，360?间特殊角的弧度表示～以方便解题( C.双基自测 9π1((人教A版教材习题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 4 ( )( 95πA(2kπ，45?(k?Z) B(k?360?，π(k?Z) C(k?360?,315?(k?Z) D(kπ，44(k?Z) 2(若α,k?180?，45?(k?Z)，则α在( )( A(第一或第三象限 B(第一或第二象限 C(第二或第四象限 D(第三或第四象限 3(若sin α,0且tan α,0，则α是( )( A(第一象限角 B(第二象限角 C(第三象限角 D(第四象限角 (已知角α的终边过点(,1,2)，则cos α的值为( )( 4 525251A(, B. C(, D(, 5552 5((2011?江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上 25一点，且sin θ,,，则y,________. 5 D.考点解析 考点一 角的集合表示及象限角的判定 【例1】?(1)写出终边在直线y,3x上的角的集合; 6π(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在 7 sin α，3cos α2【训练2,2】 已知,5.则sinα,sin αcos α,________. 3cos α,sin α 题型3:sin α，cos α～sin αcos α～sin α,cos α三个式子知一求二 10,,,,sin,,cos,tan,sin，cos,,,【例2,3】已知，且 ，求(1);(2) 5 333322sin,cos, (3)(利用乘法公式: a,b,(a,b)(a，ab，b) (1)对于sin α，cos α～sin αcos α～sin α,cos α这三个式子～已知其中一个式子的2值～其余二式的值可求(,2,转化的公式为(sin α?cos α),1?2sin αcos α. 1,sin,，cos,sin,,cos,sincos,0【训练2,3】已知，求(1);(2) ,,,,,,,84 22(3); sin,,cos, 考点三 三角形中的诱导公式 【例3】?在?ABC中，sin A，cos A,2，3cos A,,2cos(π,B)，求?ABC的三个内角( 在?ABC中常用到以下结论:sin(A，B),sin C～cos(A，B),,cos C～tan(A，B) ABCABC,,,,,,tan C～sin，,cos～cos，,sin. ,,,,222222 【训练3】 若将例3的已知条件“sin A，cos A,2”改为“sin(2π,A),,2sin(π,B)”其余条件不变，求?ABC的三个内角( 自我检测题 一、选择题 1、集合{α|kπ+?α?kπ+，k?Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) A、 B、 C、 D 2、已知角a的终边经过点P(,4m，3m)(m?0)，则2sina+cosa的值是( ) A、1或,1 B、或, C、1或, D、,1或 3、(2000•天津)已知sinα,sinβ，那么下列命题成立的是( ) A、若α、β是第一象限角，则cosα,cosβ B、若α、β是第二象限角，则tanα,tanβ C、若α、β是第三象限角，则cosα,cosβ D、若α、β是第四象限角，则tanα,tanβ 4、若|sinθ|=，,θ,5π，则tanθ等于( ) A、 B、, C、 D、 ,,5.若<θ<,则下列不等式成立的是( ) 42 (A)sinθ>cosθ>tanθ (B)cosθ>tanθ>sinθ (C)sinθ>tanθ>cosθ (D)tanθ>sinθ>cosθ 6、设角的值等于 ( ) B、, C、 D、, A、 7、已知cos(+α)=,，则sin(,α)=( ) A、, B、 C、, D、 1,3 8、已知sinα，cosα,，且0,α,π，则tanα的值为 ( ) 2 3,( ,( ,3 33,( ,( 3,3 9、在?ABC中，?sin(A+B)+sinC;?cos(B+C)+cosA;?tantan;?， 其中恒为定值的是( ) A、?? B、?? C、?? D、?? 1，2sin5,ccos5，1,2sin5cos510、化简得( ) 2sin52cos5A、 B、 ,2sin5,2cos5C、 D、 二、填空题 11、若扇形的周长是16cm，圆心角是2弧度，则扇形的面积是 ___________( 12、函数的值域是 __________ 13、已知tanθ=2，则= ________ 14、已知，则= _________( 15、已知f(x)=，则f(1?)+f(2?)+…+f(58?)+f(59?)= _____( 三、解答题 16、证明((注:其中) 17、已知α是第二象限角，且，( (1)求角α的正弦值、余弦值和正切值; (2)在图中作出角α的三角函数线，并用有向线段表示sinα，cosα和tanα( 1,,,,18、已知，为第三象限角，求的值 ,cos，，75，,cos，，，，,255,,，sin435，,3 高一数学限时训练---任意角的三角函数(4) 一、选择题 1(以下四个命题中，正确的是( ) A(在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 ,, B(,,,,,k,，，k?Z,?,,,,,-k,，，k?Z, 66 C(若,是第二象限的角，则sin2,,0 3 D(第四象限的角可表示为,,,2k,，,,,,2k,，k?Z, 2 2(若角,的终边过点(-3，-2)，则( ) A(sin, tan,,0 B(cos, tan,,0 C(sin, cos,,0 D(sin, cot,,0 3(角,的终边上有一点P(a，a)，a?R，且a?0，则sin,的值是( ) 222 A( B(- C(? D(1 222 2 54 4.α是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且cosα,x，则sinα的值为( ) 106210 4444A( B( C( D(, 5.使lg(cosθ?tanθ)有意义的角θ是( ) A(第一象限角 B(第二象限角 C(第一或第二象限角 D(第一、二象限角或终边在y轴上 ,,, 2226.设角α是第二象限角，且|cos|,,cos，则角是( ) A(第一象限角 B(第二象限角 C(第三象限角 D(第四象限角 二、填空题 1(已知角,的终边落在直线y,3x上，则sin,,________( 133 2(已知P(-，y)为角,的终边上一点，且sin,,，那么y的值等于________( 13 3 3(已知锐角,终边上一点P(1，)，则,的弧度数为________( ,,974((1)sintan_________ 43 三、解答题 1(已知角,的终边过P(-3 ，4)，求,的六种三角函数值 x2(已知角,的终边经过点P(x，-)(x>0)(且cos,,，求sin,、cos,、tan,的值( 32 答案: 一，1.c 2.c 3.A 4.A 5。C 6.C 6310,1二. 1. 2. 3. 4. ,23102 343554sina,cosa,,tana,,cota,,seca,,csca,三，1. ，， ， ， 553434 31 2. sin,,,,cos,,,tan,,,322 专题:三角函数 1 知识填空 1(任意角 (1)角的概念的推广 ?按旋转方向不同分为正角、负角、零角( ?按终边位置不同分为象限角和轴线角( (2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α，k?360?(k?Z)( (3)弧度制 ?1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角( ?弧度与角度的换算:360?,2π弧度;180?,π弧度( 112?弧长公式:l,|α|r， 扇形面积公式:S,lr,|α|r. 扇形22 2(任意角的三角函数定义 y)，它与原点的距离为r(r,0)，那么角α设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x， yxy的正弦、余弦、正切分别是:sin α,，cos α,，tan α,，它们都是以角为自变量，以比rrx值为函数值的函数( 3(三角函数线 三 角 函 数 线 有向线段MP为正弦线 有向线段AT为正切线 有向线段OM为余弦线 1、 特殊角的三角函数值 ,,,,,3 ,2 ,α 0 64322 sinα cosα tanα 2、 诱导公式 sin(),_________,cos(),_________,tan(),__________ ,,,,,,,,, sin(),_________,cos(),_________,,tan(),_________, ,,，,,，,,， sin(),_________ ,cos(),________ ,tan(),________ ,,,,,, 2,,,2,,,2,,,sin(),________ ,cos(),________ ,tan(),________ 2k,,，2k,,，2k,,，sin(),________ ,cos(),________ ,tan(),________ ， ()kZ, ,,,,sin(),________ ,cos(),________ sin(),________ ,cos(),,，，,,,,2222,________ 3、 两角和与差的三角公式 sin()_____________________,,,,cos()___________________,,,, sin2_______________,,; tan()__________________,,,, ; cos2___________________________________,,,,tan2____________,,4、 经常使用的公式 22?升(降)幂公式:、、cos_________,,sin____________,, sincos_________,,,; ab,?辅助角公式:absincos____________,,，,(由具体的值确定); , ?正切公式的变形:. tantan____________________,,，, 三角函数的图像与性质 A.基础梳理 1(“五点法”描图 (1)y,sin x的图象在上的五个关键点的坐标为 ,3,(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)( (,1),(,1)22 (2)y,cos x的图象在上的五个关键点的坐标为 ,3,(0,1)，，(π，,1)，，(2π，1)( (,0)(,0)22 2(三角函数的图象和性质 函数性质 y=sin x y=cos x y=tan x π定义域 R R {x|xkπ+，kZ} ,,2 图象 值域 R 无对称轴 对称轴:x=kπ(k?Z) π对称轴:x=kπ，(k?Z) 2对称性 ,k,对称中心:(,0)()kkZ，, 对称中心:(,0)()kZ, ,对称中心:(kπ，0)(k?Z) 22 周期 2π 2π π 单调增区间: ,,[2,2]()kkkZ,，,,,单调增区间: 单调增区间: 22(k?Z); ,,单调性 单调减区间: (,)()kkkZ,，,单调减区间: ,,,,322，，,[2,2]()kkkZ,,(k?Z) 22 奇偶性 奇 偶 奇 B.方法与要点 1、两条性质 (1)周期性 2π函数y,Asin(ωx，φ)和y,Acos(ωx，φ)的最小正周期为～y,tan(ωx，φ)的最小正周期为|ω| π. |ω| (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y,Asin ωx或y,Atan ωx～而偶函数一般可化为y,Acos ωx，b的形式( 2、三种方法 的方法: 求三角函数值域(最值) (1)利用sin x、cos x的有界性, (2)形式复杂的函数应化为y,Asin(ωx，φ)，k的形式逐步分析ωx，φ的范围～根据正弦函数单调性写出函数的值域, (3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体～可化为求函数在区间上的值域(最值)问题( 3、函数的性质 yAx,，sin(),, 1f,1,,x，、几个物理量:A:振幅; 频率(周期的倒数);:相位;:初相; ,T Y2、函数表达式的确定:A由最值确定;由周期确定;由图象,yAx,，sin(),,,2 3,2,||),上的特殊点确定，如，的图象如图所示，fxAxA()sin()(0,0,，,,,,,,92X15,,，,_____(答:fxx()2sin()); 则fx()-22323题图3、函数图象的画法:?“五点法”――设，令,0，yAx,，n()is,,Xx,，,,X,,3,,,2求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象;?图象变换法:x,,22 这是作函数简图常用方法。 4、的图象变换出的图象两个途径 yx,sinyAx,，sin(),, 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y,sinx的图象向左(,0)或向右(,0,平移,,个单位，再将图象上各点的横坐,,, 1标变为原来的倍(ω,0)，便得y,sin(ωx，)的图象，最后图象上各点的横坐标变为原来,, 的倍(ω,0)，便得y,sin(ωx，)的图象。 AA, 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 1先将y,sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω,0)，再沿x轴向左(,0)或向右(,,, ,||,0,平移个单位，便得y,sin(ωx，)的图象，最后图象上各点的横坐标变为原来的A,, 倍(ω,0)，便得y,sin(ωx，)的图象。 A, 2 典型例题 考点一:三角函数的定义 例1、若角α的终边经过点P(1,-2),则tan 2α的值为 . 2m{变式训练}已知角的终边上一点，且，求的值。 ,sin,,cos,sin,,Pm(3,),4 考点二:象限角 例2(若，则在( ) sincos0,,,, A(第一、二象限 B(第一、三象限 C(第一、四象限 D(第二、四 象限 【变式训练1】若A、B是锐角?ABC的两个内角，则点在P(cossin,sincos)BABA,,( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ,【变式训练2】已知“是第三象限角，则是第__________象限角 ,3 考点三:同角的三角函数关系 1、 弦切互化 sincos2,,,,,,,,例3:(1)求值; (2)已知，求1,tan(),,sin50(13tan10)，,1cos23, 的值; tan(2),,, 2、 巧变“1” 122tan,,2例4:已知，求(?);(?)sinsinos2cos,,,,,,，c2,,,，2sincoscos的值. sincos sincosxxxx,、考点四:“知一求二” 2sincosAA，,sin2A,A,0,,例5:(1)已知，，则___________ ，，3 1,,,,,，,(0,),sincos(2)若，则=___________ tan,2 sincosxxt,,sincosxx,(3)若 ，则 __， 考点五:公式的双向应用 1例6:(1)下列各式中，值为的是 ( ) 2 ,,130，costan.225,,22,,cossin,sincos1515 A、 B、 C、 D、 ; 2,12121225,tan.2 3 (2) tan20?+tan40?+tan20?tan40?= 3(3)已知，那么的值为____ ; ,,,,,,,,,,sin()coscos()sincos2,5 13(4)的值是 ; ,,,sin10sin80 11cos，cos,(5)若sin，sin,,,，,,，则 =____ ，，cos,,,23 考点五:三角函数求值 1、给值求值:给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在 于“巧变角”，如等，把所求角用含已知角的式,,,,,,,,,,，,,，，,(),()()2 子表示，求解时要注意角的范围的讨论; ,,3,,335,例7:已知,,, ，求的,,0,,,,，,cos()sin()sin(),,，,,,,44445413值. 2、给值求角:转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围求得 角. ,5310例8:(1)已知且,,则 ， 、(，),,,,,,sincos,,，,,,,2510 11,,,,tantan(2)已知，，已知均为锐角，则 ,,,,,，,273 3、化简求值 1,sinx,cosx,,x,0,sinx，cosx,例9:已知. (?)求的值;(?)求25 2sin2x，2sinx的值. 1,tanx 考点六:三角函数的图象和性质 1、 三角函数的图象 xxy,，3sincos12xR,例10: 已知函数.用“五点法”画出它的图象;求它，，，，，，22 3yx,sin的振幅、周期和初相;说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到. ，， ππ,,，，例11:(海南)函数在区的简图是 yx,,sin2,，π,,,,23 y，，,, y 1 1, ,,3 ,,,x x ,O ,, ,,O 6,326 2,1 ,1 B. A. y【变式训练1】函数,)的 yx,，sin(),,(,0xR,,,02,,,, 1部分图象如图，则 ,,,,,,,,,, ,,,,A.B.2436 O x3 15,,,,,,,,,, ,,,,C.D.4444 y() 【变式训练2】已知函数yAx,，sin(),,A,,0,||,,的一段图象如下图所示，求该函数的解析式( 2 2 , 38 4Ox , ,,33 ,2 x,y,2sinx,x,R例12:为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所y,2sin(，),x,R36 有的点( ) ,1向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) A.63 ,1向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) B.63 ,向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变) C.36 ,向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变) D.36 ,y,2sin(2x，)【变式】要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有y,2cosx4的点的( ) ,1横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度 A.28 ,1横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 B.24 ,横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 C.24 ,横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 D.282、 三角函数的性质 22例13:已知函数，求(1)最小正周期;(2)fxxxxxx()sin2sincos3cos,，，,，R函数的最大值及取得最大值的自变量的集合;(3)函数的单调增区间;(4)xfx()fx() ,,x,,[,]对称轴，对称中心;(5)使不等式f(x)?3成立的x的取值集(6)当时，求fx()44的最域，单调递增区间。 3.当堂检测 2332:,,1、的值为( ) (A) (B) (C) (D) sin5852222 ,2y,2cos(x,),12.函数是 4 A(最小正周期为,,的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 ,,C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 22 4,,,yx,，3cos2,3.如果函数的图像关于点中心对称，那么||,的最小值为，0，，,,3,, ( ) ,,,,(A) (B) (C) (D) 6432 a4.已知是实数，则函数的图象不可能是 ( ) fxaax()1sin,，((( ,1cos2,，,2()kkZ,,5.“”是“”的 ( ) ,,26 A(充分而不必要条件 B(必要而不充分条 C(充分必要条件 D(既不充分也不 必要条件 ,6.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析yx,sin24 ,2y,1，sin(2x，)式是( ).A. B. C. yx,cos2yx,2cos4 2 D.yx,2sin 7.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的y,2yfx,()fxxx()3sincos(0),，,,,, 距离等于,，则的单调递增区间是 fx() 511,,,,5(A) (B) ，，,[,],kkkZ,，,,,[,],kkkZ,,12121212 2,,,,(C) (D) [,],kkkZ,，,，，,[,],kkkZ,,,,3663 7,,,8.已知函数的图像如图所示，则 。 fxx()2sin(),，,,,f,,12,, ,,fxfxx()'()cossin,,，网 9.已知函数则的值为 . f()44 fx()fx()10.已知函数.(?)求的最小正周期;(?)求在区间fxxx()2sin()cos,,, ,,，，上的最大值和最小值. ,,,,62，， 211、求函数y,lg sin 2x，9,x的定义域( 212、求函数y,cosx，sin x的最大值与最小值( (||)x,4 ,,1，sin2,cos211(化简( 1，sin2,，cos2, ,,,1,2sin,cos1,tan12.求证:( ,221，tan,cos,sina, 4.高考专题: 3,cos2,,,,，,1、已知为第二象限角，sincos，则( ) 35555--(A) (B) (C) (D) 3993 5,2,22cos2、已知sin()=，则()的值等于( )(A) (B) (c) ，,,,,333443 5,(D) 3 ,3.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图fxx,,cos0,,yfx,，，，，，，3 1像与原图像重合，则的最小值等于( ) (A) (B) 3 (C) 6 (D) 9 ,3 5,,,tan2,,4. 已知，，则 . ,,sin,,,,,,52,, yxxx,,,,sin3cos02,5、当函数取得最大值时，___________。 x,，， ,,ABC6.的内角的对边分别为。已知，求. ABC、、Cabc,,ACacb,,，,90,2 ,sincos,,,(0,)7.已知向量与互相垂直，其中((1)求和,a,(sin,,,2)b,(1,cos,)2 10,的值;(2)若，求的值( ,,,,sin(),0,,,cos,102 2,22、设函数的最小正周期为((?)求的8,fxxxx()(sincos)2cos(0),，，,,,,,3 ,最小正周期((?)若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得ygx,()yfx,()2到，求的单调增区间( ygx,() 《三角函数》复习 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 【知识网络】 应用 弧长公式 同角三角函数诱导 计算与化简 应用 的基本关系式 公式 证明恒等式 应用 三角函数的 已知三角函角度制与 应用 任意角的 任意角的概念 图像和性质 数值求角 弧度制 三角函数 图像和性质 应用 和角公式 倍角公式 应用 学法: 1(注重化归思想的运用(如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等 2(注意数形结合思想的运用(如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案( 第1课 三角函数的概念 考试注意: 理解任意角的概念、弧度的意义( 能正确地进行弧度与角度的换算( 掌握终边相同角的表示方法( 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义(了解余切、正割、余割的定义( 掌握三角函数的符号法则( 知识典例: 1(角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成 ( 2(已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边 ( ) A(在x轴上 B(在y轴上 C(在直线y=x上 D(在直线y=,x上 ( 3(已知角α的终边过点p(,5，12)，则cosα} ，tanα= ( tan(,3)cot54( 的符号为 ( cos8 5(若cosθtanθ,0，则θ是 ( ) A(第一象限角 B(第二象限角 C(第一、二象限角 D(第二、三象限角 【讲练平台】 2 例1 已知角的终边上一点P(, 3 ，m)，且sinθ= m，求cosθ与tanθ的值( 4 分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程( mm2解 由题意知r= 3，m ，则sinθ= = ( 2r 3，m 2 m2 又?sinθ= m， ? = m( ?m=0，m=?5 ( 244 3，m 当m=0时，cosθ= ,1 ， tanθ=0 ; 6 15 当m= 5 时，cosθ= , ， tanθ= , ; 43 6 15 当m= , 5 时，cosθ= , ，tanθ= ( 43 点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决( 例2 已知集合E=,θ,cosθ,sinθ，0?θ?2π}，F=,θ,tanθ,sinθ}，求集合E?F( 分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之( π5ππ3π解 E=,θ, ,θ,}， F =,θ, ,θ,π，或,θ,2π}， 4422 π?E?F=,θ,,θ,π}( 2 θθθ例3 设θ是第二象限角，且满足,sin|= ,sin ，是哪个象限的角? 222 π3π解 ?θ是第二象限角， ?2kπ+ ,θ,2kπ+ ，k?Z( 22 πθ3π?kπ+ ,,kπ+ ，k?Z ( 424 θ?是第一象限或第三象限角( ? 2 θθθθ又?,sin|= ,sin ， ?sin ,0. ? 是第三、第四象限的角( ? 2222 θ由?、?知， 是第三象限角( 2 θ点评 已知θ所在的象限，求 或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法2 来表示，否则易出错( 【知能集成】 注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等;已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法;注意运用三角函数线解决有关三角不等式( 【训练反馈】 α1( 已知α是钝角，那么 是 ( ) 2 A(第一象限角 B(第二象限角 C(第一与第二象限角 D(不小于直角的正角 2( 角α的终边过点P(,4k，3k)(k,0}，则cosα的值是 ( ) 3 434A( B( C(, D(, 5555 3(已知点P(sinα,cosα，tanα)在第一象限，则在,0，2π,内，α的取值范围是 ( ) π3π5πππ5πA(( ， )?(π， ) B(( ， )?(π， ) 244424 π3π5π3πππ3πC(( ， )?(，) D(( ， )?( ，π) 2442424 344(若sinx= , ，cosx = ，则角2x的终边位置在 ( ) 55 A(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 2π5(若4π,α,6π，且α与, 终边相同，则α= ( 3 6( 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限( 7(已知,tanx,=,tanx，则角x的集合为 ( 8(如果θ是第三象限角，则cos(sinθ)?sin(sinθ)的符号为什么, 9(已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积( 第2课 同角三角函数的关系及诱导公式 【考点指津】 sinα22掌握同角三角函数的基本关系式:sin α+cosα=1， =tanα，tanαcotα=1， cosα 掌握正弦、余弦的诱导公式(能运用化归思想(即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题)解题 ( 【知识在线】 2221(sin150?+sin135?+2sin210?+cos225?的值是 ( ) 13119A( B( C( D( 4444 32(已知sin(π+α)=,，则 ( ) 5 4343 B(tanα= C(cosα= , D(sin(π,α)= A(cosα= 5455 2cosα4sinα,3(已tanα=3， 的值为 ( 5cosα，3sinα 4(化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ( 5445(已知θ是第三象限角，且sinθ+cosθ= ，那么sin2θ等于 ( ) 9 22 22 22A( B(, C( D(, 3333【讲练平台】 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) 例1 化简 ( cos(π-α)tan(3π-α) 分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化( (-sinα)tanα,-cot(α+π) ,(-sinα)tanα(-cotα) 解 原式= = (-cosα)tan(π-α) (-cosα)(-tanα) cosαsinα? sinα= =1 ( cosα 点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法( ππ1 例2 若sinθcosθ= ，θ?( ，)，求cosθ,sinθ的值( 842 分析 已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将cosθ,sinθ进行平方( 13222 解 (cosθ,sinθ)=cosθ+sinθ,2sinθcosθ=1, = ( 44 ππ?θ?( ，)，? cosθ,sinθ( 42 3 ?cosθ,sinθ= , ( 2 变式1 条件同例， 求cosθ+sinθ的值( 3 变式2 已知cosθ,sinθ= , ， 求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值( 2 点评 sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ,sinθ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二( 2 例3 已知tanθ=3(求cosθ+sinθcosθ的值( 2 分析 因为cosθ+sinθcosθ是关于sinθ、cosθ的二次齐次式，所以可转化成tanθ的式子( 2θ+sinθcosθcos1+tanθ22 解 原式=cosθ+sinθcosθ= = = ( 222 cosθ+sinθ 1+tanθ5 点评 1(关于cosθ、sinθ的齐次式可转化成tanθ的式子( 222(注意1的作用:1=sin θ+cosθ等( 【知能集成】 1(在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数( 222(注意1的作用:如1=sin θ+cosθ( 3(要注意观察式子特征，关于sinθ、cosθ的齐次式可转化成关于tanθ的式子( 4(运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题 ( 【训练反馈】 1(sin600?的值是 ( ) 113 3 A( B(, C( D(, 2222 ππ2( sin(+α)sin(,α)的化简结果为 ( ) 44 11A(cos2α B(cos2α C(sin2α D( sin2α 22 13(已知sinx+cosx=，x?,0，π,，则tanx的值是 ( ) 5 34434A(, B(, C(? D(,或, 43343 114(已知tanα=,，则 = ( 23 2sinαcosα+cosα 1,2sin10?cos10? 5( 的值为 ( 2cos10?,1,cos170? 1+2sinαcosα1+ tanα6(证明 =( 22 cosα,sinα 1,tanα 2sinθ+cosθ7(已知=,5，求3cos2θ+4sin2θ的值( sinθ,3cosθ 8(已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ，cosα,cosγ=cosβ，求α,β的值( 第3课 两角和与两角差的三角函数(一) 【考点指津】 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想(将不同角化成同角等)解题( 【知识在线】 1(cos105?的值为 ( ) 6 ，2 6 ,2 2 ,6 ,6 ,2 A( B( C( D( 4444 π2(对于任何α、β?(0，)，sin(α+β)与sinα+sinβ的大小关系是 ( ) 2 A(sin(α+β),sinα+sinβ B(sin(α+β),sinα+sinβ C(sin(α+β)=sinα+sinβ D(要以α、β的具体值而定 3π3(已知π,θ,，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于 ( ) 2 22A( a+1 B(, a+1 C( a+1 D(?a+1 114(已知tanα=，tanβ=，则cot(α+2β)= ( 33 15(已知tanx=，则cos2x= ( 2 【讲练平台】 11 例1 已知sinα,sinβ=, ，cosα,cosβ=，求cos(α,β)的值 ( 32 分析 由于cos(α,β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方( 11 解 ?sinα,sinβ=,， ? cosα,cosβ= ， ? 32 1322? ，? ，得2,2cos(α,β)= ( 36 72?cos(α,β)= ( 59 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异( 2cos10?-sin20? 例2 求 的值 ( cos20? 分析 式中含有两个角，故需先化简(注意到10?=30?,20?，由于30?的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角( 解 ?10?=30?,20?， 2cos(30?-20?)-sin20??原式= cos20? 2(cos30?cos20?+sin30?sin20?)-sin20?3 cos30?= = =3 ( cos20? cos20? 点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法( 例3 已知:sin(α+β)=,2sinβ(求证:tanα=3tan(α+β)( 分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角( 解 ?2α+β=(α+β)+α，β=(α+β),α， ?sin,(α+β)+α,=,2sin,(α+β),α,( ?sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=,2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα( 若cos(α+β)?0 ，cosα?0，则3tan(α+β)=tanα( 点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体 【知能集成】 审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系;整体思想是三角变换中常用的思想( 【训练反馈】 π341(已知0,α,,β,π，sinα=，cos(α+β)=,，则sinβ等于 ( ) 255 242424A(0 B(0或 C( D(0或, 252525 sin7?+cos15?sin8?2( 的值等于 ( ) cos7?,sin15?sin8? 2,3 2+3 A(2+3 B( C(2,3 D( 223( ?ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则?C的大小为 ( ) π5ππ5ππ2πA( B( C( 或 D( 或 666633 π14(若α是锐角，且sin(α,)= ，则cosα的值是 ( 63 π2π3π5(coscoscos = ( 777 116(已知tanθ=，tanφ=，且θ、φ都是锐角(求证:θ+φ=45?( 23 π3π447(已知cos(α,β)=,，cos(α+β)= ，且(α,β)?(，π)，α+β?(，25522 π)，求cos2α、cos2β的值( tanα118( 已知sin(α+β)= ，且sin(π+α,β)= ，求( 23tanβ 第4课 两角和与两角差的三角函数(二) 【考点指津】 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式;能灵活运用和角、差角、倍角公式解题( 【知识在线】 求下列各式的值 1(cos200?cos80?+cos110?cos10?= ( 12((cos15?+3 sin15?)= ( 2 23(化简1+2cosθ,cos2θ= ( 4(cos(20?+x)cos(25?,x),cos(70?,x)sin(25?,x)= ( 115(, = ( tanθ，tanθ1,1 【讲练平台】 例1 求下列各式的值 (1)tan10?，tan50?+3 tan10?tan50?; (3 tan12?-3)csc12?(2) ( 2 4cos 12?-2 (1)解 原式=tan(10?+50?)(1,tan10?tan50?)+3 tan10?tan50?=3 ( (2)分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦( 33sin12?1,(3 ?,3)cos12? sin12?cos12:sin12:解 原式= = 2 cos24?2cos24: 1323(sin12:,cos12:)3sin12:,3cos12:22,= 12sin12:cos12:cos24:sin48:2 43sin(12:,60:),,43.= sin48: 点评 (1)要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)(1, 22a，btanAtanB)，asinx+bsinx=sin(x+φ)的运用;(2)在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法( 1+sin4θ-cos4θ1+sin4θ+cos4θ例2 求证 = ( 2 12 tanθ-tanθ 分析 三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边;也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子;还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式( 1+sin4θ-cos4θ2tanθ由欲证的等式可知，可先证等式 = ，此式的右边等于tan22 1+sin4θ+cos4θ 1-tanθ θ，而此式的左边出现了“1,cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证( 证略 22 点评 注意倍角公式cos2α=2cosα,1，cos2α=1,2sinα的变形公式:?升幂公式 1-cos2α1，cos2α22221+cos2α=2cos α，1,cos2α=2sinα，?降幂公式sinα= ，cosα= 22的运用;三角恒等式证明的方法:从一边推得另一边;左右归一，先证其等价等于等式;分析法等( π17π7πsin2x，sin2xtanx3 例3 已知cos(+x)= ，,x, ，求的值( 45124 1-tanx πtan，tanxsin2x(1，tanx)π4解 原式= =sin2x? =sin2xtan(+x) 1-tanxπ4 1-tantanx4 πππ22(x+),tan(x+)= ,,2cos(x+ ),1,tan(+x) = ,cos,444 17π7π5ππ?,x, ， ? ,x+,2π( 12434 ππ44?sin(+x) = , ，?tan(+x )=, ( 4543 28?原式 = , ( 75 π 点评 (1)注意两角和公式的逆用;(2)注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan 4 π等;(3)注意化同角，将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+ ( 4 【知能集成】 在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式: tanA+tanB=tan(A+B),1,tanAtanB,; 22a，basinx+bcosx=sin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用( 【训练反馈】 1(cos75?+cos15?的值等于 ( ) 6 6 2 2 A( B , C( , D( 2222 2 2 22(a=(sin17?+cos17?)，b=2cos13?,1，c= ，则 ( ) 22 A(c,a,b B( b,c,a C( a,b,c D( b,a,c 1+sin2θ-cos2θ3(化简= ( 1+sin2θ+cos2θ 4(化简sin(2α+β),2sinαcos(α+β)= ( ACAC5(在?ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan+tan+3 tantan的值为 ( 2222 226(化简sinA+sinB+2sinAsinBcos(A+B)( 7 化简sin50?(1+3 tan10?)( 8 已知sin(α+β)=1，求证:sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0( 第5课 三角函数的图象与性质(一) 【考点指津】 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质( 【知识在线】 1(若3 +2cosx,0，则x的范围是 ( 2(下列各区间，使函数y=sin(x+π)的单调递增的区间是 ( ) ππππA([，π] B( ,0，, C( ,,π，0, D( [，] 2442 π(下列函数中，周期为的偶函数是 ( ) 3222A(y=sin4x B( y=cos2x,sin2x C( y=tan2x D( y=cos2x 4(判断下列函数的奇偶性 2(1)y=xsinx+xcos2x是 函数; (2)y=,sin2x,,xcotx是 函数; 7π(3)y=sin(+3x)是 函数( 2 5(函数f(x)=cos(3x+φ)是奇函数，则φ的值为 ( 【讲练平台】 lg(1,tanx) 例1 (1)函数y=的定义域为 1,2sinx (2)若α、β为锐角，sinα,cosβ，则α、β满足 (C) ππA(α,β B(α,β C(α+β, D( α+β, 22 1-tanx,0,,分析 (1)函数的定义域为 (*) 的解集，由于y=tanx的最小正,1-2sinx,0., 周期为π，y=sinx的最小正周期为2π， 所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx π3π和y=sinx的图象先求出(,， )上满足(*)的x的范围，再据周期性易得所求定义域22 ππ5π5π为{x,2kπ,,x,2kπ+ ，或2kπ+ , x,2kπ+ ，k?Z} ( 2664 π 分析(2)sinα、cosβ不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cosβ转化成sin( 2 π,β)，运用y=sinx在,0，,的单调性，便知答案为C( 2 点评 (1)讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广;(2)解三角不等式，要注意三角函数图象的运用;(3)注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小( 例2 判断下列函数的奇偶性: 1，sinx,cosxsinx,cosx(1)y= ; (2)y=. 1，cosx1,sinx，cosx 分析 讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(,x) 是否等于f(x)或,f(x) ( x2 解 (1)定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos ，所以分2母为偶函数，所以原函数是奇函数( ππ2)定义域不关于原点对称(如x=,，但x?)，故不是奇函数，也不是偶函数( (22 点评 将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性( 例3 求下列函数的最小正周期: ,x，x，sin2sin(2)ππ3.(1)y=sin(2x,)sin(2x+ ) ;(2)y= 63,x，x，cos2cos(2)3 分析 对形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简( ππππ1 解 (1)y=sin(2x,)sin(2x+ ,)= sin(4x,)， 62623 2ππ所以最小正周期为 = ( 42 1333sin2x，(sin2x)，，(cos2x)，sin2x，cos2x2222(2)y== 1333cos2x，(cos2x)，,(sin2x)，cos2x,sin2x2222 3tan2x，3tan2x，1,3,,tan(2x，). = 63,tan2x31,tan2x3 π?是小正周期为( 2 点评 求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin(ωx+φ)，k或y=Acos(ωx+φ) ，k或y=Atan(ωx+φ) ，k的形式(其中A、ω、φ、k 为常数，ω?0)( 532 例4 已知函数f(x)=5sinxcosx,5cosx+ (x?R) ( 32 (1)求f(x)的单调增区间; (2)求f(x)图象的对称轴、对称中心( 分析 函数表达式较复杂，需先化简( π5351+cos2x3解 f(x)= sin2x,5?， =5sin(2x,)( 2232 ππππ5π(1)由2kπ,?2x,?2kπ+，得,kπ, ，kπ+,(k?Z)为f(x)的单2321212 调增区间( ππ5π5πkk(2)令2x, =kπ+，得x= π+ (k?Z)，则x= π+ (k?Z)为函数32212212 ππky=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令2x, =kπ，得x=π+ (k?Z)，? y=f(x)326 πk图象的对称中心为点(π+，0)(k?Z)( 26 点评 研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标;讨论y=Asin(ωx+φ)(ω,0)的单调区间，应将ωx+φ看成一个整体，设为t，从而归结为讨论y=Asint的单调性( 【知能集成】 讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题(讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用(注意函数性质在解题中的运用:若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广;若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决( 【训练反馈】 1(函数y=lg(2cosx,1)的定义域为 ( ) ππππA({x,,,x,} B({x,,,x,, 3366 ππππC({x,2kπ,,x,2kπ+，k?Z} D({x,2kπ,,x,2kπ+，k?Z} 3366 π2(如果α、β?(，π)，且tanα,cotβ，那么必有 ( ) 2 3π3πA(α,β B( β,α C( α+β, D( α+β, 223(若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 ( ) A(sinx B( cosx C( sin2x D( cos2x 4(下列命题中正确的是 ( ) A(若α、β是第一象限角，且α,β，且sinα,sinβ ππB(函数y=sinxcotx的单调递增区间是(2kπ,，2kπ+)，k?Z 22 1,cos2xC(函数y= 的最小正周期是2π sin2x kππD(函数y=sinxcos2φ,cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则φ=，，k?Z 24 xx5(函数y=sin+cos在(,2π，2π)内的递增区间是 ( 22 666(y=sinx+cosx的周期为 ( 7(比较下列函数值的大小: (1)sin2，sin3，sin4; ππ222(2)cosθ，sinθ，tanθ(,θ,)( 42 πk8(设f(x)=sin(x+) (k?0) ( 53 (1)写出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T; (2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时， 函数f(x)至少有一个M与m( 第6课 三角函数的图象与性质(二) 【考点指津】 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A、ω、φ的物理意义(掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换(会根据图象提供的信息，求出函数解析式( 【知识在线】 1(将y=cosx的图象作关于x轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是 ( ) A(y=cosx+1 B(y=cosx,1 C(y=,cosx+1 D(y=,cosx,1 2(函数f(x)=sin3x图象的对称中心的坐标一定是 ( ) 11A( (kπ，0)， k?Z B((kπ，0)， k?Z 23 1C((kπ，0)， k?Z D((kπ，0)，k?Z 4 π3(函数y=cos(2x+)的图象的一个对称轴方程为 ( ) 2 πππA(x=,, B(x=, C(x= D(x=π 248 ππ4(为了得到函数y=4sin(3x+)，x?R的图象，只需把函数y=3sin(x+)的图象上所有点( ) 44A(横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 1B(横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 3 C(纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 1D(纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变( 3 π5(要得到y=sin(2x, )的图象，只需将y=sin2x的图象 ( ) 3 ππA(向左平移个单位 B( 向右平移个单位 33 ππC(向左平移个单位 D( 向右平移个单位 66 【讲练平台】 π 例1 函数y=Asin(ωx+φ)(A,0，ω,0，,φ,,)的最小值为,2，其图象相邻2 的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点(0，1)，求这个函数的解析式( A与最大、最小值有关，易知A=2， 分析 求函数的解析式，即求A、ω、φ的值( Tω与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即=3π(得 T=6π，所2 1x以ω=(所以y=2sin(+φ)，又图象过点(0，1)，所以可得关于φ的等式，从而可将φ求33 πx出，易得解析式为y=2sin( ，)( 36 解略 点评 y=Asin(ωx+φ)中的A可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义(图象的左右平移的情况)等确定(请看下例)( 例2 右图为某三角函数图像的一段 y (1)试用y=Asin(ωx+φ)型函数表示其解析式; (2)求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式( 3 13ππ解:(1)T= , =4π( 33π13πO x 332π1,3 ?ω= = (又A=3，由图象可知 T2π πxπ 所给曲线是由y=3sin 沿x轴向右平移 而得到的( 23 π1?解析式为 y=3sin (x,)( 23 π1(2)设(x，y)为y=3sin( x, )关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关26 π1于直线x=2π的对称点应为(4π,x，y)，故与y=3sin( x,)关于直线x=2π对称的函26 ππ11数解析式是y=3sin,(4π,x), ,=,3sin( x，)( 2626 点评 y=sin(ωx+φ)(ω,0)的图象由y=sinωx的图象向左平移(φ,0)或向右平移 |φ|(φ,0)个单位(特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量(求一个函数的图ω 象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用( 13 2 例3 已知函数y=cosx+ sinxcosx+1 (x?R)( 22 (1)当y取得最大值时，求自变量x的集合; (2)该函数图象可由y=sinx(x?R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到, π11+cos2x3 115解 (1)y= ? + ? sin2x +1= sin(2x+)+ ( 2222264 πππ7当2x+ =2kπ+ ，即x=kπ+，k?Z时，y= ( max6264 π1(2)由y=sinx图象左移个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标62 1不变)，其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，最后把图象向上平移 2 5个单位即可( 4 思考 还有其他变换途径吗,若有，请叙述( 点评 (1)回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语((2)周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化( 【知能集成】 已知三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象，欲求其解析式，必须搞清A、ω、φ和图象的哪些因素有关;y=sinωx和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心( 【训练反馈】 11(函数y= sin(2x+θ)的图象关于y轴对称的充要条件是 ( ) 2 ππA(θ=2kπ+ B(θ=kπ+ C(θ=2kπ+π D(θ=kπ+π(k?Z) 22 π2(先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，3 则所得函数图象对应的解析式为 ( ) ππA(y=sin(,2x+ ) B(y=sin(,2x,) 33 2π2πy C(y=sin(,2x+ ) D( y=sin(,2x,) 33 1 3(右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象， 那么f(x)可以写成 ( ) 1 x ,1 A(sin(1+x) B( sin(,1,x) C(sin(x,1) D( sin(1,x) π14(y=tan(x,)在一个周期内的图象是 ( ) 23 y y y y O ,,,O ,,,,22,,,,5724,5x O x O x x , , , 336336336336 B A C D 5(已知函数y=2cosx(0?x?2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图 形面积是 ( ππ6(将y=sin(3x, )的图象向(左、右) 平移 个单位可得y=sin(3x+)的图像( 63 π4π17(已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=时取得最大值，当x=时取得929 π1最小值, ，若A,0，ω,0，,φ,,，求该函数的解析表达式( 22 8(已知函数y=3 sinx+cosx，x?R( (1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合; (2)该函数的图象可由y=sinx(x?R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到, 9(如图:某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b( (1)求这段时间的最大温差; y 温度/ ? 30 (2)写出这段曲线的函数解析式( 20 第7课 三角函数的最值 10 【考点指津】 时间/h 掌握基本三角函数y=sinx和y=cosx的最值，及取得最值的条件;掌握给定区间上三角6 14 10 函数的最值的求法;能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题( 【知识在线】 1π231(已知(1)cosx=1.5 ;(2)sinx,cosx=2(5 ;(3)tanx+ =2 ;(4)sinx=, 上述(tanx4四个等式成立的是 ( ) A((1)(2) B((2)(4) C((3)(4) D((1)(3) π5π2(当x?R时，函数y=2sin(2x+)的最大值为 ，最小值为 ，当x?〔,， 2412 π〕时函数y的最大值为 ，最小值为 . 24 3(函数y=sinx,3 cosx的最大值为 ，最小值为 ( 24(函数y=cosx+sinx+1的值域为 ( 【讲练平台】 22 例1 求函数f(x)=sin x+2sinxcosx+3cosx的最大值，并求出此时x的值( 分析 由于f(x)的表达式较复杂，需进行化简( π22 解 y=sinx+cosx+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+)+2 4 πππ当2x+=2kπ+， 即x=kπ+ (k?Z)时，y= 2 +2 ( max428 点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= 22a+b sin(x+φ)( πππ 例2 若θ?,,,，求函数y=cos(+θ)+sin2θ的最小值( , 12124 分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化( ππππ2 解 y=cos(+θ),cos,2(θ+),=cos(+θ),,2cos(θ+),1, 4444 ππππ122=,2cos(θ+)+cos(+θ)+1 =,2,cos(θ+),cos(θ+),+1 44424 π192=,2,cos(θ+),,+ ( 448 πππππ?θ?,,, ,， ?θ，?,，,( 1212463 π13 ,13 ??cos(θ+)?， ?y= ( 最小值 2224 点评 (1)三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式(即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标;(2)形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx的有界性，2通过换元转化成y=at+bt+c在某区间上的最值问题;(3)对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值( 例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值( 分析 由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的2最值问题转化成y=at+bt+c在某区间上的最值问题( 1322解 令t=sinx+cosx，则y=t+t+1=(t+)+且t?,,2 ，2 ,， ，24 3?y= ，y=3+ 2 ( minmax4 点评 注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成 2y=at+bt+c在某个区间上的最值问题( 【知能集成】 较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值(用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx与sinxcosx的关系，令 2t,1sinx+cosx=t，则sinxcosx= ( 2 【训练反馈】 11(函数y= 的最大值是 ( ) 2+sinx+cosx 2 2 2 2 A( ,1 B( ，1 C( 1, D( ,1, 22222(若2α+β=π，则y=cosβ,6sinα的最大值和最小值分别为 ( ) 1111A(7，5 B( 7，, C( 5，, D( 7，,5 22 π1sinx+3(当0?x?时，函数f(x)= 的 ( ) 2cosx+1 1A(最大值为2，最小值为 B(最大值为2，最小值为0 2 C(最大值为2，最小值不存在 D(最大值不存在，最小值为0 π24(已知关于x的方程cosx,sinx+a=0，若0,x,时方程有解，则a的取值范围是( ) 2 5，1, B((,1，1) C(,,1，0, D((,?，,)A(,,1 4 4m,65(要使sinα,3 cosα= 有意义，则m的取值范围是 ( 4,m π6(若f(x)=2sinωx(0,ω,1)，在区间,0，,上的最大值为2 ，则ω= ( 3 三、解答题 π7(y=sinxcosx+sinx+cosx，求x?,0， ,时函数y的最大值( 3 28(已知函数f(x)=,sinx,asinx+b+1的最大值为0，最小值为,4，若实数a,0，求a，b 的值( π29(已知函数f(x)=2cosx+3 sin2x+a，若x?,0，,，且,f(x),,2，求a的取值范围( 2 第8课 解斜三角形 【考点指津】 掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形(能 根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数(能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题( 【知识在线】 1(?ABC中，若sinAsinB,cosAcosB，则?ABC的形状为 ( 2(在?ABC中，已知c=10，A=45?，C=30?，则b= ( 3(在?ABC中，已知a=2 ，b=2，?B=45?，则?A等于 ( ) 30? B(60? C(60?或120? D(30?或150? A( 4(若三角形三边之比为3?5?7，则这个三角形的最大内角为 ( ) A(60? B( 90? C( 120? D( 150? 5(货轮在海上以40千米/小时的速度由B到C航行，航向的方位角?NBC=140?，A处有灯塔，其方位角?NBA=110?，在C处观测灯塔A的方位角?N′CA=35?，由B到C需航行半小时，则C到灯塔A的距离是 ( ) N A(106 km B(102 km B A C(10(6 ,2 ) km D(10(6 ，2 )km 1N‘1 【讲练平台】 CC 例1 在?ABC中，已知a=3，c=33 ，?A=30?，求?C及b 分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理(注意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论( 33 解 ??A=30?，a,c，c?sinA=,a， ?此题有两解( 2 133? csinA23 sinC= = = ， ??C=60?，或?C=120?( a32 22b=a?当?C=60?时，?B=90?，+b =6( 当?C=120?时，?B=30?，b=a=3( 点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论( 例2 在?ABC中，已知acosA=bcosB，判断?ABC的形状( 分析 欲判断?ABC的形状，需将已知式变形(式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换( 222222b+c—aa+c—b 方法一:由余弦定理，得 a?(解)=b?()， 2bc2ac224224?a c ,a ,b c +b =0 ( 22222?(a,b)(c ,a,b)=0 ( 22222?a,b=0，或c,a,b=0( 222?a=b，或c=a+b( ??ABC是等腰三角形或直角三角形( 方法二:由acosA=bcosB，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB( ?sin2A=sin2B( ?2A=2B，或2A=π,2B( π?A=B，或A+B= (2 ??ABC为等腰三角形或直角三角形( 点评 若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换( 例3 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2， BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积( 分析 四边形ABCD的面积等于?ABD和?BCD的 A 面积之和，由三角形面积公式及?A+?C=π可知，只需 求出?A即可(所以，只需寻找?A的方程( B 解 连结BD，则有四边形ABCD的面积 D O ? 11S=S+S=AB?AD?sinA+BC?CD?sinC( ??ABDCDB22 ?A+C=180?， ?sinA=sinC( C 1故S=(2?4+6?4)sinA=16sinA( 2 222在?ABD中，由余弦定理，得BD=AB+AD,2AB?ADcosA=20,16cosA ( 222在?CDB中，由余弦定理，得BD=CB+CD,2CB?CD?cosC=52,48cosC( ?20,16cosA=52,48cosC( 1?cosC=,cosA， ?64cosA=,32，cosA=, ( 2 又?0?,A,180?，?A=120?( 故S=16sin120?=8 3 ( A 点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用( 例4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b米， b B 下端距水平视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使 a 观察者上、下视角最大( P C 分析 如图，使观察者上下视角最大，即使?APB 最大，所以需寻找?APB的目标函数(由于已知有关边长， 所以考虑运用三角函数解之( 解 设观察者距墙壁x米的P处观察，PC?AB，AC=b，BC=a(0,a,b)， 则?APB=θ为视角( ba,tan?APC—tan?BPCxxy=tanθ=tan(?APC,?BPC)= = 1+ tan?APC?tan?BPCba1，,xx b—ab—aab= ?当且仅当x= 即x=ab 时，y最大( ， , abx2ab x+x ππ由θ?(0，)且y=tanθ在(0，)上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大( 22 点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题( 【知能集成】 运用正弦定理或余弦定理，有时将有关式子转化成仅含有边的或仅含有角的式子，然 后进行代数或三角恒等变形，问题往往可以得解(在解决较复杂的几何问题时，要注意两个三角形公用边的运用( 【训练反馈】 3 1(?ABC中，tanA+tanB+3 =3 tanAtanB，sinAcosA=，则该三角形是 ( ) 4 A(等边三角形 B(钝角三角形 C(直角三角形 D(等边三角形或直角三角形 2(在?ABC中，已知(b+c)?(c+a)?(a+b)=4?5?6，则此三角形的最大内角为 ( ) A(120? B(150? C(60? D(90? 3(若A、B是锐角?ABC的两个内角，则点P(cosB,sinA，sinB,cosA)在 ( ) A(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 4(在?ABC中，若sinA?sinB?sinC=5?12?13，则cosA= ( 5(在?ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则?C的大小为 ( 6(已知a、b、c是?ABC中?A、?B、?C的对边，S是?ABC的面积，若a=4，b=5，s=53 ，求c的长度( 2227(在?ABC中，sinA,sinB+sinC=sinAsinC，试求角B的大小( C B 8(半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2， B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边?ABC，问B ‘A O A点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最 大面积( 【单元检测】 单元练习(三角函数) (总分100分，测试时间100分钟) 一、选择题:本大题共12小时，每小题3分，共36分(在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的( 1(若角α满足sin2α,0，cosα,sinα,0，则α在 ( ) A(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 2(若f(x)sinx是周期为π的偶函数，则f(x)可以是 ( ) A(sin2x B( cosx C( sinx D( cox2x m,34,2 mπ3(若sinx=，cosx=，且x?,，π,，则m的取值范围为 ( ) m+5m+52 A(3,m,9 B( m=8 C( m=0 D( m=0或m=8 14(函数f(x)=log (sin2x+cos2x)的单调递减区间是 ( ) 3 ππππA((kπ,，kπ+)(k?Z) B((kπ,，kπ+)(k?Z) 4888 π3ππ5πC((kπ+，kπ+)(k?Z) D((kπ+，kπ+ )(k?Z) 8888 5(在?ABC中，若2cosBsinA=sinC，则?ABC的形状一定是 ( ) A(等腰直角三角形 B(直角三角形 C(等腰三角形 D(等边三角形 a+b+c6(?ABC中，?A=60?，b=1，其面积为3 ，则 等于 ( ) sinA+sinB+sinC 239 263 39 A(33 B( C( D( 332 π7(已知函数y=2 cos(ωx+φ)(0,φ,)在一个周期 y 2 内的函数图象如图，则 ( ) 2 6ππ3ππA(T=，φ= B(T=，φ= 54243π3πO x , ππ204C(T=3π，φ=, D(T=3π，φ= 44,2 π8(将函数y=f(x)sinx的图象向右平移个单位后，再作42关于x轴的对称变换，得到函数y=1,2sinx的图象，则f(x)可以是( ) A(cosx B(2cosx C(sinx D(2sinx 9(函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω,0)在区间,a，b,上是增函数，且f(a)=,M，f(b)=M，则函 数g(x)=Mcos(ωx+φ)在区间,a，b,上 ( ) A(是增函数 B(是减函数 C(可以取得最大值M D(可以取得最小值,M 10(在?ABC中，?C,90?，则tanA?tanB与1的关系适合 ( ) tanA?tanB,1 B(anA?tanB,1 C(tanA?tanB=1 D(不确定 A( 11(设θ是第二象限角，则必有 ( A ) θθθθA(cot,tan B(tan,cot 2222 θθθθC(sin,cos D(sin,cos 2222 ππ12(若sinα,tanα,cotα(,,α,}，则α? ( ) 22 ππππππA((,，, ) B((,，0) C((0，) D((，) 244442二、填空题:本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上( 13(sin390?+cos120?+sin225?的值是 ( sin39?,sin21?14( = ( cos39?,cos21? 115(已知sinθ+cosθ= ，θ?(,，π)，cotθ的值是 ( 5 π16(关于函数f(x)=4sin(2x+)(x?R)，有下列命题: 3 π(1)y=f(x)的表达式可改写为y=4?cos(2x,); 6 (2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数; π(3)y=f(x)的图象关于点(, ，0)对称; 6 π(4)y=f(x)的图象关于直线x=, 对称( 6 其中正确的命题序号是 (注:把你认为正确的命题序号都填上)( 三、解答题:本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤( 17((本小题8分)已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终 2π边经过点P(,1，2)，求sin(2α+)的值( 3 π218((本小题8分)已知sin2α+sin2αcosα,cos2α=1，α?(0，)，求sinα、tanα的值( 2 x2219((本小题9分)设f(x)=sinx,asin，求f(x)的最大值m( 2 παα220((本小题9分)已知α、β?(0，)，且3sinβ=sin(2α+β)，4tan =1,tan，求α422+β的值( 21((本小题9分)某港口水的深度y(米)是时间t(0?t?24，单位:时)的函数，记作y=f(t)，下面是某日水深的数据: T(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 Y(米) 10(0 13(0 9(9 7(0 10(0 13(0 10(1 7(0 10(0 经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象( (1)试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的， 某船吃水深度(船底离水面的距离)为6(5米，试求一天内船舶安全进出港的时 间( 1+sin2B222((本小题9分)在?ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c( 若b=ac，求y= sinB+cosB的取值范围( 本章节答案(另附平面向量答案) 三角函数答案 第1课 三角函数的概念 【知识在线】 π5121({α|α=kπ+ ，k?Z} 2( A 3., ， , ( 4(， 41355( C 【训练反馈】 16π1( A 2( B 3( B 4( D 5( 6(一、二 3 π3π27({2kπ+ ,x,2kπ+π或2kπ+,x,2kπ+2π ，k?Z} 8(负 9( 2cm( 22 第2课 同角三角函数的关系及诱导公式 【知识在线】 51( A 2( D 3( 4(sin2,cos2 5( A 7 【训练反馈】 π1071( D 2( B 3( B 4( 5( 1 6( 略 7( 8(, 353 第3课 两角和与两角差的三角函数(一) 【知识在线】 13( C 2( B 3( B 4( 5( 125 【训练反馈】 26 ,111( C 2( C 3( A 4( 5( 6(略 68 717( cos2α=,，cos2β=,1 8( 255 第4课 两角和与两角差的三角函数(二) 【知识在线】 12 2 1(, 2( 3( 2 4( 5(tan2θ 222 【训练反馈】 21( A 2( A 3( tan θ 4( sinβ 5( 3 6( sin(A，B)( 7. 1 8 .略( 第5课 三角函数的图象与性质(一) 【知识在线】 5π7π1( 2kπ，,x ,2kπ， ，k?Z 2( B 3( B 66 π4((1)偶 (2)偶 (3)偶 5( kπ， ，k?Z 2 【训练反馈】 1( C 2( C 3( B 4( D 5( ( 第7课 三角函数的最值 【知识在线】 13 1( C 2( 2 ， ,2 ， ，, 3( 2，,2 4( 22 【训练反馈】 37( B 2( D 3( A 4( A 5( ,1?m? 6( 134 17(+2 8(a=2, b=,2 9(,2,a,,1 2 第8课 解斜三角形 【知识在线】 1(钝角三角形 2( 5(6 + 2 ) 3( A 4( C 5( C 【训练反馈】 ππ121( A 2( A 3( B 4( 5( 6( 21 或61 7( 1363 5π53 8( 设?AOB=θ，θ= 时，S=2+ 最大值 64 单元练习(三角函数) 一、选择题 1(B 2(C 3(B 4(B 5(C 6(B 7(A 8(B 9(C 10(B 11(A 12(B 二、填空题 32 13(— 14(— 3 15(, 16((1)(3) 24 三、解答题 4—33 13 17( 18( sinα= ，tanα= 19(当a,,4时，m=,a;当,4?a?41023 2ππaa时，m= , +1;当a,4时，m=0 20(α+β= 21((1)y=3sin t+10;16246 (2)1时至5时，13时至17时 三角函数练习题 一、三角函数的图像与性质 33,, 已知点落在角θ的终边上，且θ 由三角函数定义求出tan θ值～再P(sin,cos),44 由θ的范围～即可求得θ的值( 3πcosπ,cos443π3π tan θ,,,,1～又sin>0～cos<0～ 3π44sinπsin44 所以θ为第四象限角且θ? D [冲关集训] 1((辽宁高考)已知sin α,cos α,2，α?(0，π)，则tan α,( ) 22A(,1 B(, C. D(1 22 1log3,a3()，2(已知α(,π，0)，tan(3π，α),a(a>0，且a?1)，则cos的值为( ) ,,2 1010310310A. B(, C. D(, 10101010二、三角函数图像变换及函数y,Asin(ωx，φ)的解析式 ,()x, (陕西高考)函数f(x),Asin，1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴,6 ,,π(0,)()之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设α?，f,2，求α的值( 222 (1)?函数f(x)的最大值为3～ π?A，1,3～即A,2.?函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为～ 2 ,(2)x,?最小正周期T,π.?ω,2.?函数f(x)的解析式为y,2sin，1. 6 ,,,1ππππ()(),(),,,(2)?f,2sin，1,2～?sin,.?0<α<～?,<α,<. 22663266 πππ?α,,～?α,. 663 [冲关集训] ,3((济南一模)将函数y,cos的图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，()x,3 π再向左平移个单位，所得函数图像的一条对称轴是( ) 6 πππA(x, B(x, C(x,π D(x, 462 π4((天津高考)将函数f(x),sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点43,15(,0)，则ω的最小值是( )A. B(1 C. D(2 334 π5((衡水模拟)若函数y,Asin(ωx，φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图像如图所示，M，2 ,,,,,,,,,N分别是这段图像的最高点与最低点，且?,0，则A?ω,OMON π7π7π7π( )A. B. C. D. 61263 三、三角函数的性质 ，sin x,cos x，sin 2x (北京高考)已知函数f(x),. sin x (1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间( (1)由sin x?0得x?kπ(k?Z)～故f(x)的定义域为{x?R|x?kπ～k?Z}( ,，sin x,cos x，sin 2x(2)x,因为f(x),,2cos x(sin x,cos x),sin 2x,cos 2x,1,2sin,1～ sin x4 2π所以f(x)的最小正周期T,,π. 2 ,,[2,2]()kkkZ,，,(2)函数y,sin x的单调递增区间为( ,,22 ππππ3π由2kπ,?2x,?2kπ，～x?kπ(k?Z)～得kπ,?x?kπ，～x?kπ(k?Z)( 24288 ,3,[,]kk,，,[,]()kkkZ所以f(x)的单调递增区间为和. ,,,,88[类题通法] 函数y,Asin(ωx，φ)的性质及应用的求解思路 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y,Asin(ωx，φ)，B的形 式; 第二步:把“ωx，φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y,Asin(ωx，φ)，B的单调性及 奇偶性、最值、对称性等问题( [冲关集训] ,6((石家庄模拟)下列函数中，周期为π且在上是减函数的是( ) [0,]2 ,,A(y,sin B(y,cos C(y,sin 2x D(y,cos 2x ()x，()x，44 x,,7((山东高考)函数y,2sin(0?x?9)的最大值与最小值之和为( ) (),63 A(2,3 B(0 C(,1 D(,1,3 3,8((广州调研)已知函数f(x),sin，(x?R)，给出下面四个命题: (2)x2 π?函数f(x)的最小正周期为π;?函数f(x)是偶函数;?函数f(x)的图像关于直线x,对称;4 ,[0,]?函数f(x)在区间上是增函数(其中正确命题的个数是( ) 2 A(1 B(2 C(3 D(4 ,()x,9(设函数f(x),sin ωx，sin，xR. ,,2 1(1)若ω,，求f(x)的最大值及相应的x的集合; 2 π(2)若x,是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求f(x)的单调递增区间( 8 四、创新题型 π 已知函数f(x),Asin(ωx，φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图像如图所示( 2 (1)求函数的解析式; (2)设00)在区间[0,]上单调递增，在区间[,]上单调递减，则ω,323 23( )A. B. C(2 D(3 32 π4((福州质检)将函数f(x),sin 2x(x?R)的图像向右平移个单位后，所得到的图像对应的函4 数的一个单调递增区间是( ) ,,,,33,[,0],[0,]A. B. C.[,] D.[,] ,42244 3π5((山西考前适应性训练)已知函数f(x),sin(ωx，φ)(0<ω<5,0?φ?)的图像经过点，(0,)22 ,111314()且f,,1，则ω,( )A. B(4 C. D. 3334 ,,,()()()6(已知函数f(x),sin x，3cos x(设a,f，b,f，c,f，则a，b，c的大小关763系是( )A(a0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等4 于________( 29(函数f(x),2cosx，sin 2x,1，给出下列四个命题: ,,5π[,]?函数在区间上是减函数;?直线x,是函数图像的一条对称轴; 888 π?函数f(x)的图像可由函数y,2sin 2x的图像向左平移个单位长度而得到; 4 ,[0,]?若x，则f(x)的值域是[]. ,,1，22 其中所有正确命题的序号是________( ,,210((天津高考)已知函数f(x),sin，sin，2cosx,1，x?R. (2)x，(2)x,33(1)求函数f(x)的最小正周期; ,,(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值( [,],44 3,ππ[,]11(已知定义在区间,上的函数y,f(x)图像关于直线x,对称，当x?时，f(x),,,442 sin x.(1)作出y,f(x)的图像;(2)求y,f(x)的解析式( π12.已知函数f(x),Asin(ωx，φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x?R)的图像的一部分如右图所示((1)求2 2[6,],,函数f(x)的解析式;(2)当x时，求函数y,f(x)，f(x，2)的最大值与最小值及相应,3 的x的值( 二、三角变换与解三角形 三角变换及求值 1,,()x (2011?广东高考)已知函数f(x),2sin，xR. ,36(1)求f(0)的值; ,,106[0,](3)，(2)设α，β，f,,，f(3β，2π),，求sin(α，β)的值( ,13522 ,1(),(), (1)f(0),2sin,2?,,1. 26 ,10105(3)，(2)由f,,～即2sin α,～所以sin α,. 1313132 ,6663由f(3β，2π),～得2sin,～即2cos β,～所以cos β,. ()，,55552 ,12422?α～β～?cos α,1,sinα,～sin β,1,cosβ,. [0,],1352 5312463?sin(α，β),sin αcos β，cos αsin β,?，?,. 13513565 [类题通法] 三角函数恒等变换的基本策略 22(1)常值代换(特别是“1”的代换，如1,cosθ，sinθ,tan 45?等( 222222(2)项的分拆与角的配凑(如分拆项:sinx，2cosx,(sinx，cosx)，cosx,1，cosx;配凑 α，βα,β角:α,(α，β),β，β,,等( 22 (3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次( (4)化弦(切)法(将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切)( 22(5)引入辅助角(asin θ，bcos θ,a，bsin(θ，φ)，这里辅助角φ所在的象限由a，b的符号 b确定，φ的值由tan φ,确定( a [冲关集训] 1((深圳调研)已知直线l:xtan α,y,3tan β,0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α 775，β),( )A(, B. C. D(1 337 532((哈师大附中模拟)设α，β都是锐角，且cos α,，sin(α，β),，则cos β,( ) 552525252555A. B. C.或 D.或 255255525 x23((德州模拟)已知函数f(x),2cos,3sin x. 2 (1)求函数f(x)的最小正周期和值域; ,1cos 2α(),(2)若α为第二象限角，且f,，求的值( ,31，cos 2α,sin 2α3 正、余弦定理 (2012?新课标全国卷)已知a，b，c分别为?ABC三个内角A，B，C的对边，acos C，3asin C,b,c,0. (1)求A; (2)若a,2，?ABC的面积为 3，求b，c. (1)由acos C，3asin C,b,c,0得sin Acos C，3sin Asin C,sin B,sin C,0. 因为B,π,A,C～所以3sin Asin C,cos Asin C,sin C,0. ,1π由于sin C?0～所以sin,.又0,A,π～故A,. ()A,236 122222(2)?ABC的面积S,bcsin A,3～故bc,4.而a,b，c,2bccos A～故b，c,8. 2 解得b,c,2. [类题通法] 解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A，B，C,π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A，B，C,π求另一角( (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A，B，C,π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况( (4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. [冲关集训] 4((天津高考)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b,5c，C,2B， 77724则cos C,( )A. B(, C(? D. 25252525 π5((北京高考)在?ABC中，若a,3，b,3，?A,，则?C的大小为________( 3 6((江西高考)在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知3cos(B,C),1,6cos Bcos C. (1)求cos A; (2)若a,3，?ABC的面积为22，求b，c. 正、余弦定理的实际应用 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30?且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶(假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇( (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少, (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值; (3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,若存在，试确定v的取值范围;若不存在，请说明理由( 2 (1)设相遇时小艇航行距离为S海里～则S,900t，400,2?30t?20?cos，90?,30?， 122,900t,600t，400, ～ 900()300t,，33 1故当t,时～S,103～v,303～即小艇以每小时303海里的速度航行～相遇时距离最min3 小( 222(2)若轮船与小艇在B处相遇～由题意可得:(vt),20，(30t),2?20?(30t)?cos(90?,30?)～ 1340060022化简得v,,，900,400，675～ (),2ttt4 111由于00)～ 2ttt 22于是有400μ,600μ，900,v,0～小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根～ 22,(600)1600(900)0,,,v,解得:153 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为?ABC、?ABD，经测量AD,BD,7米，BC,5米，AC,8米，?C,?D. (1)求AB的长度; (2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建 造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少,(2,1.414，3,1.732) 透视三角函数的求值、求角问题 许多考生对三角函数恒等变换中的求值、求角问题一筹莫展，其原因在于:?未能牢记三角公式;?不知如何根据三角函数的形式选择合适的求值、求角的方法(三角函数的求值、求角问题包括: ，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值; (1)“给角求值” (2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值; (3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角( ,(2)x， (天津高考)已知函数f(x),tan， 4 (1)求f(x)的定义域与最小正周期; ,,,[0,]()(2)设α，若f,2cos 2α，求α的大小( 24 πππkπ (1)由三角函数的定义得2x，?，kπ～k?Z～即x?，～k?Z. 4282 πkππ?f(x)的定义域为{x|x?，～k?Z}～f(x)的最小正周期为. 822 ,sin()，,,,224()()，(2)由f,2cos 2α～得tan,,2cos 2α～即,2(cosα,sinα)～ 24,cos()，,4 sin α，cos α整理得:,2(sin α，cos α)(sin α,cos α)( sin α,cos α ,112?α～?sin α，cos α?0.?(sin α,cos α),.?sin 2α,. ,[0,]224 ,,ππ由α～得2α～?2α,～α,. ,[0,],[0,]61242 ,,,,,,,, 已知向量,(cos α，sin α)(α?)，向量m,(2,1)，n,(0，,5)，且m?(,n)( OAOA ,,,,2(1)求向量;(2)若cos(β,π),，0<β<π，求cos(2α,β)( OA10 3,5,((2012?威海模拟)已知α(,)1，cos α,,，则tan 2α,( ) ,52 44A. B(, C(,2 D(2 33 ,12[0,]2(若α，且sinα，cos 2α,，则tan α的值等于( ) ,42 23A. B. C.2 D.3 23 ,31(),,3(设sin α,，tan(π,β),，则tan(α,2β),( ) ,,522 724724 B(, C. D. A(,724724 sin 47?,sin 17?cos 30?4((重庆高考),( ) cos 17? 3113A(, B(, C. D. 2222 ,2,43π()，()，5(已知sin,,，sin α,,，,<α<0，则cos等于( ) 5233 4334A(, B(, C. D. 5555 6((湖北高考)设?ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b,20acos A，则sin A?sin B?sin C为( ) A(4?3?2 B(5?6?7 C(5?4?3 D(6?5?4 17((北京高考)在?ABC中，若a,2，b，c,7，cos B,,，则b,________. 4 ,,128((烟台模拟)若α，且cosα，sin,，则tan α,________. [0,]()，,,222 9(在?ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a,(cos C,2a,c)，b,(b，,cos B)且a?b，则B,________. 10((安徽名校模拟)已知?ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m,(4， A72,1)，n,(cos,cos2)A，且m?n,. 22 (1)求角A的大小; (2)若b，c,2a,23，试判断?ABC的形状( 11(已知复数z,sin 2x，λi，z,m，(m,3cos 2x)i(λ，m，x?R)，且z,z. 1212(1)若λ,0且0c.已知BA?BC,2，cos B1,，b,3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B,C)的值 3 110(、、 ?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C,2ccos A，tan A,，3求B ,5,3()x，,R()11(、 已知函数f(x),Asin，x，且f,. 2412 ,3,3[0,],()(1)求A的值;(2)若f(θ)，f(,θ),，θ，求f ,,224 12(，， ?ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若a，b，c成等差数列，证明:sin A，sin C,2sin(A，C); (2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值 213( 在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a?b，c,3，cosA,2cosB,3sin Acos A,3sin Bcos B. 4(1)求角C的大小;(2)若sin A,，求?ABC的面积 5 14(、 如图1,5所示，在平面四边形ABCD中，AD,1，CD,2，AC,7. 图1,5 721(1)求cos?CAD的值;(2)若cos?BAD,,，sin?CBA,，求BC的长 146 815(、 已知函数f(x),(cos x,x)(π，2x),(sin x，1)，g(x),3(x,π)cos x,4(1，sin 3 2x,(3)x)ln.证明: , ,(1)存在唯一x，使f(x),0; ,[0.]002 ,(2)存在唯一x，使g(x),0，且对(1)中的x，有x，x<π. ,[,]11001,2 专题:三角函数 1 知识填空 1(任意角 (1)角的概念的推广 ?按旋转方向不同分为正角、负角、零角( ?按终边位置不同分为象限角和轴线角( (2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α，k?360?(k?Z)( (3)弧度制 ?1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角( ?弧度与角度的换算:360?,2π弧度;180?,π弧度( 112?弧长公式:l,|α|r， 扇形面积公式:S,lr,|α|r. 扇形22 2(任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r,0)，那么角α xyy的正弦、余弦、正切分别是:sin α,，cos α,，tan α,，它们都是以角为自变量，以比rrx 值为函数值的函数( 3(三角函数线 三 角 函 数 线 有向线段MP为正弦线 有向线段AT为正切线 有向线段OM为余弦线 公式回顾 1、 特殊角的三角函数值 ,,,,,3, , 2 α 0 64322 sinα cosα tanα 2、 诱导公式 ,,,,,,,,,sin(),_________,cos(),_________,tan(),__________ sin(),_________,cos(),_________,,tan(),_________, ,,，,,，,,， ,,,,,,sin(),_________ ,cos(),________ ,tan(),________ 2,,,2,,,2,,,sin(),________ ,cos(),________ ,tan(),________ 2k,,，2k,,，2k,,，()kZ,sin(),________ ,cos(),________ ,tan(),________ ， ,,,,sin(),________ ,cos(),________ sin(),________ ,cos(),,，，,,,,2222,________ 3、 两角和与差的三角公式 sin()_____________________,,,,cos()___________________,,,, ; sin2_______________,,tan()__________________,,,, ; tan2____________,,cos2___________________________________,,,, 4、 经常使用的公式 22?升(降)幂公式:、、cos_________,,sin____________,, ; sincos_________,,, ?辅助角公式:(由具体的值确定); ab,absincos____________,,，,,?正切公式的变形:. tantan____________________,,，, 2 典型例题 考点一:三角函数的定义 例1、若角α的终边经过点P(1,-2),则tan 2α的值为 . 2m{变式训练}已知角,的终边上一点，且,,，求的值。 sincos,sin,,Pm(3,),4 考点二:象限角 sincos0,,,,例2(若，则在( ) A(第一、二象限 B(第一、三象限 C(第一、四象限 D(第二、四象限 【变式训练1】若A、B是锐角?ABC的两个内角，则点在P(cossin,sincos)BABA,,( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ,,【变式训练2】已知“是第三象限角，则是第__________象限角 3 考点三:同角的三角函数关系 4.弦切互化 ,,例3:(1)求值; sin50(13tan10)， sincos2,,(2)已知，求的值; ,,,,1,tan()tan(2),,,,,,1cos23, 5.巧变“1” 122例4:已知，求(?);(?)tan,,2sinsinos2cos,,,,,,，c2,,,，2sincoscos的值. sincos sincosxxxx,、考点四:“知一求二” 2sincosAA，,sin2A,A,0,,例5:(1)已知，，则___________ ，，3 1,,,,,，,(0,),sincos(2)若，则=___________ tan,2 sincosxxt,,sincosxx,，则 __， (3)若 考点五:公式的双向应用 1例6:(1)下列各式中，值为的是 ( ) 2 ,,130，costan.225,,22,,cossin,sincos1515 A、 B、 C、 D、 ; 2,12121225,tan.2 3 (2) tan20?+tan40?+tan20?tan40?= 3,,,,,,,,,,sin()coscos()sin(3)已知，那么的值为____ ; cos2,5 13(4)的值是 ; ,,,sin10sin80 11cos，cos,,,sin,，sin,,，，(5)若，，则 cos,,,=____ 23考点五:三角函数求值 1、给值求值:给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在 于“巧变角”，如等，把所求角用含已知角的式,,,,,,,,,,，,,，，,(),()()2 子表示，求解时要注意角的范围的讨论; ,,3,,335,,,0,,,,，,cos()sin()例7:已知,,, ，求的sin(),,，,,,,44445413值. 2、给值求角:实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范 围及函数的单调性求得角. ,5310例8:(1)已知且,,则 ， 、(，),,,,,,sincos,,，,,,,2510 11(2)已知,,，,,，已知均为锐角，则 tantan,,,,,，,273 3、化简求值 1,sinx,cosx,,x,0,sinx，cosx,例9:已知. (?)求的值;(?)求25 2sin2x，2sinx的值. 1,tanx 考点六:三角函数的图象和性质 5、 三角函数的图象 xxy,，3sincos12xR,例10: 已知函数.用“五点法”画出它的图象;求它，，，，，，22 3的振幅、周期和初相;说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到. yx,sin，， ππ,,，，例11:(海南)函数在区的简图是 yx,,sin2,，π,,,,23 y y，，,, 1 1, ,,3 ,x, , x , O,, ,, O 6,326 ,12 ,1 B. A. y y 1 1 , , ,6,,,, ,, Ox x O, ,,33622 ,1 ,1 C. D. y【变式训练1】(福建)函数,)的 yx,，sin(),,(,0xR,,,02,,,,05 1部分图象如图，则 ,,,, ,,,,,,,,,,A.B.2436 O x3 15,,,,, ,,,,,,,,,C.D.4444 y【变式训练2】已知函数() yAx,，sin(),,A,,0,||,,的一段图象如下图所示，求该函数的解析式( 2 2 , 38 4O x , ,,33 ,2 x,例12:为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所y,2sinx,x,Ry,2sin(，),x,R36 有的点( ) ,1向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) A.63 ,1向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) B.63 ,向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变) C.36 ,向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变) D.36 ,y,2sin(2x，)【变式】要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有y,2cosx4的点的( ) ,1横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度 A.28 ,1横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 B.24 ,横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 C.24 ,横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 D.286、 三角函数的性质 22例13:已知函数，求(1)最小正周期;(2)fxxxxxx()sin2sincos3cos,，，,，R xfx()fx()函数的最大值及取得最大值的自变量的集合;(3)函数的单调增区间;(4) ,,x,,[,]fx()对称轴，对称中心;(5)使不等式f(x)?3成立的x的取值集(6)当时，求44 的最域，单调递增区间。 3.当堂检测 2332:1、的值为( ) (A) (B) (C) (D) ,,sin5852222 ,2y,2cos(x,),12.函数是 4 A(最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 ,, ,,C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 22 4,,,yx,，3cos2,3.如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为||,，0，，,,3,, ( ) ,,,,(A) (B) (C) (D) 64324.已知a是实数，则函数的图象不可能是 ( ) fxaax()1sin,，((( ,1,，,2()kkZcos2,,,,5.“”是“”的 ( ) 26 A(充分而不必要条件 B(必要而不充分条 C(充分必要条件 D(既不充分也不 必要条件 ,yx,sin26.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析4 ,2y,1，sin(2x，)yx,cos2式是( ).A. B. C. yx,2cos4 2D.yx,2sin 7.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的y,2yfx,()fxxx()3sincos(0),，,,,, 距离等于，则的单调递增区间是 ,fx() 511,,,,5(A) (B) ，，,[,],kkkZ,，,,,[,],kkkZ,,12121212 2,,,,(C) (D) [,],kkkZ,，,，，,[,],kkkZ,,,,3663 7,,,8.已知函数的图像如图所示，则 。 fxx()2sin(),，,,f,,,12,, ,,网 9.已知函数fxfxx()'()cossin,,，则的值为 . f()4410.(北京)已知函数.(?)求的最小正周期;(?)求fx()fx()fxxx()2sin()cos,,, ,,，，在区间上的最大值和最小值. ,,,,62，， 4.高考专题: 3,cos2,,1、已知为第二象限角，，则( ) ,,，,sincos3 5555(A) - (B)- (C) (D) 3993 5,2,22cos2、已知sin()=，则()的值等于( )(A) (B) (c) ，,,,,333443 5,(D) 3 ,fxx,,cos0,,yfx,3.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的，，，，，，3 1,图像与原图像重合，则的最小值等于( ) (A) (B) 3 (C) 6 (D) 39 5,,,tan2,,,,sin4. 已知,，，则 . ,,,,,52,, yxxx,,,,sin3cos02,x,5、当函数取得最大值时，___________。 ，， ,,ABC6.的内角的对边分别为。已知，求. ABC、、Cabc,,ACacb,,，,90,2 ,sincos,,7.已知向量与互相垂直，其中((1)求和,(0,),a,(sin,,,2)b,(1,cos,)2 10,的值;(2)若，求的值( ,,,,sin(),0,,,cos,102 2,228、设函数的最小正周期为((?)求的,fxxxx()(sincos)2cos(0),，，,,,,,3 ,最小正周期((?)若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得ygx,()yfx,()2到，求的单调增区间( ygx,() ,,,, tan,ab//(?)若，求的值; (?)若9.已知向量ab,,,(sin,cos2sin),(1,2).,,, ,, 求的值。 ,||||,0,ab,,,,, 2014三角函数新课标高考专题 一、三角函数的图像与性质 [考情分析] 高考对本部分内容的考查～一般主要是小题～即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形～或是利用三角函数的图像及其性质进行求值、 参数、值域、单调区间及图像判断等～而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图像、诱导公式及同角三角函数关系的应用等( 33,,P(sin,cos) 已知点落在角θ的终边上，且θ 由三角函数定义求出tan θ值～再,44 由θ的范围～即可求得θ的值( 3πcosπ,cos443π3π tan θ,,,,1～又sin>0～cos<0～ 3π44sinπsin44 所以θ为第四象限角且θ? D [冲关集训] 1((辽宁高考)已知sin α,cos α,2，α?(0，π)，则tan α,( ) 22A(,1 B(, C. D(1 22 ,3π解析:选A 由sin α,cos α,2sin,2，α?(0，π)，解得α,， (),,44 3π所以tan α,tan ,,1. 4 1log3,a3()2(已知α(,π，0)，tan(3π，α),a(a>0，且a?1)，则cos，的值为( ) ,,2 1010310310A. B(, C. D(, 10101010 3,,11()，(),解析:选B 由题意可知tan(3π，α),，所以tan α,，cos,cos,sin α. ,,3322 10?α?(,π，0)，?sin α,,. 10 二、三角函数图像变换及函数y,Asin(ωx，φ)的解析式 [考情分析] 函数y,Asin(ωx，φ)图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定A、ω、φ问题是高考的热点～题型既有选择题、填空题～又有解答题～难度中低档～主要考查识图、用图能力～同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力( ,()x, (陕西高考)函数f(x),Asin，1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴,6 ,,π(0,)()之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设α?，f,2，求α的值( 222 (1)利用最值求出A的值(再利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离求出周期～从而得出ω,2～进而得解,(2)结合已知条件得出关于角α的某一个三角函数值～再根据α的范围易求得α的值( (1)?函数f(x)的最大值为3～ π?A，1,3～即A,2.?函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为～ 2 ,(2)x,?最小正周期T,π.?ω,2.?函数f(x)的解析式为y,2sin，1. 6 ,,,1ππππ()(),(),,,(2)?f,2sin，1,2～?sin,.?0<α<～?,<α,<. 22663266 πππ?α,,～?α,. 663 [冲关集训] ,3((济南一模)将函数y,cos的图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，()x,3 π再向左平移个单位，所得函数图像的一条对称轴是( ) 6 πππA(x, B(x, C(x,π D(x, 462 π,1,横坐标伸长到原来的2倍向左平移个单位6解析:选D y,cos―――――――――?y,cos――――――? ()x,,()x纵坐标不变 323 1,1,,y,cos，即y,cos,. ，,()x[()]x24263 1,,ππ因为当x,时，y,cos，,,1，所以对称轴可以是x,. ()22224 π4((天津高考)将函数f(x),sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点43,15(,0)，则ω的最小值是( )A. B(1 C. D(2 334 π解析:选D 将函数f(x),sin ωx的图像向右平移个单位长度，得到的图像对应的函数解析4 πωπ3π3ωπωπωπ式为f(x),sin ω(x,),sin(ωx,)(又因为函数图像过点(，0)，所以sin(,),sin444442 ωπ,0，所以,kπ，即ω,2k(k?Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为2. 2 π5((衡水模拟)若函数y,Asin(ωx，φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图像如图所示，M，2 ,,,,,,,,, OMONN分别是这段图像的最高点与最低点，且?,0，则A?ω, π7π7π7π( )A. B. C. D. 61263 Tππ解析:选C 由题中图像知,,，所以T,π，所以ω,2. 4312 2,,,,,,,,,,7,7π7π7π2(,)A,(,)AOMON则M，N，由?,0，得,A，所以A,，所以A?ω,. 2121261212 三、三角函数的性质 [考情分析] 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点～题型既有选择题、填空题～ 又有解答题～难度属中低档,常与三角恒等变换交汇命题～在考查三角函数性质的同时～又 考查三角恒等变换的方法与技巧～注重考查函数方程、转化化归等思想方法( ，sin x,cos x，sin 2x (北京高考)已知函数f(x),. xsin (1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间( 先化简函数解析式～再求函数的性质( (1)由sin x?0得x?kπ(k?Z)～故f(x)的定义域为{x?R|x?kπ～k?Z}( ，sin x,cos x，sin 2x,因为f(x),,2cos x(sin x,cos x),sin 2x,cos 2x,1,2sin,1～ (2)x,sin x4 2π所以f(x)的最小正周期T,,π. 2 ,,(2)函数y,sin x的单调递增区间为( [2,2]()kkkZ,，,,,22 ππππ3π由2kπ,?2x,?2kπ，～x?kπ(k?Z)～得kπ,?x?kπ，～x?kπ(k?Z)( 24288 ,3,所以f(x)的单调递增区间为和. [,]kk,，,[,]()kkkZ,,,,88 [类题通法] 函数y,Asin(ωx，φ)的性质及应用的求解思路 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y,Asin(ωx，φ)，B的形式; 第二步:把“ωx，φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y,Asin(ωx，φ)，B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题( [冲关集训] ,[0,]6((石家庄模拟)下列函数中，周期为π且在上是减函数的是( ) 2 ,,()x，()x，A(y,sin B(y,cos C(y,sin 2x D(y,cos 2x 44 ,2π[0,]解析:选D 因为y,cos 2x的周期T,,π，而2x，所以y,cos 2x在上为减函,22数( x,,(),7((山东高考)函数y,2sin(0?x?9)的最大值与最小值之和为( ) 63 A(2,3 B(0 C(,1 D(,1,3 x,,ππxπ7π3(),解析:选A 当0?x?9时，,?,?，,?sin?1，所以函数的最大3636263 值为2，最小值为,3，其和为2,3. 3,，(2)x8((广州调研)已知函数f(x),sin(x?R)，给出下面四个命题: 2 π?函数f(x)的最小正周期为π;?函数f(x)是偶函数;?函数f(x)的图像关于直线x,对称;4 ,[0,]?函数f(x)在区间上是增函数(其中正确命题的个数是( ) 2 A(1 B(2 C(3 D(4 3,解析:选C 函数f(x),sin,,cos 2x，则其最小正周期为π，故?正确;易，(2)x2 π知函数f(x)是偶函数，?正确;由f(x),,cos 2x的图像可知，函数f(x)的图像关于直线x,4 ,不对称，?错误;由f(x)的图像易知函数f(x)在上是增函数，故?正确( [0,]2 ,9(设函数f(x),sin ωx，sin()x,，xR. ,,2 1(1)若ω,，求f(x)的最大值及相应的x的集合; 2 π(2)若x,是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求f(x)的单调递增区间( 8 ,()x,解:(1)f(x),sin ωx，sin,sin ωx,cos ωx～ ,2 x,x,1xx(),(),当ω,时～f(x),sin,cos,2sin～又,1?sin?1～ 2222424 xππ3π所以f(x)的最大值为2～此时～,,，2kπ～k?Z～即x,，4kπ～k?Z～ 2422 3π相应的x的集合为{x|x,，4kπ～k?Z}( 2 ,,,,,π()x，()(),(2)法一:因为f(x),2sin～所以～x,是f(x)的一个零点?f,2sin,84884 ,0～ ωππ即,,kπ～k?Z～整理～得ω,8k，2～k?Z～ 84 1又0<ω<10～所以0<8k，2<10～,0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图像如图所示( 2 (1)求函数的解析式; (2)设00)在区间[0,]上单调递增，在区间[,]上单调递减，则ω,323 23( )A. B. C(2 D(3 32 解析:选B 由于函数f(x),sin ωx的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像，π2π4π3可知为这个函数的四分之一周期，故,，解得ω,. 3ω32 π4((福州质检)将函数f(x),sin 2x(x?R)的图像向右平移个单位后，所得到的图像对应的函4 数的一个单调递增区间是( ) ,,,,33,[,0],[0,][,][,]A. B. C. D. ,42244 ,π()x,解析:选B 将函数f(x),sin 2x(x?R)的图像向右平移个单位后得到函数g(x),sin 244 ,[,]kk，,,cos 2x的图像，则函数g(x)的单调递增区间为，kZ，而满足条件的只有,,,2 B. 3π(0,)5((山西考前适应性训练)已知函数f(x),sin(ωx，φ)(0<ω<5,0?φ?)的图像经过点，22,111314()且f,,1，则ω,( )A. B(4 C. D. 3334 ,,,3ππ()()，，解析:选D 依题意得，f(0),sin φ,，又0?φ?，因此φ,.由f,sin,223443 πππ1010525,,1得ω?，,2kπ,，ω,8k,，k?Z;又0<ω<5，于是有0<8k,<5，0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω4 等于________( ,,3π[0,]()解析:?f(x)在上为增函数～且f(x)的最大值是3<2～?f,3～即sinω,～ 4244 ππ44?ω,～?ω,.答案: 4333 29(函数f(x),2cosx，sin 2x,1，给出下列四个命题: ,,5[,]?函数在区间上是减函数; 88 π?直线x,是函数图像的一条对称轴; 8 π?函数f(x)的图像可由函数y,2sin 2x的图像向左平移个单位长度而得到; 4 ,[0,]?若x，则f(x)的值域是[]. ,,1，22 其中所有正确命题的序号是________( ,2(2)x，解析:?f(x),2cosx，sin 2x,1,cos 2x，sin 2x,2sin～ 4 ππ3ππ5π令2kπ，?2x，?2kπ，(k?Z)～得:kπ，?x?kπ，(k?Z)～ 24288 ,,5即f(x)的递减区间为(k?Z)(?命题?正确( ，，[,]kk,,88 ππππ又?x,时～2x，,～?x,是函数图像的一条对称轴～?命题?正确( 8428 π又?f(x)可由y,2sin 2x的图像向左平移个单位长度而得到～?命题?错误( 8 ,,,5ππ又?x?时～2x，?～?2sin(2x，)?～即f(x)?～ [0,][,]44244 ?命题?正确(答案:??? ,,210((天津高考)已知函数f(x),sin(2)x，，sin(2)x,，2cosx,1，x?R. 33(1)求函数f(x)的最小正周期; ,,[,],(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值( 44 ππππ解:(1)f(x),sin 2x?cos ，cos 2x?sin ，sin 2x?cos,cos 2x?sin ，cos 2x,sin 2x，cos 2x,3333 ,2π(2)x，2sin 所以～f(x)的最小正周期T,,π. 24 ,,,ππ[,],(),(2)法一:因为f(x)在区间上是增函数～在区间[～]上是减函数～又f,,1～84484 ,,,,()()[,],f,2～f,1～故函数f(x)在区间上的最大值为2～最小值为,1. 8444 ,ππππππ3π(2)x，法二:由(1)知f(x),2sin～因为,?x?～则,?2x?～则,?2x，?. 44224444 ,,2(2)x，(2)x，所以,?sin?1～即,1?2sin?2. 244 ,,[,],所以f(x)在区间上的最大值为2～最小值为,1. 44 3,ππ[,],11(已知定义在区间,上的函数y,f(x)图像关于直线x,对称，当x?时，f(x),,442 sin x.(1)作出y,f(x)的图像;(2)求y,f(x)的解析式( 解:(1)y,f(x)的图像如图所示( ,[,],(2)任取x?,～ 4 ,,3π[,]则,x?～ 242 ,ππ因函数y,f(x)图像关于直线x,对称～则f(x),f～又当x?时～f(x),,sin x～ (),x442 ,,则f(x),f,,sin,,cos x～ (),x(),x22 ,,,,,cos,[,]xx,,,4即f(x), ,3,,,,,sin,[,]xx,42, π12.已知函数f(x),Asin(ωx，φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x?R)的图像的2一部分如右图所示( (1)求函数f(x)的解析式; 2(2)当x[6,],,时，求函数y,f(x)，f(x，2)的最大值与最,3 小值及相应的x的值( 2ππ解:(1)由图像知A,2～T,8～?T,,8～?ω,.又图像经过点(,1,0)～ ω4 ,,,ππ(),，()x，?2sin,0.又?|φ|<～?φ,.?f(x),2sin. ,24444 ,,,,,()x，()x，，2),2sin(2)y,f(x)，f(x，，2sin 44424 ,,2π3πππ()x，[6,],,,22sin,22cosx～?x?～?,?x?,. 4246423 ππ2?当x,,～即x,,时～y,f(x)，f(x，2)取得最大值6, 463 π当x,,π～即x,,4时～y,f(x)，f(x，2)取得最小值为,22. 4 第二节三角变换与解三角形 1(“死记”两组三角公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ?sin(α?β),sin αcos β?cos αsin β. ?cos(α?β),cos αcos β?sin αsin β. tan α?tan β?tan(α?β),. 1?tan αtan β (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ?sin 2α,2sin αcos α. 2222cos 2α,cosα,sinα,2cosα,1,1,2sinα. ? 2tan α?tan 2α,. 21,tanα 2(“熟记”两个定理 (1)正弦定理 abc,,,2R(2R为?ABC外接圆的直径)( sin Asin Bsin C 变形:a,2Rsin A，b,2Rsin B，c,2Rsin C; abcsin A,，sin B,，sin C,; 2R2R2R a?b?c,sin A?sin B?sin C. (2)余弦定理 222222a,b，c,2bccos A，b,a，c,2accos B， 222c,a，b,2abcos C. 222222b，c,aa，c,b推论:cos A,，cos B,， 2bc2ac 222a，b,ccos C,. 2ab 222222变形:b，c,a,2bccos A，a，c,b,2accos B， 222a，b,c,2abcos C. 三角变换及求值 [考情分析] 三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂～特别是和与差的三角函数公式与 三角恒等变换的灵活运用(高考对该内容的考查～一般多以选择题、填空题的形式考查三角 变换在求值、化简等方面的简单应用～解答题往往与向量交汇命题( 1,,()x (2011?广东高考)已知函数f(x),2sin，xR.. ,36(1)求f(0)的值; ,,106(2)设α，β，f,，f(3β，2π),，求sin(α，β)的值( [0,](),,13526 (1)可以直接代入求值( (2)首先要化简条件得sin α～cos β～然后用和角公式sin(α，β)计算( ,1 (1)f(0),2sin,2?,,1. (),(),26 ,1010(2)由f,～即2sin α,～ (3)，,13132 5所以sin α,. 13 ,66由f(3β，2π),～得2sin()，,～ ,552 63即2cos β,～所以cos β,. 55 ,?[0,]α～β～ ,2 122cos α,1,sinα,～ ?13 42sin β,1,cosβ,. 5 ?sin(α，β),sin αcos β，cos αsin β 5312463,?，?,. 13513565 [类题通法] 三角函数恒等变换的基本策略 22(1)常值代换(特别是“1”的代换，如1,cosθ，sinθ,tan 45?等( 222222(2)项的分拆与角的配凑(如分拆项:sinx，2cosx,(sinx，cosx)，cosx,1，cosx; α，βα,β配凑角:α,(α，β),β，β,,等( 22 (3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次( (4)化弦(切)法(将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切)( 22(5)引入辅助角(asin θ，bcos θ,a，bsin(θ，φ)，这里辅助角φ所在的象限由a，b b的符号确定，φ的值由tan φ,确定( a [冲关集训] 1((2012?深圳调研)已知直线l:xtan α,y,3tan β,0的斜率为2，在y轴上的截距为1， 则tan(α，β),( ) 77A(, B. 33 5C. D(1 7 tan α，tan β1解析:选D 依题意得，tan α,2，,3tan β,1，即tan β,,，tan(α，β),31,tan αtan β 12,3,,1. 21，3 532((2012?哈师大附中模拟)设α，β都是锐角，且cos α,，sin(α，β),，则cos β,( ) 552525A. B. 255 252555C.或 D.或 255525 25422解析:选A 依题意得sin α,1,cosα,，cos(α，β),?1,sin，α，β，,?;又55 454β)，注意到>>,，所以cos(α，β),α，β均为锐角，因此0<α<α，β<π，cos α>cos(α，555 4,. 5 4532525cos β,cos,cos(α，β)cos α，sin(α，β)sin α,,?，?,. 555525 x23((2012?德州模拟)已知函数f(x),2cos,3sin x. 2 (1)求函数f(x)的最小正周期和值域; ,1cos 2α(),(2)若α为第二象限角，且f,，求的值( ,31，cos 2α,sin 2α3 x2解:(1)?f(x),2cos,3sin x 2 π,,,1，cos x,3sin x,1，2cosx，～ ,,3 ?周期T,2π～f(x)的值域为( ,1(),(2)?f,～ ,33 11?1，2cos α,～即cos α,,. 33 22?α为第二象限角～?sin α,. 3 22α,sinαcoscos 2α?, 21，cos 2α,sin 2α2cosα,2sin αcos α 122,，cos α，sin α1,2233,,,. 2cos α22,3 正、余弦定理 [考情分析] 正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具～而解斜三角形是高考的一个热点问题(高考对该内容的考查可以是选择题或填空题～直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题～多属于中档题,也可以是解答题～多是交汇性问题～常常是与三角函数或平面向量结合( (2012?新课标全国卷)已知a，b，c分别为?ABC三个内角A，B，C的对边，acos C，3asin C,b,c,0. (1)求A; (2)若a,2，?ABC的面积为 3，求b，c. (1)由题设以及正弦定理得到关于A的三角函数值～进而求得A的值((2)由面积公式以及余弦定理得到b与c的方程组～进而求得b与c的值( (1)由acos C，3asin C,b,c,0得 sin Acos C，3sin Asin C,sin B,sin C,0. 因为B,π,A,C～ 所以3sin Asin C,cos Asin C,sin C,0. ,1()A,由于sin C?0～所以sin,. 26 π又0,A,π～故A,. 3 1(2)?ABC的面积S,bcsin A,3～故bc,4. 2 22222而a,b，c,2bccos A～故b，c,8. 解得b,c,2. [类题通法] 解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A，B，C,π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A，B，C,π求另一角( (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A，B，C,π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况( (4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. [冲关集训] 4((2012?天津高考)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b,5c，C,2B，则cos C,( ) 77A. B(, 2525 724C(? D. 2525 解析:选A 由C,2B得sin C,sin 2B,2sin Bcos B，由正弦定理及8b,5c得cos B,sin Cc44722,,,,，所以cos C,cos 2B,2cos B,1,2?,1,. ,,2sin B2b5525 π5((2012?北京高考) 在?ABC中，若a,3，b,3，?A,，则?3C的大小为________( π3sin bsin ?A31π5π解析:由正弦定理可知sin ?B,,,～所以?B,或(舍去)～所以a3266 πππ?C,π,?A,?B,π,,,. 362 π答案: 2 6((2012?江西高考)在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B,C),1,6cos Bcos C. (1)求cos A; (2)若a,3，?ABC的面积为22，求b，c. 解:(1)由3cos(B,C),1,6cos Bcos C～ 得3(cos Bcos C,sin Bsin C),,1～ 1即cos(B，C),,～ 3 1从而cos A,,cos(B，C),. 3 122(2)由于00)～ 2ttt 22于是有400μ,600μ，900,v,0～小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根～ 22,(600)1600(900)0,,,v,所以 ,29000,,v,, 解得:153AC?BC～且?C,?D～所以S>S. ??ABDABC 故选择?ABC的形状建造环境标志费用较低( 因为AD,BD,AB,7～所以?ABD是等边三角形～?D,?C,60?. 1故S,AC?BCsin C,103～ ?ABC2 所以所求的最低造价为5 000?103,50 0003?86 600元( 透视三角函数的求值、求角问题 许多考生对三角函数恒等变换中的求值、求角问题一筹莫展，其原因在于:?未能牢记 三角公式;?不知如何根据三角函数的形式选择合适的求值、求角的方法(三角函数的求值、 求角问题包括: (1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值; (2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值; (3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角( ,(2)x， (2011?天津高考)已知函数f(x),tan， 4 (1)求f(x)的定义域与最小正周期; ,,,[0,]()(2)设α，若f,2cos 2α，求α的大小( 24 (1)根据正切函数的有关概念和性质求解,(2)根据三角函数的有关公式进行变换、化 简求值( πππkπ (1)由三角函数的定义得2x，?，kπ～k?Z～即x?，～k?Z. 4282 πkππ?f(x)的定义域为{x|x?，～k?Z}～f(x)的最小正周期为. 822 ,sin()，,,,224(2)由f,2cos 2α～得tan,2cos 2α～即,2(cosα,sinα)～ ()()，,24,cos()，,4 sin α，cos α整理得:,2(sin α，cos α)(sin α,cos α)( sin α,cos α ,112?α～?sin α，cos α?0.?(sin α,cos α),.?sin 2α,. ,[0,]224 ,,ππ由α,[0,]～得2α,[0,]～?2α,～α,. 61242 利用三角恒等变换求值与求角，其实质是对两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用(求解此类问题，不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉，同时要善于拆角、拼角，注意角的范围(总之，“变”是三角恒等变换的主题，在三角恒等变换中，角的变换、名称的变换、次数的变换、表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”的意识是关键，但要注意其中的不变，即公式不变、方法不变，最好能够将习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律，这样才能以不变应万变( ,,,,,,,, OAOA已知向量,(cos α，sin α)(α?)，向量m,(2,1)，n,(0，,5)，且m?(,n)( ,,,, OA(1)求向量; 2(2)若cos(β,π),，0<β<π，求cos(2α,β)( 10 ,,,, OA解:(1)?,(cos α～sin α)～ ,,,, OA?,n,(cos α～sin α，5)～ ,,,,,,,, OAOA?m?(,n)～?m?(,n),0～ 即2cos α，(sin α，5),0～? 22又sinα，cosα,1～? 由??联立方程解得 255cos α,,～sin α,,～ 55 ,,,,,255,OA?,. ,～,,,55 22(2)?cos(β,π),～?cos β,,～ 1010 又?0<β<π～ 72π?sin β,～且<β<π. 102 4,,,,525又?sin 2α,2sin αcos α,2??,～ ,,,,,,555 432cos 2α,2cosα,1,2?,1,～ 55 34722522,,2?cos(2α,β),cos 2αcos β，sin 2αsin β,?，?,,. ,,,551050210 3,51,((2012?威海模拟)已知α，cos α,,，则tan 2α,( ) (,),52 44A. B(, 33C(,2 D(2 3π5,,解析:选B 因为α?π，，cos α,,， ,,25 252所以sin α,,1,cosα,,. 5 2tan α4所以tan α,2.则tan 2α,,,. 21,tanα3 ,12[0,]2(若α，且sinα，cos 2α,，则tan α的值等于( ) ,42 23A. B. 23C.2 D.3 13π222,,解析:选D 由二倍角公式可得sinα，1,2sinα,，sinα,，又因为α?0，，所,,442 3ππ以sin α,.即α,，所以tan α,tan,3. 233 ,31(),,3(设sin α,,,，tan(π,β),，则tan(α,2β),( ) 522 247A(, B(, 724247C. D. 724 π3,,解析:选D ?sin α,，α?，π， ,,52 43?cos α,,，?tan α,,. 54 11又?tan(π,β),，?tan β,,， 22 2tan β4?tan 2β,,,， 21,tanβ3 ?tan(α,2β) 34,,,,,,,tan α,tan 2β43,, 1，tan αtan 2β34,,,,1，,?,,,,,43 7,. 24 sin 47?,sin 17?cos 30?4((2012?重庆高考),( ) cos 17? 31A(, B(, 2213C. D. 22 sin，30?，17?，,sin 17?cos 30?解析:选C 原式, cos 17?sin 30?cos 17?，cos 30?sin 17?,sin 17?cos 30?, cos 17? sin 30?cos 17?1,,. cos 17?2 ,2,43π()，()，5(已知sin，sin α,,，,<α<0，则cos等于( ) ,,5233 43A(, B(, 5534C. D. 55 π43ππ33,,,,解析:选D 由sinα，，sin α,,，,<α<0，得sinα，，sin α,sin α，cos ,,,,352322 α ,43π,,,3sinα，,. ,,65 π4,,所以sinα，,,， ,,65 2ππππ,,,,,,所以cosα，,cosα，，,,sinα， ,,,,,,3626 4,. 5 6((2012?湖北高考)设?ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连 续的三个正整数，且A>B>C，3b,20acos A，则sin A?sin B?sin C为( ) A(4?3?2 B(5?6?7 5?4?3 D(6?5?4 C( 解析:选D 由题意可得a>b>c，且为连续正整数，设c,n，b,n，1，a,n，2(n>1， 222，n,，n，2，，n，1，*2且n?N)，则由余弦定理可得3(n，1),20(n，2)?,13n,，化简得7n2n，n，1， *60,0，n?N，解得n,4，由正弦定理可得sin A?sin B?sin C,a?b?c,6?5?4. 17((2012?北京高考)在?ABC中，若a,2，b，c,7，cos B,,，则b,________. 4 解析:代入余弦定理公式得: 122,,b,4，(7,b),2?2?(7,b),～解得b,4. ,,4 答案:4 ,,12[0,]()，8((2012?烟台模拟)若α，且cosα，sin,，则tan α,________. ,,222 π1122,,解析:因为cosα，sin，2α,～即cosα，cos 2α,～ ,,222 122所以cosα，2cosα,1,. 2 322整理得3cosα,～所以cos α,(因α为锐角～所以取正)( 22 ππ,,又α?0～～所以α,～tan α,1. ,,24 答案:1 9(在?ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a,(cos C,2a,c)，b,(b， ,cos B)且a?b，则B,________. 解析:由a?b～得a?b,bcos C,(2a,c)cos B,0～利用正弦定理～可得 sin Bcos C,(2sin A,sin C)cos B,sin Bcos C，cos Bsin C,2sin Acos B,0～即sin(B， 1πC),sin A,2sin Acos B～故cos B,～因此B,. 23 π答案: 3 10((2012?安徽名校模拟)已知?ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， A72(cos,cos2)A向量m,(4，,1)，n,，且m?n,. 22 (1)求角A的大小; (2)若b，c,2a,23，试判断?ABC的形状( 1，cos AAA22,,解:(1)?m,(4～,1)～n,cos～cos 2A～?m?n,4cos,cos 2A,4?,,,222 22(2cosA,1),,2cosA，2cos A，3. 772又?m?n,～?,2cosA，2cos A，3,～ 22 1解得cos A,. 2 π?0 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 : 老 学生的状况、接受情况和配合程度: 师 课 后 给家长的建议: 评 价 TA-65 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 知识回顾 1按____________方向旋转形成的角叫做 ;按_____方向旋转形成的角叫做 如果____________________，我们称它形成了一个零角; __________ ; 综上，我们把角的概念推广到__________，任意角包括_____________________。 2、在平面直角坐标系中讨论角时，为了讨论问题的方便，我们____________________，角的始边与x轴的__________重合，那么，___________________，我们就说这个角是_______________;如果角的终边在坐标轴上，我们则认为_____________。 3、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个集合表示出来, 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 ________________ 4 象限角 第一象限角的集合( ) 第二象限角的集合( ) 第三象限角的集合( ) 第四象限角的集合( ) 5 轴线角 终边落在x轴非负半轴上的角的集合 终边落在x轴的非正半轴上的角的集合 终边落在x轴上的角的集合 终边落在y轴非负半轴上的角的集合 终边落在y轴非正半轴上的角的集合 终边落在y轴上的角的集合 终边落在坐标轴上的角的集合 6 终边在一三象限角平分线上的角的集合 典型例题 例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 , (1)120(2)640(3)950(4)1200,::,: ,::360~720例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来: 160:221,:3363:，，，，，， 例3、写出终边在y轴上的角的集合(用0到360度的角表示) 例4 若角为第二象限角，则/2 /3，2，分别是第几象限 ,,,, 例5 区分锐角 0 ~90? 小于90?的角 基础练习 ,301. 与角终边相同的角是( ) ,,,,,360 A(,30210390 B. C. D. 2(终边在第二象限的角的集合可以表示为 ( ) 000000,,90180,,,,90180180180,，,,,，,,kkkZ A. B. ,,,, 0000,,,，,,,,，,,270180180180,kkkZ C. ,, 0000,,,，,,,,，,,270360180360,kkkZ D. ,, ,,11203. 角所在的象限是第 象限。 4. 若角,的终边为第二象限的角平分线，则角,的集合为 5. 已知锐角,，若它的10倍与它本身的终边相同，则角,等于 ,00，，,,,900,,,180,6006. 求，使与角的终边相同，且。 ，， 拓展练习 1.若角α与β终边相同,则一定有( ) A.α+β=180? B.α+β=0? C.α-β=k?360? (k?Z) D.α+β=k?360? (k?Z) 2.集合A={α,α=k?90?-36?,k?Z},B={β,-180?<β<180?},则A?B等于( ) A.{-36?,54?} B.{-126?,144?} C.{-126?,-36?,54?,144?} D.{-126?,54?} 3.在直角坐标系中,若角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系是( ) A.β=α+90? B.β=α?90? C.β=α+90?+k?360?(k?Z) D.β=α?90?+k?360?(k?Z) 4.集合Z={x,x=(2n+1)?180?,n?Z},Y={x,x=(4k?1)?180?,k?Z}之间的关系是( ) A.ZY B.ZY C.Z=Y D.Z与Y之间的关系不确定 ,5.已知角θ的终边与168?角的终边相同,则在(0?,360?)范围内终边与角3的终边相同的角是____. 6.若集合A={α,k?180?+30?<α(弧长公式: 112l新疆王新敞奎屯,,,RSlRR2>(扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径 22 例题讲解 例1(角度与弧度的互换 3400,,75225(1) (2) (3) (4) 515 新疆王新敞奎屯AOB例2(已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 例3. 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数( 基础练习 1(下列各命题中，正确的是 ( ) A. 一弧度就是一度圆心角所对的弧; B. 一弧度是长度为半径的弧; C(一弧度是一度的弧与一度的角之和; D(一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是一种度量单位。 2. 扇形的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则 ( ) A(扇形的面积不变; B. 扇形的圆心角不变 C(扇形的面积增大到原来的2倍; D.扇形的圆心角增大到原来的2倍。 3. 将下列角转化为另一种形式表示: ,7,,,, (1) ; (2) 128 00300,,,75 (3) ; (4) 4. 7弧度的角在第 象限。 0,,1690kZ,,,0,2,,5. 已知。(1)把表示成的形式，其中; ,2k,,，，, ,,,,,,,,4,2 (2)求，使与的终边相同，且。 ,，， 拓展练习 1、将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k?Z,α?,0,2π))的形式，并指出它们所在的象限: ,,1532?—; ? 43 2.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数是( ) ,,A. B. C.1 D.π 36 3.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增大到原来的2倍,则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 4.下列表示的为终边相同的角的是( ) ,,k,A.kπ+与2kπ+(k?Z) B.与244 ,kπ+(k?Z) 2 ,,2C.kπ-与kπ+(k?Z) D.(2k+1)π与33 3kπ(k?Z) 5.已知0<θ<2π,7θ角的终边与θ角的终边重合,则θ=________________. 26.已知扇形的周长为6 cm,面积为2 cm,求扇形的中心角的弧度数. 7.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图4所示). 1.2.1 任意角的三角函 Y1.任意角的三角函数的定义 P(x,y)如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: ,Pxy(,), xOA(1,0) sin,(1)叫做的正弦(sine),记做,即 ; y,sin,,y (2)叫做的余弦(cossine),记做,即; x,cos,cos,,x yytan,(3)叫做的正切(tangent),记做,即tan(0),,,x. ,xx2(三角函数的定义域和函数值符号 函 数 定 义 域 y,sin,R y,cos,R , y,tan,{|,},，,kkZ ,,,2 3诱导公式一 sin(2)sinaka，,,,cos(2)cosaka，,,,tan(2)tanaka，,,,4 写出(0，2π)特殊角的三角函数值 30? 45? 60? 150? 270? 360? 角α 0? 90? 120? 135? 180? 角α的 弧度数 sinα cosα tanα 典型例题 5,例1. 求的正弦,余弦和正切值. 3 5,7,变式:如果将变为呢, 36 例2(已知角的终边过点，求角的正弦,余弦和正切值. P(3,4),,,,0 变式: 如果将题目中的坐标改为(-3a，-4a),题目又应该怎么做, 例3, 求证:当下列不等式组成立时，角为第三象限角，反之也对 a sin0a,, ,tan0a,, 23,00,,变式训练(一)判断下列各式的符号 1. sin340cos265, 2. sin4tan()4 (二)求函数的定义域 yaa,，sintan 例4.确定下列三角函数值的符号: ,00tan3,sin(),cos250 (1) (2) (3) (4) tan(672),4 2515,,，,costan()变式训练(一)求下列各式的值 1. 34 00002. sin420cos750sin(690)cos(660)，,, 例5求下列函数的定义域: sinx(1)y=sinx+cosx (2)y=sinx+tanx (3)y=+tanx 1.2.1 任意角的三角函数(第2课时) 1 请在单位圆上，作出角α的正弦线、余弦线、正切线。 y P O x y y x x 例1、如右图α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交射线 交射线OQ的反向延长线于T′,点P、Q在x轴上的射影分别为点M、OP于点T, N,则 sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________ sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________. 巩固提高 ,,1.若<θ<,则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是( ) 42 A.tanθ同时成立的α的取值范围是( ) 22 ,,,,,,55,A.(,) B.(0,) C.(,2π) D.(0,)?(,2π) 333333 3.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是_______. 任意角的三角函数 一、选择题 1(以下四个命题中，正确的是( ) A(在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 ,, B(,,,,,k,，，k?Z,?,,,,,-k,，，k?Z, 66 C(若是第二象限的角，则sin2,0 ,, 3 D(第四象限的角可表示为,,,2k,，,,,,2k,，k?Z, 2 2(若角,的终边过点(-3，-2)，则( ) A(sin, tan,,0 B(cos, tan,,0 C(sin, cos,,0 D(sin, cot,,0 3(角,的终边上有一点P(a，a)，a?R，且a?0，则sin,的值是( ) 222 A( B(- C(? D(1 222 2 54 4.α是第二象限角，其终边上一点(，)，且cosα,，则sinα的值为( ) Pxx 106210 4444A( B( C( D(, 5.使lg(cosθ?tanθ)有意义的角θ是( ) A(第一象限角 B(第二象限角 C(第一或第二象限角 D(第一、二象限角或终边在y轴上 ,,, 2226.设角α是第二象限角，且|cos|,,cos，则角是( ) A(第一象限角 B(第二象限角 C(第三象限角 D(第四象限角 二、填空题 1(已知角,的终边落在直线y,3x上，则sin,,________( 133 2(已知P(-，y)为角,的终边上一点，且sin,,，那么y的值等于________( 13 3 3(已知锐角,终边上一点P(1，)，则,的弧度数为________( ,,974((1)sintan_________ 43 三、解答题 1(已知角,的终边过P(-3 ，4)，求,的六种三角函数值 x32(已知角,的终边经过点P(x，-)(x>0)(且cos,,，求sin,、cos,、tan,的值( 2 答案: 一，1.c 2.c 3.A 4.A 5。C 6.C 6310,1二. 1. 2. 3. 4. ,23102 343554sina,cosa,,tana,,cota,,三，1. ，， ， ， seca,,csca,553434 31 2. sin,,,,cos,,,tan,,,322 1.2.2 同角三角函数的基本关系 ,sin22,tan,sin,，cos,,11 公式 cos, 2222sin,sin,sin,sin,注意:1:是的缩写，读作“的平方”，不能将写成. (sin,) 2: “同角”的概念与角的表达形式无关. 3:据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用 “平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用(实际上，至多只要 用一次)。 3例1(已知sinα,,，且α在第三象限，求cosα和tanα. 5 4变式(1)已知sinα=,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值. 5 1 (2)已知cosα=,求sinα,tanα的值. ,3 2,例2(化简: 1,sin440 cos,tan,1-2sin40:cos40:变式(1); (2) 2,2cos,122(3) (4) (1+tanα)cosα; 21,2sin, cos,1，sin,,例3(求证: 1,sin,cos, 1,2sinxcosx1,tanx,变式 证明 221，tanxcosx,sinx 3sincos,,，例4 求值 . 已知tanα,,，求的值. 3sincos,,, 2sinα,cosα变式 1 tanα,2，则的值 sinα，2cosα ,,4sin,2cos6,tan,2(已知，则=______________( 5cos,，3sin,11 拓展练习 11.如果sinx+cosx=,且00)或向右(<0)平移个单位得的图象;yx,，sin,||,,,，， 1?函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数yx,，sin,，，, 的图象; yx,，sin,,，， ?函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数yx,，sin,,，， 的图象; yAx,，sin(),, k,0k,0?函数图象的横坐标不变，纵坐标向上()或向下()，得yAx,，sin(),, 到yAxk,，，sin,,的图象。 ，， yx,sin,yx,，sin,,要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移，，，， ,||个单位 , ,例:以变换到为例 yx,sinyx,，4sin(3) 3 ,,,,yxsin,，向左平移个单位 (左加右减) yx,sin,,33,, 1,,,横坐标变为原来的倍(纵坐标不变) yxsin3,，,,33,, ,,,纵坐标变为原来的4倍(横坐标不变) yx4sin3,，,,3,, 1yx,sin3yx,sin横坐标变为原来的倍(纵坐标不变) ，，3 ,,,,,,,向左平移个单位 (左加右减) yxsin3sin3x,，,，,,,,993,,,, ,,,纵坐标变为原来的4倍(横坐标不变) yx4sin3,，,,3,,注意:在变换中改变的始终是x。 ,,0(5)函数性质(潜在换元思想):求对称中心、对称轴、单调区间的方法(特别注意先) sincos sincosxxxx,、9.正余弦“三兄妹—”的内存联系――“知一求二” 《三角函数》单元测试 一、选择题: 1(,1120?角所在象限是( ) A(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 132(已知P(,3，y)为角β的终边上的一点，且sin β,，则y的值为( ) 13 111A(? B. C(, D(?2 222 13(若sin θ?cos θ,，则下列结论中一定成立的是( ) 2 22A(sin θ, B(sin θ,, 22 C(sin θ，cos θ,1 D(sin θ,cos θ,0 34(已知cos α,，则sin(3π，α)?cos(2π,α)?tan(π,α)等于( ) 5 34916A(? B(? C. D. 552525 ,yxxR,，,sin(),5(函数是 ( ) 2 ,,[,],A(上是增函数 B(上是减函数 [0,],22 C(上是减函数 D(上是减函数 [,0],,[,],,, 6(不等式tanx?-1的解集是 ( ) 3,,,,(2k,,2k,][2k,,2k，]A((k?Z) B. (k?Z) ,,,,2442 3,,,,(k,,k,][2k，,2k，]C. (k?Z) D. (k?Z) ,,,,24247. 有以下四种变换方式: ,,11?向左平移，再将横坐标变为原来的;?将横坐标变为原来的，再向左平移; 2248 ,1,1?将横坐标变为原来的，再向左平移;?向左平移，再将横坐标变为原来的。 2248 , 其中，能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin(2x+)的图象的是( ) 4 A(?? B(?? C(?? D(?? sin x，18(对于函数y,(00)和g(x),cos(2x，φ)，1622 的图象的对称轴完全相同，若x?，则f(x)的取值范围是( ) A( B( C( D( 11.函数y,cos(ωx，φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图象的一条对称轴方程为( ) 2πA(x, B(x, C(x,1 D(x,2 π2 12(已知(为非零实数)， fxaxbx()sin()cos()4,，，，，,,,,ab,,,,,f(2007)5, ( ) 则f(2008), A(1 B(3 C(5 D(不能确定 二、填空题: 28cm13(设扇形的周长为4cm，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 ,14(函数y,cos(,2x)的单调递增区间是 4 ,,,A:BBxx,,,,|2215(若集合，，则=____ AxkxkkZ|,,，,,，,,,,,,,,3,, 5,,yxx,,,23sin()yxR,,2()6616. 由函数与函数的图象围成一个封闭图形，这 ___________ 个封闭图形的面积是 三、解答题: 33,,,,2,,,,,,sinsintan(2),,,,,,,,,,222,,,,5x,7x,6,017. 已知sin,是方程的根，求 ,,,,,,coscoscot(),,，,,,,,,,,,,22,,,, 18. 试求函数的最大值和最小值。 y,sinx，cosx，2sinxcosx 19. 已知函数. (1)求的定义域及最小正周期; (2)求的单调递减区间. ,,y,sin(x，)(,0,,)x,y20 函数在同一个周期内，当时取最大值1，当,,,,42 7,x,,1y时，取最小值。 12 (1)求函数的解析式y,f(x). (2)函数y,sinxy,f(x)的图象经过怎样的变换可得到的图象, ,21已知函数f(x),Asin(x，)，b(A,0,||,)的一系列对应值如下表: ,,,2 X 11,,,,,,,54717- 6363636Y -1 1 3 1 -1 1 3 (1) 根据表格提供的数据求函数的一个解析式; f(x) ,,2(2) 根据(1)的结果，若函数的最小正周期为，当x,[0,]时，y,f(kx)(k,0)33 方程恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。 f(kx),m 高一数学三角函数综合测试题 姓名 学号 一(选择题 a,0sin,，2cos,,1.设，角的终边经过点，那么的值等于( ) P(,3a,4a) 2222,, A. B. C. D. 5335 :120,cm2.半径为，圆心角为所对的弧长为( ) 22,2,,2,Ccmcmcmcm . . . . ABD3333 ,y,cos(2x，),x,R3.为了得到函数y,cos(2x)的图像，只需把函数的图像( ) 3 ,,A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 33 ,,C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度 664.若，则的取值范围是( ) xsin,,1,logx2 11 A. B. C. D. [,1][,4][1,4][2,4]44 ,,cos,(0)xx,,,3,,fx(),,5.设是定义域为，最小正周期为的函数，若则fx()2R,2,sin,(0)xx,,,, 15,220,等于( )A. 1 B. C. D. f(),422 6.若是偶函数，则的一个值可为( ) ,fxx()sin(2),，, ,,,,,,A( B( C( D( ,,,, ,1,，,,sin(),7.已知，则的值为( ) cos(),,363 112323C, . . . . ,ABD3333 128.函数faa()cos,,,的最小正周期( ) 2 ,,2,A( B( C( D( ,,2 9.已知，，则的值是( ) sinsinsin0,,,，，,coscoscos0,,,，，,cos(),,, 111,1,A( B( C( D( 2210.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( ) 2x,22x,,，,,y4sin()y4sin() . . AB3333 2x,22x,C,，,,y4cos()y4cos() . . D3333 二、填空题 ,11.终边落在轴的角的集合是 。 y ,,2y,cos(x，)(x,[,,])12.函数的值域是 。 663 sinα，cosα13.若 ,2，则sinαcosα的值是_____________。 sinα,cosα ,yx,,，sin(2)14.函数的单调递减区间是 。 6 三、解答题 ,15.已知是第三象限角，求所在的象限。 ,3 sin()tan(),,,,,,,16.已知是第二象限角，((1)化简; (2)f(),f(),,,sin()cos(2)tan()，,,,,,,, 31,若，求的值( f(),,,,sin(),23 17.证明: 1，2sinθcosθ1，tanθ (1) , ; 22cosθ,sinθ1,tanθ 4sincos,,,1tan3,,(2)已知，求下列各式的值:?? 2,,,，2sincoscos3sin5cos，,, 52x,R18.已知函数(其中)，求(1)函数的fxxxx()5sincos53cos3,,，fx()2 最小正周期;(2)函数的单调区间;(3)函数图象的对称轴和对称中心 fx()fx() 3119.已知y,a,bcos3x(b>0)的最大值为，最小值为,. 22 (1)判断其奇偶性((2)求函数y,,4asin(3bx)的周期、最大值，并求取得最大值时的x; 15,,sin(2，)，20(已知函数 yx264 ,(1)若求函数的单调递增区间和最值、 x,[0,]2 15,(2)写出y=sinx图象如何变换到,，，的图象 yxsin(2)264