空间两向量的数量积公式在立几解题中的活力

空间两向量的数量积公式在立几解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中的活力 空间两向量的数量积公式在立几解题中的 活力 第七卷第3期 2005年6月 遵义师范学院 JournalofZunyiNormalCo~ege Vo1.7,No3 Jun.2005 空间两向量的数量积公式在立几解题中的活力 李孝生 (贵阳中医学院数学微机教研室,贵州贵阳550005) 摘要:在解答立体几何问题时.若能把立体几何问题转化为空间向量的运算,解答起来会收到事半功倍的效果.作 者介绍了空间两向量的数量积公式在证明立体几何中的线面中的位置关系及处理空间角和空闭距离等问题中的方 法和技巧. 关t词:向量;公式;位置关系;角;距离 中田分类号:G633.6文献标识码:C文章编号:1009—3583(2005)03-0050-03 TheVigouroftheFormualofQuntityProductofSpaceBiveetorinthe SolutionofSolidGeometryProblems LIXiao-sheng (~蛐sandComputerGroup,GuiyangTraditionalChineseMedicineColege,Guiyang550005,Ch ina) A山ct:Whensolvingasolidgeometryproblem,ifwetransformtheproblemintospacevector,wes hallgettwicethe resultwitIIhalftheeffort.Heretheauthorintroducesthefunctionoftheformualofquantitypro ductofbivectorinproving therelationbetweenlineandsurfaceandmethodandskillinsolvingsuchproblemsasspacearl candspacedistance. Keywords:vector;formual;function;~e;distance 关于空问的两向量a,b的数量积公式为:a?b =laI.IbIcos(a,b),如果建立适当的空间直角坐标 系,则有:atb1+a2b2+a3b3=Va:+a;+?Vb:+b:+b; ?cos(a,b)(见文【1】),其中a=(a1,a2,a3},b=(b1,b3}.此 公式在证明立体几何的线面中的位置关系,处理空 间距离与空间角等问题中充满着活力. 一 ,证明线面中的有关位置关系 由公式a.b=la1.1blcos(a,b),可得a上a.b= 0.由此可以证明线面中的有关平行与垂直等问题. 例1.(由2004福建卷?理改编)如图1,在三棱锥 ABC中.AABC是边长为4的正三角形,平面 SAC上平面ABC,SA=SC=2x/3,M,N分别是 AB,SB的中点.求证:AC上SB 收稿日期:2005-04-05 作者简介:李孝生.男.贵州省贵阳中医学院数学微机教研室教师. 证明:因平面SAC上平面ABC,SA=SC,且 AABC是等边三角形.所以可以AC的中点.为原 点建立如图1所示的空间直角坐标系,根据题设得: o(o,0,0),A(2,0,0),B(0,2V3,0),c(一2,0,0),S (0,0,2,/) 于是:={一4,0,0),g-ff={o,2,/,-2,/) .=一4x0+0x2,/+0x(一2,/)=0 . ' . AC上sB 二,处理"空间距离"问题 空间距离包括:点到直线的距离,点到平面的距 离,两异面直线间的距离,直线与平面间的距离,两 平行平面间的距离等,但都可以转化为点到平面的 距离. 求解点到平面的距离的思路:根据两向量a,b的 数量积公式及其性质a上b?a?b=0,求出平面Ot的 法向量n.设A为平面Ot内的一点,则平面Ot外一点 ———4? P到平面的距离为:d= InI 例2.同例1,求点B到平面CMN的距离. 解:建立空间直角坐标系如图1所示.依题设 李孝生?空间两向量的数量积公式在立几解题中的活力 得:C(-2,0,0),M(1,,/丁,0),N(0,,/丁,,/), B(o,2,o).则耐={3,,o},={2, ,/丁,,/},百={1,一,/丁,O}.设平面CMN的 法向量为:n={x,Y,z}. 由 耐 甘 耐一 甘f3)(+y-0由f甘{甘{.l lln.:0【2,/一y+z=0nn2x+3V2z=0I上CNl?C=I'Vy+ 甘 {V2二...:{x/~-z,一z'z}Iy一V6z 点B到平面CMN的距离d即为百在上的 射影,所以=下4V5- InI 三,外理"空间角"的问题 1.求两异面直线间的夹角 设两异面直线a,b的方向向量分别为a,b,异面 直线a,b所成的夹角与a,b所成的夹角或者相等或 者互补,所以两异面直线所成的角0为: . ' . 0=arcc0s__J垒I Ia1.IbI 例3.(2004浙江卷?理)如图2,已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= 试在线段AC上 ,/2,AF=I,M是线段EF的中点, 确定一点P,使得PF与BC所成的角是60~. 围2 解:依题意可建立以c为原点的空间直角坐标 系(如图2所示).则:c(o,0,0),A(,/,,/,0), B(O,,/,O),F(,/,,/,1). 依题意可假设AC上存在一点P(a,a,0)(Os as,/),使PF与BC成60~. ={-a,-a,1),=,0) 则有:c0s()==::.一 IPFl.V(一+1. 即有c.s6o.=解得:a=或 V2(,/2一a)'+1z (舍去) . ? . P(,立2,o)ePP为AC的中点 故线段AC的中点P使得PF与BC所成的角 为600. 2.求直线与平面间的夹角 设直线a的方向向量和平面a的法向量分别为 和,根据两向量的数量积公式可求出:c0s<,)= _.若cos(m,)>o,,则直线a与平面n的夹 IinI.InI 角8=90.一<,);若c0s<二,二)<o,,则:0=<,)一90. (见文【2】). 例4.(2004全国卷?理)如图3,三棱锥P_^Bc 中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.求 证:AB上BC 围3 求AC与平面PBC的 (?)设AB=BC=2,/丁, 夹角. (I)证明(略) (?)解:由(I)及题设条件,可以建立以AC的 中点为原点的空间直角坐标系(如图3所示). 则:A(0,一,0),B(,O,0),c(o,,0),P (O,0,,/) 于是:={o,,一),百={一,, 0),A-C={o,2X/6,o). 设平面PBC的法向量为:n={1,y,z) 由上,上得:.=0,.=0 嘴:{66y,=0甘{V一2甘,l一,/+,/z ,/, 51 第七卷第3期遵义师范学院2005年6月 所以COS<X-C,)=..===铺 fACf.fnf2V6'2 (,n)=60o.故AC与平面PBC所成的角为: 0=90.-60.=30. 3.求二面角的大小 设二面角一B的平面角为0,平面和B 的法向量分别为m和n.根据两向量的数量积公式求 出两向量的夹角(m,n>.再由0与(m,n)间相等或 互补的关系求出二面角O(见文【2】). 例5.(由2004天津卷?理改编)如图4,在四棱 锥P—ABCD中,底面是正方形,侧棱PD上底面 ABCD,PD=DC,E是PC上的中点,作EF上平面 EFD.求二面角C—PB—D的大小. 图4 解:依题意可以建立以D为原点的空间直角坐 标系(如图4所示).为不失一般性,设正方形的边长 为2a,根据题设条件得:D(0,0,0),A(2a,0,0),B 52 (2a,2a,0),C(0,2a,0),E(0,a,a),v(o,0,2a).则D ={0,0,2a},DB={2a,2a,0},AC={一2a,2a,0},DlE {0,0,a},EC={-2a,0,0},={0,2a,一2a}.于是 . D-V=0,.=一2ax2a+2ax2a=0;.= 0,i?=a×2a+a×(一2a)=0:即AC.LDP,AC上 DB;DEZBC.DE上PC:所以是平面PDB的一 个法向量.是平面PCB的一个法量. cos<,)=.A--d"AC"I?IbE"2a).IV(一+(2a).V+一1 2 . ? . (,)=60. 设平面PDB与平面PCB所成二面角的平面角为: 0=60. 所以二面角C—PB—D的大小为60.. 由以上数例可以看出.运用两向量的数量积公 式及其有关性质,不仅可以解答空间距离和空间角 度问题,还可以证明立体几何中的线面中的位置关 系等问题:同时还可以将复杂的几何问题转化为代 数运算,从而避免了繁难的几何作图,降低了逻辑推 理, 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 新颖而且简单明了,充分体现了向量在解答 立体几何问题中的独特性和优越性. 参考文献: 高等数学(第四版,..V-~r)fil.北京:高 【1】同济大学数学教研室. 等教育出版社,1996. 【2】黄宣国.空间解析几何【M】.~ai-:复旦大学出版社,2004. (责任编辑:朱彬)