计算下列定积分

计算下列定积分 习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 5,3 1. 计算下列定积分: ,, (1); sin(x，)dx,,32 ,,,,,,4211 解 . sin(x，dx),,cos(x，),,cos，cos,,,0,,,33332222 1dx (2); ,3,2(11，5x) 11dx111151,2,2,2 解 ,,，x,,,，,,. (115)161,3,2,2,521010512，x(115) ,3 (3)2sin,cos,d,; ,0 ,,,,1111333332 解 22. d,,sd,,,,，,,,,,,,sincoscossincoscoscos0,,00044244 ,3 (4)(1,sin,)d,; ,0 ,,,,,322 解 (1,,sin,)d,,d，sin,dcos,,,，(1,cos,)dcos,,,,,00000 ,143 . (coscos),,，,,,,,,033 ,22 (5)cosudu; ,,6 ,,,,111222 解 22cosudu,(1，cos2u)du,u，sin2u ,,,,,,2246666 ,,,,113 . ,,(,)，(sin,sin),,2264368 22 (6)2,xdx; ,0 ,,x,2sint令2222 解 2,xdx2cost,2costdt,(1，cos2t)dt,,,000 ,,12 . ,t，t,(sin2)022 22 (7)8,2ydy; ,,2 ,22令y,2sinx224 解 8,2ydy,24,ydy22cosx,2cosxdx ,,,,,2,2,4 ,,144,22(1，cos2xdx),22x(，sin2y),2(,，2). ,,,,,244 211,x (8)dx; 1,2x2 2,,,1,令x,t,xtsin1cos12 解 22. dx,tdt,,dt,,t,t,,cos(1)(cot)11,,,,,,2224xttsinsin4442 a222 (9)xa,xdx; ,0 4,,a令x,asinta22222222 解 xa,xdxasin,tacos,tacostdt,sin2tdt,,,0004 4444,,,aaaa,222 ,,tdt,t,t,. (1cos4)sin4,0008832163dx (10); ,122x1，x ,3令x,tantdx12 解 3,sectdt ,,,2122tant,sect4x1，x ,,cost1233 3,,,,,. dt2,,,2sint3sint44 1xdx (11); ,1,5,4x 111令,x,uxdx54111123 解 ,udu,,u,u,. (5)(5),,,1338836,x54 4dx (12) ; ,11，x 2422令x,udx112,2udu,2(1,du),2u(,ln|1，u|),2(1，ln) 解 . ,,,11111，u1，u31，x 1dx (13); 3,41,x,1 1110令1,x,udx1122 解 ,(,2udu),2(1，du),2u(，lnu|,1|),1,2ln2. 31,,,00u,1u,11,x,142 2axdx; ,0223a,x (14)2a2a2axdx112222 解 . ,,d(3a,x),,3a,x,a(3,1),,000222223a,x3a,x 2t,12 (15)tedt; ,0 222ttt21,,,,111t2222 解 tedt,,ed(,),,e,1,e. ,,0002 2edx (16); ,1x1，lnx 222eeedx1 解 . ,dlnx,21，lnx,2(3,1),,111x1，lnx1，lnx 0dx (17); ,22,x，2x，2 000,dx1 解 ,dx,x，,,,,. arctan(1)arctan1arctan(1),,2222,,,22x，x，，x，221(1) ,2 (18)cosxcos2xdx; ,,,2 ,,,22232 解 22xxdx,,xdx,x,x,. coscos2(12sin)sin(sinsin),,,,,,,,33222 ,3 (19)2cosx,cosxdx; ,,,2 ,,32 解 22cosx,cosxdx,cosx1,cosxdx ,,,,,,22 33,,00224222 2,x,xdx，xxdx,x,x, cos(sin)cossincoscos,,,,,0,033322 , (20)1，cos2xdx. ,0 ,,, 解 1，cos2xdx,2sinxdx,,2cosx,22. ,,000 2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: ,4xsinxdx; ,,, , 44 解 因为x (1)sin x在区间[,, ]上是奇函数, 所以xsinxdx,0. ,,,,,,42 (2)4cos,d,; ,,,2 ,,,，1cos2x442 解 222,,4cos,,d24cos,,d8()d, ,,,,00,22 ,,312 22 ,2(1，2cos2x，cos2x)d,2(，2cos2x，cos4x)d,,,,0022 ,,132 . ,，x，x,,(32sin2sin4)042 21(arcsinx)2 (3); dx1,2,21,x 22111(arcsinx)(arcsinx)2 解 222dx,2dx,2(arcsinx)d(arcsinx) ,,,100,222,1x,1x 31,232 . ,x,(arcsin)03324 325xsinx (4). dx,42,5x，2x，1 32325xsinxxsinx 解 因为函数是奇函数, 所以dx,0. ,4242,5x，2x，1x，2x，1 aa22 3. 证明: ,(x)dx,2,(x)dx, 其中,(u)为连续函数. ,,a,0 2 证明 因为被积函数,(x)是x的偶函数, 且积分区间[,a, a]关于原点对称, 所以有 aa22 ,(x)dx,2,(x)dx. ,,a,0 bb 4. 设f(x)在[,b, b]上连续, 证明f(x)dx,f(,x)dx. ,,bb,, 证明 令x,,t, 则dx,,dt, 当x,,b时t,b, 当x,b时t,,b, 于是 bbb, f(x)dx,f(,t)(,1)dt,f(,t)dt, ,,,bbb,, bb而 f(,t)dt,f(,x)dx, ,,bb,, bbf(x)dx,f(,x)dx. ,,bb,, bb 5. 设f(x)在[a, b]上连续., 证明所以 f(x)dx,f(a，b,x)dx. ,,aa 证明 令x,a，b,t, 则dx,d t, 当x,a时t,b, 当x,b时t,a, 于是 bab f(x)dx,f(a，b,t)(,1)dt,f(a，b,t)dt, ,,,aba bb而 f(a，b,t)dt,f(a，b,x)dx, ,,aa bb所以 f(x)dx,f(a，b,x)dx. ,,aa 11dxdxx 6. 证明: . ,(x,0),,221x1，x1，x 111 证明 令,,, 则, 当x,x时, 当x,1时t,1, 于是 dxdtx,t,2txt 111dx111x dtdt, ,,(,),1,,,222x11xtt1，1，x1，2t 1111而 xx, dtdx,,,2211tx1，1， 11dxdxx所以 . ,,,221x1，x1，x 11mnnm 7. 证明: x(1,x)dx,x(1,x)dx. ,,00 1011mnmnmnnm 证明 令1,x,t , 则x(1,x)dx,,(1,t)tdt,(1,t)tdt,x(1,x)dx, ,,,,0100 11mnnm即x(1,x)dx,x(1,x)dx. ,,00 ,,nn 8. 证明: 2sinxdx,2sinxdx. ,,00 ,,,nnn2 证明 sinxdx,sinxdx，sinxdx, ,,,,002 ,,,,令0x,,tnnnn22而 sinxdxsin,(,t)(,dt),sintdt,sinxdx, ,,,,,,0022 ,,nn所以 2sinxdx,2sinxdx. ,,00 a，1 9. 设f(x)是以l为周期的连续函数, 证明f(x)dx的值与a无关. ,a a，la，lla，la10f(x)dx,f(x)dx，f(x)dx，f(x)dx,f(x)dx，f(x)dx,f(x)dx, ,,,,,,,aall000 证明 已知f(x，l),f(x). a，laaa令x,t，l 而 f(x)dxf(t，l)dt,f(x，l)dx,f(x)dx, ,,,,000l a，l1所以 f(x)dx,f(x)dx. ,,a0 a，1因此f(x)dx的值与a无关. ,a x 10. 若f(t)是连续函数且为奇函数, 证明f(t)dt是偶函数; 若f(t)是连续函数且为偶函数, ,0 x证明f(t)dt是奇函数. ,0 x 证明 设F(x),f(t)dt. ,0 若f(t)是连续函数且为奇函数, 则f(,t),,f(t), 从而 ,xxxx令t,,u F(,x),f(t)dtf(,u)(,1)du,f(u)dx,f(x)dx,F(x), ,,,,0000 x即F(x),f(t)dt是偶函数. ,0 若f(t)是连续函数且为偶函数, 则f(,t),f(t), 从而 ,xxxx令t,,u F(,x),f(t)dtf(,u)(,1)du,,f(u)dx,,f(x)dx,,F(x), ,,,,0000 x即F(x),f(t)dt是奇函数. ,0 11. 计算下列定积分: 1,x (1)xedx; ,0 11111,x,x,x,x,1,x,1 解 xedx,,xde,,xe，edx,,e,e,1,2e. ,,,00000e (2)xlnxdx; ,1 eeeee1111111222222 解 . xlnxdx,lnxdx,xlnx,x,dx,e,x,(e，1),,,11011222x244 ,2, (3)tsin,tdt(,为常数); ,0 2,222,,,111,,,, 解 ,tsintdt,,tdcos,t,,tcos,t，cos,tdt ,,,0000,,, ,2,,212,,sin. ,,，t,,2220,,, , x3 (4)dx; ,,2xsin4 ,,,,,,,x133 解 333dx,,xdcotx,,xcotx，cotxdx,,,，，lnsinx ,,,,,,,,234sinx344444 1313 . ,,(,)，ln4922 4lnx (5)dx; ,1x 4444lnx1 解 dx2lnxdx2xlnx2xdx ,,,,,,,1111xx 441 . ,8ln2,2dx,8ln2,4x,4(2ln2,1),11x 1 (6)xarctanxdx; ,0 11111111222 解 xxdxxdxxxxdxarctan,arctan,arctan,,,,,20000222x1， 11,,,,,11111 . ,,,dx,,x,x,,,,,(1)(arctan)(1),200828282442x，1 ,x22 (7)ecosxdx; ,0 ,,,,xxxx22222222 解 ecosxdx,edsinx,esinx,2esinxdx,,,0000 ,,,,,,,xxxx22222222 ,e，2edcosx,e，2ecosx,4ecosxdx,e，2,4ecosxdx,,,0000,1x,22所以 , ecosxdx,(e,2),05 于是 2 (8)xlogxdx; 2,1 21111222222 解 xlogxdxlogxdxxlogxxdx ,,,,222,,,1111222xln2 21132 22. ,,,x,,12ln224ln2 ,2 (9)(xsinx)dx; ,0 ,,,,1112232 (xsinx)dx,x(1,cos2x)dx,x,xdsin2x,,,0000264 33,,,,,,,1113 解 ,,xsin2x，sin2x,2xdx,,xdcos2x,,0000064464 333,,,,,,,,111 . ,,xx，xdx,,，x,,cos2cos2sin2,00064464864 e (10)sin(lnx)dx; ,1 e1令lnx,tt 解法一 sin(lnx)dxsint,edt. ,,10 1111tttt因为 sint,edt,sintde,esint,ecostdt,,,0000 111ttt ,e,sin1,costde,e,sin1,ecost,esintdt,,000 1t ,e,sin1,e,cos1，1,esintdt, ,0 11t所以 . esintdt,(e,sin1,e,cos1，1),02 e1因此 . sin(lnx)dx,(e,sin1,e,cos1，1),12 eeee1 解法二 sin(lnx)dx,x,sin(lnx),x,cos(lnx),dx,e,sin1,cos(lnx)dx,,,1111x ee1 ,e,,x,x,x,x,dxsin1cos(ln)sin(ln),11x e ,e,sin1,e,cos1，1,sin(lnx)dx, ,0 e1故 . sin(lnx)dx,(e,sin1,e,cos1，1),12 e (11)|lnx|dx; 1,e e1eee11 解 |ln|xdx,,lnxdx，lnxdx,,lnxx，lnxx，dx,dx 111,,,,,1111eeee111 . ,,，e，(1,),(e,1),2(1,)eee m122 (12)(1,x)dx(m为自然数); ,0 m,令,xsint1m，2122 解 ,(1x)dxcostdt. ,,00 ,,,n1nn,222,, cosxdxcosxdx,,00n ,,,mm2m4531, 根据递推公式,,,,,,,, m为奇数m1,2，,,m1m1m364222 . ,,(1x)dx,,0,,mm2m4642,,,,,,,, m为偶数，,,m1m1m3753, ,m (13)J,xsinxdx(m为自然数). m,0 解 因为 0,,,令x,,,tmmmm xsinxdx,(,t)sin,(,t)(,1)dt,,sintdt,tsintdt, ,,,,000, ,,,,,,mmmm22所以 (用第8题结果). J,xsinxdx,sinxdx,,2sinxdx,sinxdx,m,,,,000022 ,,,n1nn,222 根据递推公式,, sinxdxsinxdx,,00n 2,,m,m,m,135531,,,,,,,,m为偶数 ,mm,m,246422 . J,,mm,m,m,135642,,,,,,,,m为奇数 , mm,m,24753,