第二讲简介_差分方程模型与案例

第二讲简介_差分方程模型与案例 第二讲 简介_差分方程模型与案例 1.1 差分方程的基本定义 差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型。现实中的问题通常是连续变化的，但我们常常只能在离散的时间点上对其进行观测和描述。为了表述这一类的数学模型，我们引入了差分方程的方法。 1.2 一阶线性常系数差分方程 一阶线性常系数差分方程的一般形式 差分方程的平衡点 差分方程的解 平衡点稳定的条件 1.3高阶线性常系数差分方程 n阶线性常系数差分方程的一般形式 称方程 axaxax，，，,...0 (*) 011knknnk，，, 为对应的齐次方程 kx,,(*),设方程有形如的解则有 k 特征方程 k,特征根(假定有个不同的实根其它情形参见资料《差分方法 建模理论与案例》) 平衡点 差分方程的解 平衡点稳定的条件 1 所有特征值的模均小于 1.4非线性差分方程 建模案例: 题目1 濒危物种的自然演变和人工孵化 问题:Florida 沙丘鹤属于濒危物种，生态学家估计它在自然环境下， 年平均增长率为 -3.24%。如果在某自然保护区内开始有100只 鹤，每年人工孵化5只鹤放入该保护区，建立描述其数量变化 规律的模型，并作数值计算。 模型及其求解 记第k年沙丘鹤的数量为x，自然环境下的年平均增长率为r，记k a=1+r，每年孵化的数量为b，则第k+1年鹤的数量为 x,ax，b,a,1，r,k,0,1,2,？k，1k 模型分析 讨论时间充分长以后沙丘鹤数量的变化趋势, 即k??时x的极限k状态。 k1,a1,kkkx,ax，b(1，a，？，a),ax，b,k,0,1,2,？00k 1,a 当a<1即r<0时x?x=b/(1-a)。 k MATLAB演示计算 计算并作图，程序如下: 子程序: function x=exf11(x0,n,r,b) % 建立名为exf11的函数M文件， x0,n,r,b可调节 a=1+r; x=x0; % 赋初值 for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; % 按照(3)迭代计算 end 主程序: clc; clf; clear all % x0:初始值;r=-0.0324; b:人工孵化数 x0=100;n=20;b=5; r=-0.0324; % 给定x0,n,r，b,调用exf11计算 k=(0:n)'; y=exf0201(x0,n,r,b); plot(k,y,'r*-'), title('Florida 沙丘鹤数量变化趋势');% 在图上做标记 (运行结果显示) 题目2 汽车租赁公司的运营 问题:一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司 承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经 验估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车在A, B, C 市归还的比例分别为0.6, 0.3, 0.1;在B市租赁的汽车在A, B, C 市归还的比例分别为0.2, 0.7, 0.1;在C市租赁的汽车在A, B, C 市归还的比例分别为0.1, 0.3, 0.6。若公司开业时将N辆汽车按 一定方式分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市 间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。 模型及其求解 记第k个租赁期末公司在A, B, C市的汽车数量分别为x(k), x(k), 12x(k) ,容易写出第k+1(k=0,1,2, …)个租赁期末公司在A, B, C市的汽3 车数量为 xkxkxkxk(，1),0.6()，0.2()，0.1(),1123 , xkxkxkxk(，1),0.3()，0.7()，0.3(),2123 ,xkxkxkxk(，1),0.1()，0.1()，0.6()3123, T记向量x(k)=[x(k), x(k), x(k)]，矩阵 123 0.60.20.1，， ,,A,0.30.70.3 ,, ,,0.10.10.6，， x(k，1),Ax(k),k,0,1,2,？ 则 给定初始值x(0)，可以计算各个租赁期3个城市汽车数量的变化。 模型分析 猜想:时间充分长以后3个城市的汽车数量趋向稳定，并且稳定值与汽车的初始分配无关。 xx AAx,x为了证实该猜想，记稳定值为，由应满足表明矩阵的一 =1x 个特征根，且是对应的特征向量。 MATLAB演示计算 初始分配:城市1:200，城市2:200 ，城市3:200 计算并作图，程序如下: A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6]; x(:,1)=[200,200,200]'; % 赋初值 n=10; for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k); % 迭代计算 end round(x), k=0:10; plot(k,x),grid, (运行结果显示) 表:计算结果 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(k) 200 180 176 176 178 179 179 180 180 180 180 1 x(k) 200 260 284 294 297 299 300 300 300 300 300 2 x(k) 200 160 140 130 125 123 121 121 120 120 120 3 300 x2(k) 250 200x1(k) 150 x3(k) 100 0246810 题目3 离散形式的Logistic模型 问题:建立人口增长的离散形式的阻滞增长模型(logistic模型)。在不 同的增长率下讨论种群数量的变化趋势。 模型及其求解 以种群繁殖的周期划分时段，记时段k(或第k代)的种群数量为 x，增长率是r，种群最大容量为N，阻滞增长模型的离散形式可表为 k xkx,x,r(1,)x,k,0,1,2,？k，1kk N 模型分析 1)该差分方程有两个平衡点:x=N, x=0。 2)x=0不稳定。x=N稳定的条件:r<2。若r>2，虽然这时x不收k敛，但是似乎它的变化仍有某种规律。 MATLAB演示计算 不妨设N=1，初值x=0.1. 取r=1.8 0 程序如下: r=1.8; x=0.1; % 赋初值 n=40; for i=1:n x(i+1)=x(i)+R*x(i)*(1-r); %迭代计算 end k=(0:40)'; [k,xx] % 输出结果 plot(k,x), 表:计算结果 k x(r=0.3) x(r=1.8) x(r=2.5) k k k 0 0.1000 0.1000 0.1000 1 0.1270 0.2620 0.3250 2 0.1603 0.6100 0.8734 3 0.2006 1.0382 1.1498 4 0.2487 0.9668 0.7192 5 0.3048 1.0246 1.2241 …… …… …… …… 17 0.9529 1.0017 1.2250 18 0.9664 0.9986 0.5359 19 0.9761 1.0011 1.1577 20 0.9831 0.9991 0.7012 …… …… …… …… 31 0.9997 1.0001 1.1577 32 0.9998 0.9999 0.7012 33 0.9998 1.0000 1.2250 34 0.9999 1.0000 0.5359 35 0.9999 1.0000 1.1577 36 0.9999 1.0000 0.7012 37 1.0000 1.0000 1.2250 38 1.0000 1.0000 0.5359 39 1.0000 1.0000 1.1577 1.41.440 1.0000 1.0000 0.7012 1.21.21.2 111 0.80.80.8 0.60.60.6 r=1.8r=0.30.40.40.4 r=2.5 0.20.20.2 000010203040010203040010203040 练习题 题目1. (贷款问题) 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，每月还1000元，建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清,如果要10年还清，每月需还多少, 参考答案 要用11年7个月才能还清。 如果10年还清，月还1111元。 题目2. (蛛网模型的继续讨论) 设第k+1与k时段商品上市数量之差是第k时段价格的线性增函数，系数为a;第k+1与k时段商品价格之差是第k时段数量的线性减函数，系数为b。又已知当商品数量为500、价格为200时，处于平衡状态。建立差分方程模型描述商品数量和价格的变化规律，对以下情况作图讨论其变化趋势。 1) 设a=0.2，b=0.1，开始时商品数量和价格分别在500和100附近。 2) 对a，b作些改变，开始时商品数量和价格分别在500和100附近。 3) 利用特征根讨论变化趋势。 部分参考答案 (,) a=0.2,b=0.1 由图知x(k),y(k)均不稳定，而且波动越来越大 题目3. (种群规模) 在某种环境下猫头鹰的主要食物来源是田鼠，设田鼠的年平均增长率为r，猫1头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为a;1猫头鹰的年平均减少率为r;田鼠的存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的2 数量成正比，比例系数为a。建立差分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数2 量变化规律，对以下情况作图给出50年的变化过程。 1) 设r=0.2，r=0.3，a=0.001，a=0.002，开始时有100只田鼠和50只猫头1212 鹰。 2) r，r，a，a同上，开始时有100只田鼠和200只猫头鹰。 1212 3) 适当改变参数a，a(初始值同上)。 12 求差分方程的平衡点，它们稳定吗, 部分参考答案 模型:记r1为田鼠x的年平均增长率，r2是猫头鹰,的年平均减少率，a1为猫头鹰的存在引起田鼠增长率的减少，a2反映了田鼠的存在对猫头鹰年平均减少率的补偿。差分方程 x(k+1)=x(k)+r1*x(k)-a1*x(k)*y(k); y(k+1)= y(k)+a2*x(k)*y(k)-r2*y(k); ,)平衡点(,,,，,,,)，不稳定。