剪力图和弯矩图

剪力图和弯矩图 课次学时 2 授 课 日 期 授 课 班 级 授课教师 第十二章 平面弯曲 ((第三节 剪力图和弯矩图 (授 课 题 目 (((((教学章、节或主题) ((第四节 载荷集度 剪力和弯矩间的关系 ((((((( ((( 掌握弯矩、剪力与载荷集度间的关系(((熟练绘制剪力图和弯矩图 ( 教学目的、要求 装(((分掌握、熟悉、了解三((((个层次) ( ((((((重点、难点:剪力图和弯矩图 订( (((((教学重、难点 (((( 线(((((河南省高等职业技术学院教材 《工程力学》徐广民 中国铁道(((出版社 (参 考 资 料 (((21世纪高职高专系列教材《工程力学》杨玉贵 机械工业出版((含参考书、文献等) ((社 ((((((授课类型(请打?) 理论课 ? 讨论课? 实验课? 练习课? 其他? ( 教学过程设计(请打?) 复习 ? 授新课? 安排讨论? 布置作业? 教学方式(请打?) 讲授 ? 讨论? 示教? 指导? 其他? 教学资源(请打?) 多媒体? 模型? 实物? 挂图? 音像? 其他? 基础部主任签字 教研室组长签字: 年 月 日 年 月 日 课时附 教 学 内 容、方 法、步 骤 分配 记 ?12-3剪力图和弯矩图 一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化， 将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形分别称 为剪力图和弯矩图。画剪力图和弯矩图的基本方法有二种: 1(剪力、弯矩方程法 若以横坐标 x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪 力和弯矩可以表示为的函数，即 x Q,Q(x) M,M(x) 上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。根据剪力方程和弯矩 方程即可画出剪力图和弯矩图。 Q,x画剪力图和弯矩图时，首先要建立 和 M,x坐标。一般取 MQ梁的左端作为 x坐标的原点，坐标和 坐标向上为正。然后根据 Q(x)M(x)截荷情况分段列出和 方程。由截面法和平衡条件可知，在 集中力、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能 发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。分段点截 面也称控制截面。求出分段点处横截面上剪力和弯矩的数值(包括正 Q,xM,x负号)，并将这些数值标在 、坐标中相应位置处。分段点 QM之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。最后注明和 maxmax 的数值。 例12-1 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方 程，并作剪力图和弯矩图。 解:(1)求支座反力 m,0m,0由平衡方程和分别求得 ,,BA 31 RqlRql,,， AB 88 y,0利用平衡方程对所求反力进行校核。 , (2)建立剪力方程和弯矩方程 x以梁的左端为坐标原点，建立坐标，如图a所示。 因在C处分布载荷的集度发生变化，故分二段建立剪力方程和弯 矩方程。 AC段: 3l Q(x),ql,qx(0,x,) 182 31l2M(x),qlx,qx(0,x,) 1 822 1l Q(x),,ql(,x,l)CB段: 282 1lM(x),ql(l,x)(,x,l) 2 28 MQ(3)求控制截面内力，绘、图 QQ(x)x图:AC段内，剪力方程是的一次函数，剪力图为斜直1 31 Q,qlQql,,线，故求出两个端截面的剪力值，，，分别以A右C左88 Q,xa、c标在坐标中，连接a、c的直线即为该段的剪力图。CB段 1 Qql,,内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如，B左8连一水平线即为该段剪力图。梁AB的剪力图如图b所示。 MM(x)图:AC段内，弯矩方程是的二次函数，表明弯矩图为二x1 12M,qlM,0次曲线，求出两个端截面的弯矩，，，分别以a、CA16 Q,0M,xc标在坐标中。由剪力图知在d点处，该处弯矩取得极值。 3932x,lM(l),qlQ(x),0令剪力方程，解得，求得，以d点标1188128M,x在坐标中。据a、d 、c三点绘出该段的弯矩图。CB段内，弯 M(x)矩方程是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，以c、b标2 MM,x在坐标中，并连成直线。AB梁的图如图c所示。 ?12-4载荷集度 剪力和弯矩间的关系 考察图12-7a所示承受 任意载荷的梁。从梁上受分 dx布载荷的段内截取 微段， 其受力如图12-7b所示。作用 在微段上的分布载荷可以认 为是均布的，并设向上为正。 微段两侧截面上的内力均设 x为正方向。若 截面上的内 Q(x)M(x)力为、，则 12-7 x，dx截面上的内力为 Q(x)，dQ(x)M(x)，dM(x)dx、。因为梁整体是平衡的，微段也应处于平 y,0m,0衡。根据平衡条件和，得到 ,,o Q(x)，q(x)dx,(Qx)，dQ(x)),0 2 dxM(x)，dM(x),M(x),Q(x)dx,q(x),02 略去其中的高阶微量后得到 dQ(x),q(x) (12-1) dx dM(x),Q(x) (12-2) dx 利用式(12-1)和(12-2)可进一步得出 2dM(x) (12-3) ,q(x)2dx 式(12-1)、(12-2)和(12-3)是剪力、弯矩和分布载荷集度 q之间的平衡微分关系，它表明: q,(剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度。 ,(弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。 q,(弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度。 根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。例如: q(x),0Q(x),(若某段梁上无分布载荷，即，则该段梁的剪力为常 M(x)量，剪力图为平行于x轴的直线;而弯矩为 x的一次函数，弯矩图为斜直线。 q(x),qQ(x),(若某段梁上的分布载荷(常量)，则该段梁的剪力为 M(x)xx的一次函数，剪力图为斜直线;而为 的二次函数，弯矩图为抛 q,0M,xq物线。在本书规定的坐标中，当 ( 向上)时，弯矩图为向 q,0q下凸的曲线;当 (向下)时，弯矩图为向上凸的曲线。 dM(x),0Q(x),0,(若某截面的剪力，根据，该截面的弯矩为极值。 dx 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程， 其步骤如下: 1(求支座反力; 2(分段确定剪力图和弯矩图的形状; 3(求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图; QM4(确定和。 maxmax MQ例12-2 梁的受力如图a示，利用微分关系作梁的、图。 解:(1)求支座反力 m,0m,0由平衡条件和分别求出 ,,BA R,10KN，A R,5KN B 利用平衡条 y,0件进行, 校核。 (2)分段确 定曲线形状 由于载荷在 A、D处不连续， 应将梁分为三段 绘内力图。 2dMdQdM,q,q,Qq,0根据微分关系、和，CA和AD段内，，2dxdxdx q,常数剪力图为水平线，弯矩图为斜直线;DB段内，，且为负值，剪力 为 M斜直线，图为向上凸的抛物线。 MQ(3)求控制截面的内力值，绘、图 QQ,,3KNQ,7KNQ图:，，据此可作出CA和AD两段图的C右A右 Q,7KNQ,,5KNQ水平线。，，据此作出DB段图的斜直线。 D右B左 MM,0M,,1.8KN,m图:，，据此可以作出CA段弯矩图的斜CA左 R直线。A支座的约束反力只会使截面A左右两侧剪力发生突变，不改变两A M,M,M,,1.8KN,mM,2.4KN,m侧的弯矩值，故，，据A左右D左AA 此可作出AD段弯矩图的斜直线。D处的集中力偶会使D截面左右两侧的弯矩 M,,1.2KN,mM,0发生突变，故需求出，;由DB段的剪力图知在BD右 Q,0y,0R,5KNE处，该处弯矩为极值。因，根据BE段的平衡条件，,B M,1.25KN,m知BE段的长度为0.5m，于是求得。根据上述三个截面的弯E M矩值可作出DB段的图。 MQ对作出的、图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。如 QQDB段内的均布载荷为负值，该段图的斜率应为负;CA段的为负值，该段MMQ图的斜率应为负;AD段的为正值，该段图的斜率应为正;支座A处剪力图应发生突变，突变值应为10KN;D处有集中力偶，D截面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为3.6KN,m;支座B和自由端C处的弯矩应为零等。 1. 梁上有集中力、集中力偶、均布载荷作用时的剪力图和弯矩 小 结 图 2. 剪力图和弯矩图的规律绘图法 1. 平面弯曲的概念 2. 剪力和弯矩的求法 复习思考题、作 3. 12,2，f，g 业题 弯曲正应力计算 下次课预习要弯曲切应力简介 点 实施情况及分 析