凸函数定义.doc凸函数定义.doc
〔凸函数定义〕
，，,,y,,fxa,b,a,b 1(设是定义在闭区间上的函数，若对任意，和x
，，,,0,1任意，有
，，，，，，，，，，f,x，1,,y,,fx，1,,fy
，，，，fxa,b成立，则称是上的凸(下凸)函数(
，，,,,,fxa,by,a,bx,y 2(设是定义在上的函数，若对任意，且和x
,,,,0,1任意，有
，，，，，，，，，，f,x，1,,y,,fx，1,,fy
，，,,fxa,b成立，则称是上的严格凸函数(
，，,,y,,fxa,b,a,b 3(设是...
凸函数定义.doc
〔凸函数定义〕
，，,,y,,fxa,b,a,b 1(设是定义在闭区间上的函数，若对任意，和x
，，,,0,1任意，有
，，，，，，，，，，f,x，1,,y,,fx，1,,fy
，，，，fxa,b成立，则称是上的凸(下凸)函数(
，，,,,,fxa,by,a,bx,y 2(设是定义在上的函数，若对任意，且和x
,,,,0,1任意，有
，，，，，，，，，，f,x，1,,y,,fx，1,,fy
，，,,fxa,b成立，则称是上的严格凸函数(
，，,,y,,fxa,b,a,b 3(设是定义在上的函数，若对任意，和任意x
,,,,0,1，有
，，，，，，，，，，f,x，1,,y,,fx，1,,fy
，，，，fxa,b成立，则称是上的上凸函数(
，，fx当为上凸函数时，不等式反向(
注意到在定义中，凸函数的条件(II)和(II′)是对区间内的任意两点x和x都成立，不难看出，这实际上就保证了函数在整个区间的12
凸性(即上凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的上方;下凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的下方(并且由此形成的弓形是凸的区域(正因为这种函数的图象具有这种特点，所以我们才把它形象地名之曰:凸函数(
现行教材中所涉及的一次函数、二次函数、指数、对数函数、三角函数等都存在上凸函数及下凸函数
在初等数学里，关于函数的凸性，可根据图象来判断(例如，不难根据图象可以得出:
x指数函数y=a(a,0，a?1)(是(-?，?)上的下凸函数(
对数函数y=logx(a?1)(当a ,1时，是(0，?) 上的上凸函a
数;当0,a,1时，是(0，?)上的下凸函数(
函数的凸性;也可以根据定义用初等方法来证明(学过微分学的还可以根据函数的二阶导数的符号来判断函数的凸性(即，若函数f(x)对在定义域(a，b)内的所有x恒有f′′(x),0，则f(x)是(a，b)上的上凸函数;如果恒有f′′(x),0， 则f(x)是(a， b)上的下凸函数(
〔琴生〔Jensen)不等式〕
，，，，，，fxa,bxxx,a,b若是区间上的下凸函数，则对任意，，…，1n2
nn,,11有( fx,f，，x,,,,iinn,1,1,,ii
x,x,？,x当且仅当时等号成立( 12n
，，fx当为上凸函数时，不等式反向
〔琴生〔Jensen)不等式推论〕
，，，，，，fxa,bxxx,a,b若是区间上的下凸函数，则对任意，，…，1n2
n
ppp和对任意满足的正数，，…，，有 p,12n1,ii,1
nn,,x,x,？,x(当且仅当时等号成立( fpx,pf，，x,,12n,,iiii,1,1,,ii
，，fx当为上凸函数时，不等式反向 ,ABC1(在中，求证下列各不等式:
33(1)sinA，sinB，sinC,; 2
ABC,m,Nm,2tantantan3tan(2)，其中且( ，，,mmm3m
y,sinx，，0,,证明:(1)考查正弦函数，在为上凸函数，故
sin，sin，sin，，3ABCABC,,sin,sin,( 3332
33sinA，sinB，sinC,即( 2
x，，0,,fx,tan(2)考查函数，在上是下凸函数( ，，m
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