教改教案-旋转体的体积1课时

教改教案-旋转体的体积1课时教改教案-旋转体的体积1课时第二节旋转体的体积. (联系实际生活比如花瓶，喇叭，了解相关旋转体有什么基础曲线旋转而成) 设是一条连续曲线，且, ，求此曲线绕轴旋转一周而xyfx,()fx()0,xab,[,] 成的旋转体体积. (或设是一条连续曲线，求由与所界定yfx,()0,y,|f(x)|xab,[,]的平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积.) x 用过点且与轴垂直的平面去截旋转体, 得到的截面显然是半径为的圆, 因xx|f(x)| 2此它的面积为, 从而由(12)式知所求旋转体的体积为 ,|f(x...

教改教案 -旋转体的体积1课时第二节旋转体的体积. (联系实际生活比如花瓶，喇叭，了解相关旋转体有什么基础曲线旋转而成) 设是一条连续曲线，且, ，求此曲线绕轴旋转一周而xyfx,()fx()0,xab,[,] 成的旋转体体积. (或设是一条连续曲线，求由与所界定yfx,()0,y,|f(x)|xab,[,]的平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积.) x 用过点且与轴垂直的平面去截旋转体, 得到的截面显然是半径为的圆, 因xx|f(x)| 2此它的面积为, 从而由(12)式知所求旋转体的体积为 ,|f(x)| b2 (13) V,,|f(x)|dx,a 引导学生思考关于轴旋转的情况 y 同理如果旋转体是由连续曲线绕轴旋转一周而成的旋转体,则其yx,,(y),y,[c,d] 体积为 d2 V,,|,(y)|dy (14) ,c , 若曲线的参数方程为,且在连续, x,x(t),y,y(t),t,[,,,]x(t),y(t)[,,,],, 对(13)式作变量代换得 x(t),0 ,2,V,,y(t)|x(t)|dt (15) ,, 22xy，,1例2 计算由椭圆所围图形绕轴旋转而成的椭球体的体积. x22ab b22,,,axayax,,解法一利用直角坐标方程, 由(13)式和对称性有 a ab42222,,,,,Vaxdxab2() ,0a3 xat,cos,解法二设椭圆的参数方程为, .则由(15)式和对称性有 t,[0,2,],ybt,sin, ,a422322Vydxabtdtab,,,,,,2()2sin ,,003 22xy42,V,,ab，,1y 当椭圆所围图形绕轴旋转时所得椭球体的体积,显然有223ab ,V,V, 一般来说,当同一条曲线绕不同的直线旋转时,所得的旋转体的体积也不同, 当然也有特殊情况,如圆绕任何一条直径旋转都得到体积相同的球. 2例3 求抛物线,所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积. xyx,yx, 解: 直接由(13)式有 13222[()()] V,,x,xdx,,,010例4 过坐标原点作曲线的切线, 该切线与曲线及轴围成的平面图形为xyx,lnyx,ln V, (1) 求的面积; (2) 平面图形绕轴及直线旋转一周所得旋转体的体积. DDDxxe,解: 先求出切点坐标和切线方程,再用定积分求面积; 绕直线旋转一周所得旋转体体Axe,积可用圆锥体体积减去一小立体体积进行计算. 1 (1) 设切点横坐标为, 则曲线在点()处的切线斜率为, 方程为 xxx,lnk,yx,ln000x0 1 yxxx,,,ln()00x0 1yx,由已知切线过原点,所以,即, 所以所求切线方程为. ln10x,,xe,00e D从而平面图形的面积为 1ey()1 Aeeydy,,,, ,02 eexeln1Adxxdx,,,,,或 ,,012e (2) 绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 x eex22,,,,()(ln)Vdxxdx x,,01e e,,2(1), 3 绕直线旋转一周所得旋转体的体积 xe, 11y22Veeydyeedy,,,,,,()() ,,00 ,2,,，(5123)ee 6 设曲线方程为极坐标方程0,r,r(,),,,[,,,],[0,,], 则该曲线所表示的平面区域绕极轴旋转一周所得旋转体的体积为 ,23V,,r(,)sin,d, (16) ,,3

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