海伦
公式
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课本的例8(下册p.205)中涉及初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，
许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下: 海伦公式:三角形的面积
，，，，，，S,pp,ap,bp,c
1其中:、、 分别是三角形的三边长， ，，p,a，b，cacb2
222abc，,证明(1):由余弦定理可知: ，由此得出 cosC,2ab
2 sinC,1,cosC
,1，cosC1,cosC，，，，
222222 ,,,,a，b,ca，b,c,,,,,1，1,,,,,2ab2ab,,,,
222222a，b，2ab,cc,a，b,2ab，，，，,,2ab2ab
2222，，a，b,cc,a,b，，,,2ab2ab
1，，，，，，，，,a，b，ca，b,c,a，b，ca,b，c2ab
1由 可得: ，，p,a，b，c2
， a，b，c,2p
，， ， a，b,c,a，b，c,2c,2p,2c,2p,c
，， ， ,a，b，c,a，b，c,2a,2p,2a,2p,a
，， ， a,b，c,a，b，c,2b,2p,2b,2p,b
因此:
1sinC,a，b，ca，b,c,a，b，ca,b，c，，，，，，，，2ab 2，，，，，，,pp,ap,bp,cab
1
1由三角形面积公式 即得 S,absinC2
，，，，，，S,pp,ap,bp,c
上述证明用到了三角函数 、，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。 cosCsinC
B B
C A A C T T
图1 图2
是 ? 的 边上的高，点 为垂足。记 ，，，BTTABCACAB,cAC,bBC,a
，(见上图)。 BT,hCT,d
证明(2):若 ? 是锐角三角形(图1)，则由勾股定理有 ABC
222,,,1adh，， ,222，，，，,,,2cbdh,
22由(1)式得出 ，带入(2)式 : d,a,h
22222 。 ，，c,b,a,h,h
2222222展开，即得 ，， ，由此式解得 c,b，a,h,2ba,h,h
2222224ab,a，b,ca，b，c,a，b，ca,b，ca，b,c，，，，，，，，，，2 ， h,,224b4b
类似于证明(1)，得出
，，，，，，4pp,ap,bp,c2 ， h,2b
1由于三角形面积 ，由上式即得 S,bh2
，，，，，，S,pp,ap,bp,c 。
2
,若 ? 是钝角三角形(图2)，不失一般性，设 ，则由勾股定理有 ABC，C,90
222,,,1adh，， ,222，，，，,，,3cbdh,
类似于 ? 是锐角三角形的情况，可得 ABC
，，，，，，4pp,ap,bp,c2 ， h,2b
因而亦得 。 ，，，，，，S,pp,ap,bp,c
,若 ? 是直角三角形(图2)，不失一般性，设 ，由勾股定理有 ABC，C,90
222 。 a，b,c
a，b，c,a，b，ca,b，ca，b,cpp,ap,bp,c,,,,，，，，，，2222
12222,,,,,a，b,，，c,c,，，a,b 4
1,ab2
故，此时仍有 。 ，，，，，，S,pp,ap,bp,c
关于海伦公式(Heron's formula或Hero's formula)的历史
海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式(利用三角形的三条边长来求三角形面积)相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作
亚历山大里亚的海伦(希腊语: ?ρων ? ?λεξανδρε?ς)(公元10年,70年) ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明(Hellenistic civilization)科学传统方面享负盛名。
我国南宋末年数学家 秦九韶 发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何,”答曰:“三百十五顷(”其术文是:“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，„„开平方得积。”若以大斜记为 ，中斜记为 ，小斜记为 ，秦九韶的方法即相当于acb
海伦公式。
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