凸函数及其在不等式证明中的应用 数学与应用数学毕业论文.doc

凸函数及其在不等式证明中的应用 数学与应用数学毕业 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 .doc 分类号 编 号 2012010119 毕业论文 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目 凸函数及其在不等式证明中的应用 学 院 数学与统计学院 姓 名 专 业 数学与应用数学 学 号 281010119 研究类型 研究综述 指导教师 杨钟玄 提交日期 2012年5月 原创性声明 本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 或未经发表的成果、数 据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果. 本声明的法律责任由本人承担. 论文作者签名: 年 月 日 论文指导教师签名: 凸函数及其在不等式证明中的应用 王红娟 (天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000) 摘 要: 凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。本文论 述了凸函数的定义、性质及其判别 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应 用并对凸函数进行了推广。 关键词:凸函数; 性质; 不等式; Jensen不等式 Convex Function and its Application in the proof Inequality Wang Hong-juan ( Tianshui Normal University ,Academic of Mathematics and Statistics, Tianshui741000,China) Abstract Convex Function is a kind of important Function, it has a far-ranging application in a lot of mathematical problems .The paper related and analyzed the definition, property, and discriminant method of the convex Function .At the same time,the theme talked about the Convex Function’s important in the proof Inequality and popularized about the Convex Function. Key Words Convex Function; property; Inequality; Jensen Inequality 目 录 题目:凸函数及其在不等式证明中的应用................................ 1 摘 要.............................................................. 1 关键词.............................................................. 1 引言................................................................ 1 1 凸函数的定义、性质及判定定理...................................... 1 1.1凸函数的定义 ................................................. 1 1.2凸函数的几种等价定义 ......................................... 2 1.3凸函数的性质及定理 ........................................... 3 2 关于凸函数的四个不等式............................................ 4 2.1 Jensen不等式1.............................................. 4 2.2 Jensen不等式2.............................................. 4 2.3 Holder不等式1.............................................. 5 2.4 Holder不等式2.............................................. 6 3 凸函数在不等式证明中的应用........................................ 7 3.1 利用Jensen不等式1和凸函数性质证明不等式.................... 7 3.2利用Jensen不等式2和凸函数性质证明不等式 .................... 9 3.3凸函数在积分不等式中的应用. ................................. 10 4 凸函数的推广..................................................... 11 4.1凸函数的定义推广 ............................................ 11 4.2凸函数的性质及定理推广 ...................................... 12 4.2.1凸函数的性质推广 ....................................... 12 4.2.2 凸函数的定理推广....................................... 13 结束语............................................................. 14 参考文献........................................................... 15 致谢............................................................... 16 数学与统计学院2012届毕业论文 凸函数及其在不等式证明中的应用 王红娟 (天水师院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000) 摘 要: 凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。 关键词: 凸函数;性质;不等式; Jensen不等式1 引言 在很多数学问题的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 与证明中,我们都需要用到凸函数,例如在数学分 2x析、函数论泛函分析、最优化理论等当中.大家都熟悉函数的图像,它fx(), 2x曲线上任意两点间的弧线总在这两点连线之下,我们可以下这的特点是:y, ab,样一个定义:设在上有定义,若曲线上任意两点间的弧线总位fx()yfx,(),, 于直线的之下,则称函数fx()是凸函数. 上面的定义只是几何描述性的,为了便于函数的应用,用严格的分式来定义是非常必要的. 1.凸函数的定义、性质及判定定理 1.1凸函数的定义 fx()(,)ab(,)ab设函数在区间上有定义,若对上任意两点x,x 和正数12,,0,1fx()fxxfxfx,,,,，,,，,11(1)，，,总有 , 则为区间，，，，，，，，，，1212，， ab,fx()(1)(,)ab上的凸函数. 若不等式中的不等号改为严格不等号,则称为内,, 的严格不等式. 常见的凸函数有: kfxxkkfxxx()(01),ln,,,,或(0,)，,(?) 均为内的严格凸函数 ，， 1 数学与统计学院2012届毕业论文 x22(ii) 均为内的严格凸函数 (0,)，,fxfxcxc()ln(1+e),()(0),,，, 1.2凸函数的几种等价定义 ab,设函数在区间上有定义, fx()，， nnn 1对及,恒有 ,,xab(,),,,pin0.1,2,,.？p,1fpxpfx()(),，，,,,iiiiiii,,,iiiiii fxfx()，，，xx，,,12122 对任意xxab, ,,,恒有f，，，，12,,22,, 3xxxabxxx,,,,,,,,对任意恒有 ，，，，1212 fxfxfxfxfxfx,,,，，，，，，，，，，，，1212 ,,xxxxxx,,,1212 xx,2证明 记,则 ,,xxx,，,,,(1)12xx,21 fxfxxfxfx()((1))()(1)(),，,,，,,,,,1212 xx,xx,21 , ，fx()1xx,xx,2121从而有 ()()()()()()xxfxxxfxxxfx,,,，,212112 ()()()()()()()()xxfxxxfxxxfxxxfx,,,,,，, 212111112 ()()()()()()()()xxfxxxfxxxfxxxfx,,,,,,, 212111211 ()[()()]()[()()]xxfxfxxxfxfx,,,,, 211121 fxfxfxfx,,，，，，，，，，121所以有 ,xxxx,,121 fxfxfxfx,,，，，，，，，，212同理可证 ,xxxx,,212 fxfxfxfxfxfx,,,，，，，，，，，，，，，1212综上所述 ,,xxxxxx,,,1212 ab,fx()yfx,()(4)在区间上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线，， 2 数学与统计学院2012届毕业论文 以下,则称为凸函数. fx() 1.3凸函数的性质及定理 (1)若与fxxabxxab(),,g均为区间上的凸函数，则f+g也是区间上的凸函数.，，，，，，,,,, (2)若为区间上的凸函数，则fxab(), ,, ,,,0,则是上的凸函数;fxab(),(?) ,, ,,,0,(),则是上的凸函数fxab(?). ,, (3)fxgx,ab,ab,设都是单调非负凸函数,则也是上hxfxgx()()(),，，，，,,,, 的凸函数 ,ab,证明 对任意, 且和任意xx,,,(0,1)，xx，，1212因为与在上单调递增,故 fx()gx()(,)abfxfxgxgx,,,0，，，，，，，，，，，，1221，，，， fxgxfxgxfxgxfxgx+ ,，1 即 ，，，，，，，，，，，，，，，，,,12211122 又因与fxxab(),g均为区间上的凸函数，故，，,, f,,,,,,,,xxfxfxgxxgxgx，,,，,，,,，,(1)(1),(1)(1),，，，，，，，，,,,,21212121 而将上面两个不等式相乘，可得fxgx()0,0,,,，， fxxgxx,,,,，,，,(1)(1) ,,,,2121 22,，,，，,,,,,fxgxfxgxfxgxfxgx(1)(1) ，，，，，，，，，，，，，，，，，，22211211，， 1由知 ,, fxxgxx,,,,，,，,(1)(1),,,,2121 22,，,，，,,,,,fxgxfxgxfxgxfxgx(1)(1)，，，，，，，，，，，，，，，，，，22112211，， =(1),，,,fxgxfxgx ，，，，，，，，1122 由凸函数定义知:h=fgxxxab是上的凸函数, ，，，，，，,, fxgx(),()注 ? 非负不能少, 3 数学与统计学院2012届毕业论文 ? 单调递增不能少. fxgx(),() 4,u设是单调递增函数, 是凸函数,则复合函数也ufx,()ufx,,[()]，，，， 是凸函数. 5若为区间内的凸函数,且不是常数,则在内部不能达fx()fx()fx()II，， 到最大值. 6ab,ab,如果 是 上的凸函数,则 在 的任一闭子区间上有fx()fx()，，，，，，界. 7ab,ab,如果是 内的凸函数,则在 内连续. fx()fx()，，，，，， ab,ab,定理 1 若在 内二阶可导,且 f″( x)?0,则 是 内的fx()fx()，，，， ab,凸函数. 若上面的不等号变为严格不等号,则 是 内的严格凸函数. fx()，，2.关于凸函数的四个不等式 2.1 Jensen不等式1 设fx()为在区间上有定义, fx()为凸函数,当且仅当有,,xxx,,I,？I12n fxfxfx，，，？，，，，，，xxx，，，？,,12n12nf,,,nn,, 此外，上式当且仅当xxx=,,？时，等号成立。 12n 1证明只是 ,,in 2.2 Jensen不等式2 n 设则 fxxxxab为凸函数,,,>0,,,,,,,,？？,,,,且=1,，，,,,1212nni,1i nn,,fxfx,, ,，，,,iiii,,ii,,11,, 此外，上式当且仅当xxx=,,？时，等号成立。 12n n,2证明 应用数学归纳法,当时,由凸函数的定义知命题成立. 设当 4 数学与统计学院2012届毕业论文 xab,,是命题成立. 即对任意… nk,xx,,,,k12 k xab,,设当是命题成立.即对任意…及,都有 nk,xx,,a,1,,k,12i,1ikk,,xxxxab,,,,？,,现设及,…(1,2,i,,f axafx>0,,,，，121kk，,,iiiii,,ii,,11,, k，1k，1,i令则,有数学归纳假设可推得 aik,,,1,2,,？k，1),,,1a,1,,iii1,,i,1i,1，1k fxxxx(),,,,，，，，？112211kkkk，， ,,,xxx，，，？1122kk ((1)),,，fx,,，，，kkk1111,,，k1 ,,，，，，(1)()(),,faxaxaxfx？kkkkk，，，1112211 ,,，，，(1)()()()(),,afxafxafxfx？ ,,kkkkk，，，1112211 ，，,,,k12(1)()()()()fxffxfx,,，，，？ ,,，，，kkkk1111,,x2111,,,,,,，，，kkk111，， k，1 ,,fx(),iii,1 nn,,n,2这就证明了对任何正整数,凸函数总有不等式成f ,,xfx(),,,iiii,,,,11,,ii 立. 2.3 Holder不等式1 abin,0,(1,2,,).,,？对任给定的证明: ii 11qqnnnp,,p,,11abab, , ; ，,,1(0)p,,,,,iiii,,,,pqiii111,,,,,,, baii,,证明 令,, ii11qnqnpp,,,,ab,i,,,,,i,,i1,,,i,1,, 5 数学与统计学院2012届毕业论文 pqnn则 ,1,1,,,,ii,1,1ii ,,,,qp,,pq,,bai,,11iii,,,, ,，,，,,iinqnp,,pqpq,,ab,i,,,,,ii,1,,i,1,, n ab,ii11i,1,,, ,，,1,ii11pqqqnnp,,p,,，ab,,,,ii,,,,ii,,11,,,, 11qqnnnp,,p,,所以 abab,，,,,,,iiii,,,,iii111,,,,,,, 11qqnnnp,,p,,即 abab,， ,,,,,iiii,,,,iii111,,,,,,, 2.4 Holder不等式2 ab, 定义如前,fxgx(),()在上可积,证明: pq,,, 11bbbpqpqfxgxdxfxgx()()()(),fgfg..,(范数形式为) ,,,,,,,1pqaaa kk,1，，[,]ab证明 用定积分定义证明,将 n等分,设,由Holder不,,,,,knn，，等式1得 11pqpqnnn,,,, (),fg fg,,,,，，，，,,,,,,,kkkk,i1,,11ii,,,, ba,11两边同时乘以,由，,,1(0)p得: pqn 6 数学与统计学院2012届毕业论文 11pqpqnnn,,,,bababa,,, ()(),,,,fgfg,，，,,,,,,,kkkk,,,,nnniii111,,,,,,, 当时,由的可积性得 fxgx(),()n,, 11bbbpqpqfxgxdxfxgx()()()(), ,,,,,,,aaa 3.凸函数在不等式证明中的应用 3.1 利用Jensen不等式1和凸函数性质证明不等式 ,ABC例1 在中,求证: 331 sinsinsinABC，，,，，2 332 sinsinsinABC,,,，，8 3,ABCtantantan33ABC,,,若为锐角三角形,则. ，， 证明 (1)令fxxx()si,,,n,(0,),,由fx''()0,,则fx()在(0,),是凸函数. ABCABC，，，，sinsinsin,,所以由Jensen不等式1得:,即得: ,,,sin,,33,, sinsinsin3ABCABC，，，，,,, ,,,sinsin,,3332,, 33sinsinsinABC,故 8 ,,fxxx()ln,(0,),,,,fx()0,fx()(0,),)(2,由,则为上的凸函数.所以 由 Jensen不等式1得: lnsinlnsinlnsinABC，，,,,,,,,ln(sinsinsin)3ABC ,,3,, sinsinsinABC，，,, ,,3ln,,3,, 7 数学与统计学院2012届毕业论文 333sinsinsinABC，，又由(1)知:,所以有: 则有 sinsinsinABC，，,,223 sinsinsinABC，，,, ,,3,,,ln(sinsinsin)ABCln,,3,, 3 ,,3333= = ,,3ln,ln,ln(),,282,, 33所以: sinsinsinABC,8 ,2sinx,,,(3)而在上恒大于零.所以在tanxABC,,(0,),,(0,)(tan)x,322coxx,是凸的.所以由Jensen不等式得: (0,)2 ABCABC，，，，tantantan,, tan,,,33,, ABC，，,,, 又 tantan3,,,,33,, tantantanABC，，3所以 ,3 tantantanABC，，33即 , tantantantantantanABCABC，，,,,又 证明如下 (tantantan)ABC，，tantantanABAB，，,，,=，， ，，，， tantanAB， = (tantan)AB，,1tantan,AB 22,,tantantantanABAB = 1tantan,AB tantan(tantan)ABAB， ,,1tantan,AB tantantantantantan()ABCABAB,,,,,,，, ,, ,,,，tantantan()ABAB = 8 数学与统计学院2012届毕业论文 tantan(tantan)ABAB， ,,1tantan,AB 所以 tantantanABC,,33, 3.2利用Jensen不等式2和凸函数性质证明不等式 例2 用凸函数的方法证明代数平均数于几何平均数，在条件 ,,,,qxI0,,ii 并且有,设 证明 : in,1,2,,？in,1,2,,？.qqq，，，,？1下a,0,12ni aaa，，？n12nn ,,aaa？12n111n，，，？aaa12n 1,lnx证明 设=,有根据定理1知fx(),,，,x(0,),fx''()0,,2x ,lnx=在上是严格凸函数,根据Jensen不等式2,得fx()x,，,(0,) fqxqxqxqfxqfxqfx，，，,，，，？？()()(),其中, ,,，,x(0,)q，，,11221122nnnnii 10,,并且又取,=,, in,1,2,,？,，,(0,)in,1,2,,？xa,qqq，，，,？1qiii12nn 则有 aalnaaaalnln,,nn1212,，，，,,,,,ln？？,, nnnnnn,, 111,,aaa，，？n12nnnnlnlnlnlnln,,，，，,,aaaaaa？？等价于式子 ,,nn1212n,, aaa，，？12nn即 aaa？,12nn即不等式的后半部分成立 只需证明不等式 nn成立即可 ,aaa？12n111，，，？aaa12n 同理有 9 数学与统计学院2012届毕业论文 ,,n1111n,lnxxx？ lnlnlnln,,，，，？12,,n111nxxx12n,,，，，？xxx12n nn所以 aaa？,12n111，，，？aaa12n于是,,有 ,,nN aaa，，， n12nn ,,aaa？12n111n，，，？aaa12n 3.3凸函数在积分不等式中的应用 ab,例3 设是区间上的凸函数, fx(),, bfafb，，，，，ab，1,,则 ffxdx,, ，，,,,a22ba,,, bfxfxdx证明 由的凸性保证了有意义, ，，，，,a ab，ab，，，，，当,,有 xb,,abxa，,,,,,,,22，，，， abxabx，，，,11,,,,,, fffxabx,,，，,(),,,,,,2222,,,,,, 11 ,，，,fxfabx()(())22 ，abbb2fxdxfxdxfxdx,，因此 ，，，，，，ab，,,,aa2xabu,，,,令得 abab，，b22fxdxfabudu,,，,= fabxdx，,，，，，，，ab，,,,ab2 bb因此 , fxdxfabxfxdx,，,，[()]，，，，，ab,,a2 1111，，又 [](),fabxfxfabxx，,，,，,，，，，，,,2222，， 10 数学与统计学院2012届毕业论文 11，， fabxfxfabxx，,，,，,，2，，，，，，,,22，， bbb11，，所以 fabxxdx2，,，,fxdxfabxfxdx,，,，[()]，，，，，，，ab，ab,,,,,a22，，22 bababba，，,2()2(),,fdxfab，, 2222 bab，1,,即 ffxdx,，，,,,a2ba,,, bx,另外令 ,,,ba, 得 fxfabfafb()(1)()(1)(,，,,，,,,,,),, bxxa,,, fabfafb[(1)],,，,,，，，，，baba,, bbbbxxa,,有 fxdxfadxfbdx,，，，，，，，,,,aaababa,, fafb，，，，，,,ba ，，2 bfafb，，，，，1所以 fxdx,，，,a2ba, 综上所述不等式 bfafb，，，，，ab，1,,ffxdx,,成立. ，，,,,a22ba,,, 4.凸函数的推广 4.1凸函数的定义推广 2DR,定义1若区域满足:其中任意两点的连线仍属于D, ,,,,，,，,,(,),(,),(0,1),((1),(1))xyxyDxxyyD,,,,,有即,则称D为11221212 凸区域. ,,,(0,1),,,(,),(,)xyxyD定义2设D为凸区域, , 1122 11 数学与统计学院2012届毕业论文 fxy,若有,则称为fxxyyfxyfxy[(1),(1)](,)(1)(,),,,,,,，,，,,，,，，12121122 D上的凸函数. 4.2凸函数的性质及定理推广 4.2.1凸函数的性质推广 fxy,fxy, 设二元函数在凸区域上有定义, 函数为上为凸函数，则以下DD，，，，命题成立. ,,pxypxyD,,,pxy, ?,线段上一点，不妨设 xxx,,pp，，，，，，1112111212 总有 (),yyy,,12 xxxx,,21 fxyfxyfxy(,)(,)(,),，1122xxxx,,2121 yyyy,,21 fxyfxyfxy(,)(,)(,),，1122yyyy,,2121 xxyy,,21证明 设则或,,t,,t,(0,1)xtxtx,，,(1)ytyty,，,(1)1212xxyy,,2121 由二元凸函数的定义知 fxyftxxtyy(,)((1),(1),，,，,,,1212 ,，,tfxytfxy(,)(1)(,)1122 xxxx,,11,，fxyfxy(,)(,) 1122xxxx,,2121 yyyy,,11,，fxyfxy(,)(,) 1122yyyy,,2121 1xxyy，，11212特别的当时，有.即凸函数上t,ffxyfxy(,)[(,)(,)],，11222222 任意两点中点函数值不大于这两点函数的平均值. fxy,,xyxy,,,,D ?设在凸区域D上有连续的一阶偏导.则对于，，，，，，1122 ''fxyfxyfxyxxfxyyy,,,(),(),，,，,有 ，，，，，，，，xy221111211121 fxy,,(,),()xyxy证明 由于为D上的凸函数，故,D, ，，112,2,,,(0,1)fxxyyfxyfxy[(1),(1)](,)(1)(,),,,,,,，,，,,，,,有 21212211 12 数学与统计学院2012届毕业论文 即 fxxyyfxyfxyfxy[(1),(1)](,)(,)(,),,,,,,，,，,,,,2121112211 fxy,fxy,因在凸区域D上有连续的一阶偏导，故可微:有 ，，，， fxxyyfxy[(1),(1)](,),,,,，,，,,212111 ,,= fxyxxfxyyyxxyy(,)()(,)()()(),,,,,,,，,，,，,xy11211121121221 其中因此 (,0).,,,12 ,, fxyxxfxyyyxxyy(,)()(,)()()(),,,,,,,，,，,，,xy11211121121221 ,,,,fxyfxy(,)(,)2211 ,,0又，所以有 ,,fxyxxfxyyyxxyy(,)()(,)()()(),,,，,，,，, xy11211121121221 ,,fxyfxy(,)(,)2211 ,,fxyfxyfxyxxfxyyy(,)(,)(,)()(,)(),，,，,整理得 221111211121xy4.2.2 凸函数的定理推广 fxy,定理2 (Jensen不等式)是凸区域D上凸函数的充要条件是 ，， n ,,xyD,in,1,2,,？及有 ,,,,,01,，，，，ii,ii,1i nn,, fxyfxy,,,,,,，，,,iiiiii,,,,11,,ii 证明 充分性 当n=2时有定义知命题成立.假设当n=k时命题成立,即: kkkk,,ik,1,2,,？.有 fxyfxy,,,,,,,,,,01,,，，，，,,,,iiiiiiii,,,1i,,,111iii,, k，1 ,,(,)xyD,,,0当n=k+1时,及且, ,,,，1,1,2,1ik？，，,iiiii,1 k,i,,ik,1,2,,.？,,0令则且,,1, ,,iii1,,,1i，1k kkkk，，11，，,,,,ii fxyfxxyy,1,1,,，,，,,,,,,，，，，,,,,,,iikikkkikk，，，，，，111111,,11,,,,,,iiii,,,,1111，，kk，，11 13 数学与统计学院2012届毕业论文 kk，， fxxyy1,1,,,,,,,,，,，，，，，,,，，，，，，111111kiikkkiikk,,,,11ii，， kk,, 1,,,,,,fxyxfxy,,，，，，，,,，，，，，11111kiiiikkkk,,,,11ii,, k ,,，1,,,,fxyfxy，，，，，，,，，，，1,111kiiikkk,1i k ,,，(1),,,,,fxyfxy，，，，,，，，，1111kiiikkk,1i k ,，,,fxyfxy,,，，，，,，，，111iiikkk,1i k，1 ,,fxy,，，,iiii,1 即当n=k+1时成立,根据数学归纳法知命题成立. 必要性显然.证毕. 结束语 凸函数的应用领域非常广泛，特别是在不等式的证明当中，运用它解题显得 巧妙，简练。利用函数的凸性来证明不等式,通常需要构造适当的凸函数, 再运 用函数的凸性的定义及几个等价论断,可将一些初等不等式, 积分不等式转化为 研究函数的性态, 从而使不等式简化进而得到证明. 。 14 数学与统计学院2012届毕业论文 参考文献 [1] 华东师大数学系. 数学分析[M] . 北京: 高等教育出版社, 1999. [2] 翟连林,姚正安. 数学分析方法论[M] .北京:北京农业大学出版社, 2000. [3] 孙本旺, 汪浩. 数学分析中的典型例题和解题方法 [4] 林源渠,方企勒. 数学分析习题集[M] .北京:高等教育出版社, 2002. [5] 刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1997. [6] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析(上册、下册)(第三版[M].北京:教育出版 社,1988. [7] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社， 2001.75) 15 数学与统计学院2012届毕业论文 致谢 在本论文的写作过程中,我的导师杨钟玄倾注了大量的心血,从选题到开题报告, 从写作提纲，到一遍又一遍的指出具体问题,严格把关,循循善诱,在此我表示衷心感谢.同时我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的各位老师.我要向诸位老师深深地鞠上一躬。感谢我的同学,四年来对我学习、生活的关心和帮助。 时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，春梦秋云，聚散真容易。离校日期已日趋临近，毕业论文的完成也随之进入了尾声。从开始进入课题到论文的顺利完成，一直都离不开老师、同学、朋友给我热情的帮助，当然父母的支持与关怀十余位重要的，在这里我对曾经给我帮助与支持的人表示真心的感谢，谢谢你们! 16