[数学论文]几何凸函数的定义

[数学论文]几何凸函数的定义[数学论文]几何凸函数的定义 1 几何凸函数的定义、性质和应用张小明 ,浙江海宁电大 314400, 前言控制不等式作为一门新兴的学科是近几年的事，归功于 A.W.Marshall和I.Olkin在1979年，出版了著名的书“Inequalities:Theory of Majorization and Its Applications”，详情也可参考书[1](而后世界各地的学者在控制不等式上的研究非常活跃，国内外的研究成果部分可参考[2](但到目前为止，控制不等式主要建立在凸函数和Schur-...

[数学论文 ]几何凸函数的定义 1 几何凸函数的定义、性质和应用张小明 ,浙江海宁电大 314400, 前言控制不等式作为一门新兴的学科是近几年的事，归功于 A.W.Marshall和I.Olkin在1979年，出版了著名的书“Inequalities:Theory of Majorization and Its Applications”，详情也可参考书[1](而后世界各地的学者在控制不等式上的研究非常活跃，国内外的研究成果部分可参考[2](但到目前为止，控制不等式主要建立在凸函数和Schur-凸函数上，而凸函数概念本身有许多推广(可见[3]和[16])，对于建立在其余凸函数的控制不等式，则很少见到(本文的目的是把凸函数的控制不等式的理论和方法，平行地推广到一种名为几何凸函数上去，同样能用一种统一的方法方便地推导一些已知的不等式，同时也能得到一些新的不等式，所以它的应用范围是广泛的(凸函数与几何凸函数在定义上是平行的，在应用上各有千秋，一个不等式有时用凸函数的性质来证明比较简单一些，有时则反之;同样构造发明一个不等式时,用凸函数的性质有时要强，有时则用几何凸函数的性质得到的结果要强;当一个函数既是凸函数又是几何凹函数时，则同时能得到它的上下界，岂不美哉,从某种角度上看，凸函数的控制理论和方法是用变量的算术平均，来估计一个代数式的大小，而本文要阐述一个道理:几何凸函数的控制理论和方法是用变量的几何平均，来估计一个代数式的大小.总之，笔 1 者认为对于一个对称代数式，应同时要用凸函数性和几何凸函数性来估计它的大小，缺一不可( 关于几何凸函数，最先的定义是在[4]中出现的，文[4]中定义一类了几何下凸函数，并提出了有关其等价性定义的几个猜想，文[5]-[8]分别解决这几个猜想，且[7]还讨论几何凸函数的定义域和值域，文[8]开始把原定义改名为几何凸函数(在文[9]中，提出了对数控制这个概念，得到了国内第一个几何凸函数的控制不等式，由于与控制相联系了，几何凸函数的研究踏上了新的里程(文[10]给出国内第一个一维几何凸函数的微分判据(同时[11]也开始了几何凸函数的研究，其也是国外第一个定义几何凸函数的，把几何凸函数定义为GG-凸函数或积凸函数(这与杨定华在[5][6]中的名称是一样的)，也得到了几个定义的等价性，一维几何凸函数的微分判据，引入对数控制概念，与控制相联系进行研究([13]利用几何凸函数的性质，得到了一个有关排序的不等式，[14]定义了N维几何凸函数，得到了Holder不等式的一个简单证明，[15]指出了[9][11]中的一个定理与Karamata控制不等式是等价的(在这几篇文中涉及到应用的方面，[9][11][14]作得比较好，特别是[14]，因例子比较丰富，更使读者相信几何函数是一个重要的一个概念( 本文的目的是全方位反映到目前为止几何凸函数的研究成果，同时也溶进笔者研究的一些结果，为了让读者更轻松阅读，赋与一些有一定价值的实例(由于本人对两个向量相互控制使用技巧不成熟，所以完全相信有许多优越的不等式还没有被发现，希有识之士能探索和研究这个新领域( 本文的部分内容已在中国不等式研究小组的网站 ()上公布过，以后先后得到了中国不等式研究小组成员杨路教授、石焕南教授、萧振纲付教授、张晗方付教授、赵长健付教授、杨定华老师、杨志明老师、李康海老 1 师和吴裕东老师的帮助;特别是石焕南教授数十次邮寄资料给笔者，满足笔者的各种要求，这是一般人难于做到的，在此表示真诚的谢意(浙江电大海宁分校的领导对笔者的学术研究，一贯给予精神上和物质上的支持，在此也表示感谢.为了赶时间评职称，此文从构思到成文是仓促中进行的，之中一定有许多不尽人意的地方，烦请读者一一指点给本人(zjzxm79@sohu.com). 参考文献 [1]王伯英(控制不等式基础[M](北京:北京师范大学出版社，1990( [2]石焕南(控制不等式参考文献(不等式研究通讯(中国不等式研究小组主办)， 2003(1):23-27( [3]匡继昌(常用不等式(第二版)[M](长沙:湖南科技出版社，1993(5)( [4]张承宇( 广义凸函数性质初探( 中学数学[J] 1998(4)( [5]杨定华(关于积凸(凹)函数的几个不等式(研究通讯，1998(4)( [6]杨定华(关于积凸函数几个不等式的加强(研究通讯，1999(2)( [7]李世杰( 广义凸函数定义和性质之我见( 中学数学 ,1999(5) ( [8]单宝良(关于几何凸函数、调和凸函数和平方凸函数(中学教研，1999(8) [9]杨定华(有关积凸函数的一个不等式(不等式研究[M])(杨学枝主编),西藏:西藏人民出版社，2000，71-74( [10]于小平( 谈广义凸函数( 第四届初数会( 2000(8) [11]CONSTANTIN P.NICULESCU.CONVEXITY TO THE GEOMETRIC MEAN. Mathematical Inequalities & Applications .2000(2):155-167. [12]沈文选 (广义凸函数的简单性质 (中学数学 (2000(12) ( [13]赵小云 ,李世杰( 几何凸函数的若干性质( 数学通讯, 2003(5) [14]杨定华(关于几何凸函数的不等式[J](河北大学学报(自然科学版),2002,22(4):325-328( [15]张小明，吴善和.几何凸函数的一个充要条件及其应用,湖南理工学院学报， 1 2003(9). [16]胡毓达，孟志青.凸分析与非光滑分析[M](上海:上海科学技术出版社，2000.

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