浅谈分块矩阵的行列式及逆矩阵
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专题研究
浅谈分壤降行IJj或及逆阵
◎胡俊红(山西省晋中市师范高等专科学校030600) 矩阵是线性代数的重要组成部分,也是数学许多分支研究 和应用的重要工具.对于阶数比较高的矩阵,为了计算方便且 显现出矩阵的局部特征,我们常用分块矩阵来进行讨论和运 算.本文在分块矩阵原有结论的基础上,对两种特殊的分块矩 阵,讨论了其行列式及可逆矩阵的性质,并给出了证明. 一
,定义及定理
定义若矩阵A的分块矩阵具有以下形式:
A=
A.0…0
DA…0
00…A
其特点是不在主对角线上的子块都是零矩阵,而在主 对角线上的子块均为方阵,这样的矩阵称为分块对角矩阵. 引理1detA:det(A1)?det(A2)…??det(A). 引理2若矩阵A可逆,则A,=
定理
A=
AI-0
0
::
??
0D
0…0AI]
?…?特点是不在副对角线上的子
A…00J
块都是零矩阵,而在副对角线上的子块均为方阵.则有:
(1)detA=xdet(A1)?det(A2)…??det(A),其中每 个子块方阵的阶数分别为,,…,,设m为.,,…, 中偶数的个数,则
=
f1_n3+或2美-m4k1'为自然数.一1一(m=n一4+或m=一+)目'
(2)若矩阵A可逆,则A,=
0
0
:?
A
0A:
A0
::??
00
二,一类特殊的分块矩阵
引理1设A,日分别是m与n阶方阵,则 (?)若A可逆时,IAc尝l=lAl?IB—cA.l; cz,若日可逆时,JI=IA-DB-~Cr?-. (1)IAo=…?;
(2)l曰0A『=(一1)…?.
阵=A
.
】可逆的充分必要条件是A—BD-1c及
D—CAB都是可逆的.
定理2设矩阵A可分块为以下情况: ()设A=[:],若.,c可逆,则
=
一B,];
(z)设=[:],若曰,c.可逆,则
A-l=[,l-lA
(s)设A=[:],若,c.可逆,则
A—l=[A0一AC;c】;L,叫J
?
??
?
(4)设A【:c,J,若,Cl可逆,则
=
【一c
即主对角线含有零矩阵时,副对角线互换位置再求逆,
主对角线互换位置,原来的零矩阵变成:负的与A相邻的
子块的逆左乘A,再右乘与之相隔的子块的逆. 副对角线含有零矩阵时,主对角线直接求逆,副对角线
互换位置,原来的零矩阵变成:负的与B相邻的子块左乘
B.再右乘与之相隔的子块的逆.
三,定理证明及应用
证明(1)设A的逆矩阵也可分块为 .=则
…
AI复
=
[AlD
,
AlD?+B1D2lE,
,
D
D
A
,
Dl1=D,
?
..,
c可..DlZ
:
=C1-1
,
LD22=一A1C,
即,=[一Bc一]成立.同样的证明
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
可 以证明(2)(3)(4)成立,证毕.,
四,结束语
本文根据已有的分块矩阵的行列式和逆矩阵的结论,
归纳
总结
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出几条定理并给出证明,高阶矩阵经分块后有若
干子块是有特征的矩阵时,直接应用以上结论,可以大大减
少计算量.
【参考文献】
[1]钱椿林.线性代数(第三版).北京:电子工业出版 社,2001,58—59.
[2]杨子胥.高等代数习题解.济南:山东科技出版社, 2001,545,549.
数学学习与研究2010.13
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