关于凸函数的定义及分析性质

关于凸函数的定义及分析性质关于凸函数的定义及分析性质关于凸函数的定义及分析性质第2期(总第53期) b,Io.2(SumNo..53)L 娄 O 虑 U 师专学撤 COLLEGEOURNALOFLOUDITEACHERSCOLLEOEJ' .一 1998年6月 June.1998 昌.函数析 (娄底师专数学系,湖南娄底,417000) 摘要本文给出了凸函数的一十等价定义,并推导出了凸函数的几十分析性质' 关键词凸函数塑廷 1凸函数的定义 A 数 B慧言ABAI5,()在,两点之间图象总在,两点连线的F...

关于凸函数的定义及分析性质关于凸函数的定义及分析性质第2期(总第53期) b,Io.2(SumNo..53)L 娄 O 虑 U 师专学撤 COLLEGEOURNALOFLOUDITEACHERSCOLLEOEJ' .一 1998年6月 June.1998 昌.函数析 (娄底师专数学系,湖南娄底,417000) 摘要本文给出了凸函数的一十等价定义,并推导出了凸函数的几十分析性质' 关键词凸函数塑廷 1凸函数的定义 A 数 B慧言ABAI5,()在,两点之间图象总在,两点连线的F方,巾且载酬任 =g()=,(n)+x--a) 从而善寡,匕任取两惑,b,以及任取?(拉,6),总有定义:如果在区间J上任取两点d,, 以及任职?'J'屉 f(x)?,()+嚣,(,()?g(),则称,()在区间上为凸函数a特别当:时,有,()?丝 2凸函数的几个分析性质引理:若直线z过点A(d,,)),B(b,,(b)),f的直线方程为 =g)=,)+,?),则有 (aq-h)+g(6一)2g()其中0?^?生性质1若,()在,上为凸函数,则有喜??兰二坠?,()其中0??' 证由凸函数的定义,第二个不等式显然成立,叉 ")?:[d+h),f(b--h)?譬(b--h) .,+^)+(6^)?g(口+^)+g(6一)=g(d)+g(6)一一,(d)+,(6) 故丝?軎() 性质2』()在]上为凸函数,任取?,6)有 f(x)--f(a)~ , J'(b)--f(a) . 证明:由凸函数的定义,()?g()=,()+吾三:l,('3 1998年第2期吴集林:关于凸函数的定义及分析性质9 故?式成立. 易知@中两个不等式都是不等式?的恒等变形,性质3若,)在,b3.kS~g,数,则,)在,阳上有界. 证明:任取xE[d,6],f(x)?g()?max{g),g(6))一max{,),,(6)) ,)+,(一)?,(),,)?,(),,()?,()一M 故,)在[d,6]上有界性质4若,(z)在,阳为凸函数,则,)在,6)上连续. 证明:任取-r?(n,6),取?充分小,使x+3xE(d,6),由性质(2)当?>0时 ,()--f(a)一,,+)--f(x),,,(6)--f(x) —一————一—二一当?r<0时 ,()?f(x+At) 一血故l,+)--f(x)l?llmax{ ?,(6) b f(x) ,(6)--f(x)..,)--f(a) 6一_r.'._r—d 故li— m . (f(x+ZLr)一,())一0,所以,()在,6)上连续性质5若,)为,上的凸函数,则,(z)在,上可积,且 ? ~ J(x)dxTa+b… 证:由性质4,f(x)在[d,6]上最多除d,6外连续,故,(z)在[,6]上可积,将 ,6]等分为2"个小区间,取.,卅,a+.2.-.,'L一.十—'十百2..', 抽一:一d+b z -- " a(2"一2)IX2n-L—d+b— -- a(2"一1) ,2一6 有g(_r.)+g(_r2)一g(L)+g(X2ML)一…一g(,)+g(2…)2g() 一g(d)+g(6) ?耋一2?一g一6?6一口一皇?0?r一一—— 一鱼? 叉 1.宝m)J_r……" 2n~xb--a 一耋0,dZ"… ...?a+b i『_?,(— /(?),,(6) ————_=一—— m胗2f'丁a+b)_l,() 半 ?> 当当 ^^ 一+ 一令地应相半半当当 ^ +.一 . ??,???,,?|??? 【一争 10娄底师专总第53期故看?百x)dx?,半 3几点注意 1.若f(z)在E口,6]上为凸函数,则f()在Ea,6]上不一定可导,例如 ,)=--.Z 33:.显然,b)在[0,6]为凸函数,但,)在=3不可导 2.若,)在,6]上为凸函数,则,(z)在岛]上不一定连续,倒如 f5一一1) ,(z)=(--l<x<1) I5:1) ,)在[一1,1]为凸函数,但,(z)在一士1不连续. 参考文献 1华东师大数学系.数学分析(上).北京:高等教育出版社. 2宁新民.凸函数性质及应用.南都学坛.1993年第3期. 3孙风坡等.关于凸函数又一性质及推广.荷择师专-1995年第2期

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