质数合数专题讲座

质数合数专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 讲座 知识要点: 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住:1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 解答: ?210=2×3×5×7 ?可知这三个数是5、6和7。 例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少, 解答: 把40表示为两个质数的和，共有三种形式: 40=17+23=11，29=3+37。 ?17×23,391,11×29,319,3×37,111。 ?所求的最大值是391。 答:这两个质数的最大乘积是391。 例3 自然数123456789是质数，还是合数,为什么, 解答: 123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 连续九个自然数中至多有几个质数,为什么, 解答: 如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数(如:1,9中有4个质数2、3、5、7)。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解答: ?5=5， 6=2×3，7=7，14,2×7，15=3×5， 这些数中质因数2、3、5、7各有2个，所以如把14(2×7)放在第一组，那么7和6(2×3)只能放在第二组，继而15(3×5)只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样14×15=210=5×6×7。 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。 例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560。求这三个自然数。 解答: 先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560。40×40×40,64000，远大于42560。因此，要求的三个自然数在30,40之间。 42560=×5×7×19,×(5×7)×(19×2),32×35×38(合题意) 要求的三个自然数分别是32、35和38。 例7 有3个自然数a、b、c。已知a×b=6，b×c=15，a×c,10。求a×b×c是多少, 解答: ?6,2×3，15=3×5，10,2×5。 (a×b)×(b×c)×(a×c)=(2×3)×(3×5)×(2×5) ?××=×× ?, a×b×c=2×3×5,30 例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数。求a的最小值与这个平方数。 解答: ?a与1080的乘积是一个完全平方数， ?乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。 ?1080×a=××5×a， 又?1080=××5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数， ?a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。 ?1080×a,1080×2×3×5,1080×30,32400。 答:a的最小值为30，这个完全平方数是32400。 例9 问360共有多少个约数, 解答: 360=××5。 为了求360有多少个约数，我们先来看×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、、，即得到××5(360)的所有约数。为了求×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、，即得到×5的所有约数。 记5的约数个数为， ×5的约数个数为， 360=××5的约数个数为.由上面的分析可知: =4×，,3×， 显然=2(5只有1和5两个约数)。 因此,4×=4×3×=4×3×2=24。 所以360共有24个约数。 说明:=4×中的“4”即为“1、2、、”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360,××5中质因数2的个数加1;,3×中的“3”即为“1、3、”中数的个数，也就是××5中质因数3的个数加1;而=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即××5中质因数5的个数加1。 因此,(3，1)×(2+1)×(1+1)=24。 对于任何一个合数，用类似于对××5=360的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论: 一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。 习题: 1(在下面算式的方框内，各填入一个数字，使得???×?=1995成立。 解答: 根据题意，要使一个三位数与一个一位数的积等于1995，那么这两个数的积应与1995有相同的质因数。 1995=3×5×7×19 用1995的质因数3、5、7分别作为一位数，可以写出三个满足条件的算式。 665×3,399×5,285×7。 2(自然数a乘以2376，正好是自然数b的平方。求a的最小值。 解答: 根据题意，a与2376的积是一个平方数，由于平方数的每个质因数都是偶数个，所以可先把2376分解质因数，再根据a最小的要求，求得a的质因数，使a与2376的相同质因数配成对。 2376=××11，质因数 2、3都有3个，质因数11有1个，要配对，至少 、3、11各1个。 还需2 所以，a最小是2×3×11=66。 3(用一个两位数除1170，余数是78，求这个两位数。 解答: 根据题意可知，被除数1170与余数78之差1092应是除数与商之积，所以，可把1092分解质因数，再重新组合这些质因数，写成两数之积，其中大于78的两位数就是所求的。 1092=×3×7×13=84×13=91×12 所求两位数为84或91。 4(小虎用2.16元买了一种小画片，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还可以多买3张。问小虎买了多少张画片, 解答: 根据题意，画片的单价与画片的张数之积应等于216(分)，那么它们乘积的质因数应与216相同。可先把216分解质因数，写成两数相乘形式，再根据条件求解。 216=×=8×27=9×24 显然，216分可买27张8分1张的画片，可买9分1张的画片24张，8分比9分便宜1分，27张比24张多3张，恰好符合条件。所以，小虎买了24张画片。 5(求240的约数的个数。 解答: ?240,××， ?240的约数的个数是(4，1)×(1+1)×(1，1)=20， ?240有20个约数。 6(有一个自然数，它有3个不同的质因数，而有16个约数。其中一个质因数是两位数，它的数字之和是11，并要求这个质数尽可能大，问这个自然数最小是多少, 解答: 因为已知一个质因数的两位数，不妨设为ab，则a+b=11，所以ab只有可能等于29，47，83，又要求这个两位数尽可能大，故只能是83;又因为这个自然数尽可能小，它还有3个不同的质因数，故另外二个质因数可取2和3:设所求的自然数为N，N=。因为(r+1)(p+1)(q+1)=16，要使N最小，即只要指数r、p、q尽可能小，但不能小于1。故可得r=3，p=1，q=1，所以最小的N=×3×83=1992。 7(把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少, 解答: 首先假设可以分成五个质数之和(分成6个以上质数之和不可能):33是奇数，因此五个质数中不能有2(否则和是偶数)，取最小连续五个奇质数3，5，7，11，13的和是39超过33。所以分成五个是不可能的。 假设33可以分成四个质数之和，33是奇数，因此四个数中一定有一个是偶质数2，即其余三个的和是31，显然可以找出其余三个分别是:3，5，23 ;3，11，17; 7，11，13 ;5，7，19 三数乘积最大的是7×11×13,1001 假设33可分成三个质数和，只可能是 3，13，17; 3，11，19; 3，7，23; 5，11，17。 乘积均小于2×7×11×13，33若分为两个质数之和，只可能是2和31，乘积仅为62。故应将33写成四个质数:2，7，11，13的和。 8(分别很久的两位老朋友相遇了，其中一个说:他有三个孩子，他们年龄的积等于36，而他们的年龄的和是相遇地点所在房子的窗户数;第二人说，他还不能确定这几个孩子的年龄，于是第一人又补充说他的第二、第三个孩子是双胞胎，第二人立刻说出了孩子的年龄，试问每个孩子的年龄各是多少, 解答: 先把36分解质因数，36=2×2×3×3，36按三个因数的所有可能的分解式为: 36=1×1×36=1×2×18=1×3×12=1×4×9=1×6×6=2×2×9=2×3×6=3×3×4 这8个式子各因数之和分别是38，21，16，14，13，13，11，10，其次房子的窗户数第二人是知道的，这意味着知道了年龄之和，但第二个人还不能确定孩子的年龄，可见至少有两组年龄和是一样的，它们是2，2，9和1，6，6，由此可知，年龄和和房子的窗户数都是13。在以上两组中，1，6，6可以排除，因为两个年龄小的孩子是双胞胎，剩下来的是2，2，9，所以三个孩子的年龄分别为2岁，2岁，9岁。 答:他们的年龄分别为9岁，2岁，2岁。 9(5112的约数有多少个。 解答: 5112=2×2×2×3×3×71=×× (3+1)×(2+1)×(1+1)=24 10(在1,300之间，求出:约数个数正好是15个的自然数。 解答: 首先看一下组成这数的质因子的情况是什么样子的。 15=1×15=3×5 根据约数的个数的公式，这个自然数中只含有两个不同的质因数，不妨设这两个质因数分别是A、B。 当15分解为1×15=(0+1)×(14+1)，说明这个自然数可以写为×=，即是14个相同质数的乘积，考虑到自然数的范围在1,300之间，设B=2，但是=16384,300，超出范围，因此这种情况是不可能的。 当15分解为3×5=(2+1)×(4+1)时，即自然数可记为× 〈1〉当A=2,B=3时,×=324,300 (超出) 〈2〉当A=3,B=2时,×=144,300 (满足条件) 〈3〉当A=5,B=2时,×=400,300 (超出) 由此可以得出，对于任何A,3或B,2的取法都不符合条件。 所以，在1,300之间，约数个数是15个的自然数只有144。 11(有一个自然数含有10个不同的约数，但质约数只有2和3。那么，这个自然数最大是几, 解答: 设这个自然数表示为×(m,n是整数) 根据约数个数公式: 约数个数10=(m+1)×(n+1)=1×10=2×5 这样，m，n，的取值只有四种可能: 即这个自然数有四种可能的形式: ×, ×,×,× 其中前面两个不合条件应去掉。 比较×和×，显然最大的是×=162。 12(在乘积1000×999×998ׄ×3×2×1 中，末尾连续有多少个零, 解答: 不必真的算出这个乘积，而可以从分析末尾的零是怎样产生的入手。因为2×5,10，所以末尾的零只能由乘积中的质因数2与5相乘得到。因此，只需计算一下，把乘积分解成质因数的连乘积以后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪一个的个数少，乘积的末尾就有多少个连续的零。 先计算乘积中的质因数5的个数。 在1，2，„，1000中有200个5的倍数，它们是:5，10，„，1000。在这200个数中，有40个能被25,整除，它们是25，50，„，1000。在这40个数中，有8个能被125,整除，它们是125，250，„，1000。在这8个数中，有1个能被625,整除，它是625。所以，乘积中的质因数5的个数等于200，40，8，1,249。 而乘积中的质因数2的个数，显然多于质因数5的个数。所以，乘积1000×999×998ׄ×3×2×1中，末尾连续有249个零。 13(把一个两位数质数写在另一个两位数质数后边，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除。试求出所有这样的质数对。 解答: 先利用已知条件，求出这两个质数之和。 设这两个两位数质数分别为x和y，则(100x，y)?是整数，由于 (100x，y)?,(200x，2y)?(x，y),[2(x，y)+198x]?(x，y),2，(198x)?(x，y) 所以198x能被x，y整除。又因为x是质数，所以198能被x，y整除，即x，y是198的约数。因为x与y均为两位数质数，所以一定是两位奇数，从而x，y一定是两位或三位偶数。列举出198的两位或三位偶数约数: 198，66，18。 因为198与18都不能写成两个两位数质数之和，所以不符合题目要求。而66,13，53,19，47,23，43,29，37，故符合题目要求的质数对为: (13，53)、(19，47)、(23，43)、(29，37)。 14(在101与300之间，只有3个约数的自然数有几个, 解答: 只有3个约数的自然数必是质数的平方，反之亦然。 在101至300之间的平方数:、、、、、、。 其中、、是质数的平方，它们分别只有3个约数。 所以，只有3个约数的自然数有3个，即121、169、289。 15(新河村农民用几只船分三次运送315袋化肥。已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋。问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥,(每只船至多载50袋) 解答: 因为每只船载的化肥袋数相等，且分三次把315袋化肥运完，所以每次运送105袋。又每次运送的总袋数105应为每只船上载的化肥袋数与船数的积，即每次运化肥的船数与每只船上的化肥袋数都是105的约数。所以只要把105分解质因数，就可以求出船数和每只船载的化肥袋数。 105,3×5×7。 因为每只船上载的袋数相等且至少载7袋，所以每次用的船数和每只船上所载的化肥袋数有以下几种情况: (1)用3只船，每只船载35袋化肥。 (2)用5只船，每只船载21袋化肥。 (3)用7只船，每只船载15袋化肥。 (4)用15只船，每只船载7袋化肥。 (因为每只船至多载50袋，故每次不能用1只船载105袋。) 16(将下面八个数分成两组(每组四个数)，应该怎么分才能保证两组四个数的乘积相等, 1.4，0.33，3.5，O.3，O.75，0.39，14.3，16.9。 解答: 此题如果采用试验法做，肯定可以找出 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ，但比较费事。下面我们试看用倒着想的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 来考虑这题应如何解。 如果分法找到了，那么上面八个数中的某四个数的积与另外四个数的积一定相等。当这两个积是小数时，把它们同时都扩大相同的若干倍使它们变成整数，这个等式仍然成立。把等式两边的积分别分解质因数，那么两边的质因数肯定一样，而且相同质因数的个数两边也是相同的。 为此，先将上面的八个数同时都扩大100倍，得下面八个数:140，33，350，30，75，39，1430，1690。 把这八个数分别分解质因数: ×5×7 33=3×11 140= 350=2××7 30=2×3×5 75,3×39,3×13 1430=2×5×11×13 1690=2×5× 这八个数分解质因数后一共有6个2，8个5，2个7，4个3，2个11，4个13。为保证两组四个数的积彼此相等，每一组里应该有3个2，4个5，1个7，2个3，1个11，2个13。根据这一要求适当搭配便可找到答案。 现在按照上面分析的思路，可安排第一组里有1690，33，350，30这四个数。 其余四个数算第二组，即1690×33×350×30=1430×39×140×75。 两边同时缩小相同的若干倍，于是得到下面的一种分法: 第一组里的四个数为:16.9，0.33，3.5，0.3; 第二组里的四个数为:14.3，0.39，1.4，0.75。 17(有五个连续的奇数，它们的积为135135，求这五个奇数。 解答: 相邻两个奇数相差为2，现在已知有五个连续的奇数，当我们假定中间那个奇数为x时，那么从小到大这五个连续的奇数分别为x-4，x-2，x，x+2，x+4。根据条件可得方程:(x—4)(x—2)x(x+2)(x+4)=135135。 方程虽然列出来了，但我们不会解这个高次方程，只好另寻它途。 把135135分解质因数:135135=×5×7×11×13，而11与13正好是两个相邻的奇数，从这一事实出发，只要把×5×7适当调配一下，便有×5×7=7×9×15，而7、9、11、13、15正好是相邻的五个奇数，这样就找到了答案。所以这五个连续的奇数为7、9、11、13、15。 18(求小于100的只有8个约数的一切自然数。 解答: 一个大于1的整数的约数的个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(指数)加1的连乘积。这里约数个数为8，而8=2×4=2×2×2=8×1。下面分别讨论。 当8=2×4=(1+1)×(3+1)时，说明所求的自然数分解质因数后，只有两个不同的质因数，它们的个数(指数)分别为1和3。下面求这两个不同的质因数各等于几时，对应的那个自然数不大于100。 如果这两个质因数中有一个为2，它的指数为1。 当另一个质因数为3时，这个自然数为:2×=54，54小于100，是满足要求的一个解。 当另一个质因数为5时，这个自然数为:2×=250，250大于100，不符合要求。 因为=125,100，所以当1个质因数为2，它的指数为1，另一个质因数为大于5的任一质因数时，对应的自然数一定大于100，均不符合要求。 如果这两个质因数中有一个是3，它的指数为1。 当另一个质因数为2时，这个自然数为:×=24，24小于100，符合要求。 因为2×=250,100，所以其他情况对应的自然数一定大于100，不符合要求。 如果这两个质因数中有一个是5，它的指数为1。 当另一个质因数为2时，这个自然数为:5×=40，40小于100，符合要求。 当另一个质因数为3时，这个自然数为:5×=135，135大于100，不符合要求。 如果这两个质因数中有一个是7，它的指数为1。此时另一个质因数只能是2， 这个自然数为:7×=56,100，符合要求，而7×=189,100，不符合要求。 如果这两个质因数中有一个是11，它的指数为1，那么另一个质因数只能是2， 这时这个自然数为:11×=88,100，符合要求。而11×=297,100，不符合要求。 如果这两个质因数中有一个是13，它的指数为1，那么另一个质因数不论是几，所求出的自然数都不符合要求。这是因为13×=104，104,100，不符合要求。 当8=2×2×2=(1+1)×(1+1)×(1+1)时，此时所求的自然数分解质因数后，只有三个不同的质因数，它们的指数都是1。下面从小到大依次看看这三个不同的质因数分别为多少时，所求的自然数符合要求。 当三个不同的质因数分别为2、3、5时，这个自然数为:2×3×5=30，30小于100，符合要求。 当三个不同的质因数分别为2、3、7时，这个自然数为:2×3×7=42，42小于100，符合要求。 当三个不同的质因数分别为2、3、11时，这个自然数为:2×3×11=66，66小于100，符合要求。 当三个不同的质因数分别为2、3、13时，这个自然数为:2×3×13=78，78小于100，符合要求。 当三个不同的质因数分别为2、3、17时，这个自然数为:2×3×17=102，102大于100，不符合要求。 当三个不同的质因数分别为2、5、7时，这个自然数为:2×5×7=70，70小于100，符合要求。 当三个不同的质因数分别为2、5、11时，这个自然数为:2×5×11=110，110大于100，不符合要求。 当三个不同的质因数分别为3、5、7时，这个自然数为:3×5×7=105，105大于100，不符合要求。 ，不符合要求。 其余情况下所求自然数均大于100 当8=8×1=(7+1)×(0+1)时，这说明所求的自然数分解质因数后， 只有一个质因数，它的指数为7。而=128，128大于100，不符合要求。 所以其余情况下所求的自然数也一定都大于100，不符合要求。 所有小于100只有八个约数的自然数共有十个，分别为:24，30，40，42，54，56，66，70，78，88。