备战2013高考 理数十年高考一年模拟分类汇编:专
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
8 平面向量
专题8 平面向量
【2012年高考
试题
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】
1.【2012高考真题重庆理6】设R,向量且,xy,,axbyc,,,,(,1),(1,),(2,4)a,c,b//ca,b则
(A)5 (B) (C) (D)10 1025
2.【2012高考真题浙江理5】设a,b是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a?b
B.若a?b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa
D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
,,,,ab,,ab,3.【2012高考真题四川理7】设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立
||||ab的充分条件是( )
,,,,,,,,,,
ab,,ab//ab,2ab//A、 B、 C、 D、且 ||||ab,
【
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
】C
,,
abab,,,,,【解析】A.可以推得为既不充分也不必要条件;B.可以推得
|a||b|||||ab
第1页 共99页
ab,,或为必要不充分条件;C(为充分不必要条件;D同B. |a||b|
4.【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量,满足|+|=||,则下面结论正确ababab,的是
(A) a?b (B) a?b
(C){0,1,3} (D)a+b=ab ,
ABCDABP5.【2012高考真题江西理7】在直角三角形中,点是斜边的中点,点为线段
22PAPB,CD的中点,则= 2PC
A(2 B(4 C(5 D(10
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,,,,,,,,
ABBC 6.【2012高考真题湖南理7】在?ABC中,AB=2,AC=3,= 1则. BC,___372322A. B. C. D.
【答案】A
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,,,,,,,,,,,,7.【2012高考真题广东理3】若向量=(2,3),=(4,7),则= CABCBA
A((-2,-4) B( (3,4) C( (6,10) D( (-6,-10) 【答案】A
【解析】(故选A( BC,BA,CA,(2,3),(4,7),(,2,,4)
,,,,,8.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β,定义(若,,,,,
,,平面向量a,b满足|a|?|b|,0,a与b的夹角,(0,),且和都在集合a,bb,a,4
,n{|n,Z}中,则= a,b2
135A( B.1 C. D. 222
,,,,
OP9.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中,,将向量按逆时针OP(0,0),(6,8)
,,,,3,旋转后,得向量,则点的坐标是( ) QOQ4
()A()B(72,2),,(72,2),
()C()D(46,2),,(46,2),
第4页 共99页
,ABC10.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足,AP,,AB
3,,RBQ,CP,,,,,若,则= AQ,(1,,)AC2
11,2(A) (B) 22
1,10,3,22 (C) (D) 22
【答案】A
b,c,2,b,c,2【解析】如图,设 ,则,AB,b,AC,c
3BQ,CP,,CP,CA,AP,,c,,b又,,由得BQ,BA,AQ,,b,(1,,)c2
2232,b,,,c,,c,,b,,,c,,b,,,,,b,c,,[(1)]()(1)(1),即2
13222,,,,,,,,,,,,,4(1)42(1)4,,4,,1,0,整理,即,解得(2,,1),022
第5页 共99页
选A.
11.【2012高考真题全国卷理6】?ABC中,AB边的高为CD,若a?b=0,|a|=1,|b|=2,则
(A) (B) (C) (D)
,,,,,: aab,,,1,21045,且12.【2012高考真题新课标理13】已知向量夹角为;则ab,
,
b,_____
,,,,,,,,ABAC,13.【2012高考真题浙江理15】在?ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=________.
【答案】-16
【解析】法一此题最适合的方法是特例法(
假设ABC是以AB,AC的等腰三角形,如图, ,
34AM,3,BC,10,AB,AC,(
第6页 共99页
,,,,,,,,,,,,,,,,34341008,,cos?BAC,(, ABAC,,,ABACBAC,,,,cos1623417,
法二:
22111122. AB,AC,(,BC,AM),(BC,AM),,BC,AM,,,10,3,,162244
,ABCD14.【2012高考真题上海理12】在平行四边形中,,边、的长分ABAD,A,3
|BM||CN|,NBCCD别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则MAM,AN
|BC||CD|的取值范围是 。
15.【2012高考真题山东理16】如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始xOy
P位置在x,此时圆上一点的位置在(0,0),圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心(0,1)
,,,,
OP(2,1)位于时,的坐标为______________.
第7页 共99页
【答案】 (2,sin2,1,cos2)
【解析】因为圆心移动的距离为2,所以劣弧,即圆心角PA,2
,,PCA,22,,则,所以,PCA,,2
,,PB,sin(2,),,cos2,CB,cos(2,),sin2,所以,x,2,CB,2,sin2p22
,所以。 y,1,PB,1,cos2OP,(2,sin2,1,cos2)p
16.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则
的值为________,的最大值为______。 DE,CBDE,DC
,,,,,,
23ab,,ab 17.【2012高考真题安徽理14】若平面向量满足:,则的最小值是ab,
_____。
第8页 共99页
9【答案】 ,8
,,,,,,2223494ababab,,,,,,
【解析】 ,,,,,,,,,,,,229444944abababababab,,,,,,,,,,, 8
ABCDBC18.【2012高考江苏9】(5分)如图,在矩形中,点为的ABBC,,22,,E
,,,,,,,,,,,,,,,,CD中点,点在边上,若,则的值是 ? ( ABAF ,2AEBF F
【2011年高考试题】
一、选择题:
第9页 共99页
1. (2011年高考山东卷理科12)设,,,是平面直角坐标系中两两不同的四点,AAAA2413
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11若 (λ?R),(μ?R),且,则称,调和分割AA,,2AAAA,,AAAA,,4313121412,,, ,已知点C(c,o),D(d,O) (c,d?R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法AA21
正确的是
(A)C可能是线段AB的中点
(B)D可能是线段AB的中点
(C)C,D可能同时在线段AB上
(D) C,D不可能同时在线段AB的延长线上
,3. (2011年高考全国新课标卷理科10)已知a与b均为单位向量,其夹角为,有下列四个
命题
2,2,,,,, ,,,,Pab:10,,,,,Pab:1,,,,12,,,,33,,,,
第10页 共99页
,,,,,, Pab:10,Pab:1,,,,,,,,,,,,34,,,,33,,,,
其中的真命题是
(A) (B) (C) (D) PP,PP,PP,PP,13142324
,,,,,,,,,,,,
BACDEF,,5. (2011年高考四川卷理科4)如图,正六边形ABCDEF中,=( )
,,,,,,,,,,,,
CFBEAD(A)0 (B) (C) (D)
答案:D
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
BACDEFDECDEFCDDEEFCF,,,,,,,,,解析:.
,,,,,
abc、、ab6. (2011年高考全国卷理科12)设向量满足||=||=1, B
A
第11页 共99页 C
D
,,,,,,,10,,=,则的最大值等于 =,c60ab,,,,,acbc,2
(A)2 (B) (c) (D)1 32
【答案】A
,,,,,,,,,,,,,,,
【解析】如图,构造, , , abAC,cAB,AD,
,,,所以四点共圆, ABCD,,,,,,,BADBCD120,60
,
AC可知当线段为直径时,最大,最大值为2. c
7((2011年高考上海卷理科17)设是空间中给定的5个不同的点,则使AAAAA,,,,12345
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
成立的点M的个数为 MAMAMAMAMA,,,,,012345
( )
0 B(1 C(5 D(10 A(
【答案】B
二、填空题:
,,,,,,,,,,,,
,,1,,1,,1. (2011年高考浙江卷理科14)若平面向量,满足,,且以向量,,,
,,,,1,,为邻边的平行四边形的面积为,则与的夹角的取值范围是 。 ,2
,,b,2a,2.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a,b满足(a+2b)?(a-b)=,6,且,,则a与b的夹角为 .
第12页 共99页
,3. (2011年高考天津卷理科14)已知直角梯形ABCD中,AD?BC,,AD=2,BC=1,P,,ADC90
,,,,,,,,
是腰DC上的动点,则的最小值为 . |3|PAPB,
第13页 共99页
,,,,,,,,,,,2cc,,60cc,6.(2011年高考重庆卷理科12)已知单位向量的夹角为,则 ijij
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,222,2244414cos603cccccccc,,,,,,,,,,, 3解析:。 ,,ijijijij
,,2,e,e7.(2011年高考安徽卷江苏10)已知是夹角为的两个单位向量,123,,,,,,,,
a,b,0a,e,2e,b,ke,e, 若,则k的值为 . 1212
5【答案】 4
【解析】
第14页 共99页
2,,,,,,,,,,,,,22,ab,,0,解得,,,,(2)()eekee,,,kk(12)cos2kekeee,,,,,(12)21212112235. k,4
【2010年高考试题】
uur
VABCCD,ACB(2010全国卷2理数)(8)中,点D在AB上,平方(若,CBa,
uuuruur
,,,则 a,1b,2CAb,CD,
12213443(A)ab,ab,ab,ab, (B) (C) (D) 33335555(2010辽宁理数)(8)平面上O,A,B三点不共线,设,则?OAB的面积等于 OA=aOBb,,
222222|abab|||(), |abab|||(), (A) (B)
11222222(C) |abab|||(), (D) |abab|||(), 22
第15页 共99页
(2010重庆理数)(2) 已知向量a,b满足,则 abab,,,,0,1,2,2ab,,A. 0 B. C. 4 D. 8 22
222(2a,b),4a,4a,b,b,8,22解析: 2ab,,
(2010四川理数)(5)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,,,AM则 BCABACABAC,,,,,,,,~16,
(A)8 (B)4 (C) 2 (D)1
,
(2010山东理数) (12)定义平面向量之间的一种运算“”如下,对任意的,a=(m,n),
,令 bp,q),(
,,
,下面说法错误的是( ) ab=mq-np
,,,,,,,,
ab=0 ab=ba abA.若与共线,则 B.
,,,,,,,,,,2222,,RC.对任意的,有 D. (ab)+(ab)=|a||b| ,,a)b=(ab) (
第16页 共99页
uuuruuur
RtABC,,C(2010湖南理数)4、在中,=90?AC=4,则等于 ABAC,A、-16 B、-8 C、8 D、16
1.(2010年安徽理数)
,,,,,,,,,
,ABCMAMBMC,,+02. (2010湖北理数)5(已知和点M满足.若存在实数m使得,,,,,,,,,
ABACAM,,m成立,则m=
A(2 B(3 C(4 D(5
第17页 共99页
(2010浙江理数)(16)已知平面向量满足,且与的夹,,1,,,,,,,(0,),,,,,角为120?,则的取值范围是__________________ . ,
解析:利用题设条件及其几何意义表示在三角形中,即可迎刃而解,本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力,属中档题。
,,,,,,,,
a,1b,2ab,,(2010江西理数)13.已知向量,满足,, 与的夹角为60?,则 abab
3 【答案】
【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式,以及向量三角形法则、余弦定理等知识,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
ab,,3如图,由余弦定理得: aOAbOBabOAOBBA,,,,,,,,
,,,,,,,,
ABCADAB,BCBD,3(2010天津理数)(15)如图,在中,,,
,,,,,,,,,,,,
AD,1ACAD ,,则 .
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识,属于难题。 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ACADACADDACACDACACBAC,,,,,,||||cos||cos||sin???
,,,,
,,BCsinB3
【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影,且均属于中等题或难题,应加强平面向量的基本运算的训练,尤其是与三角形综合的问题。
rrrrrr
abc(2010广东理数)10.若向量=(1,1,x), =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,()(2)cab,,x则= .
第18页 共99页
,,,,,x,210(C(,,解得( cax,,,(0,0,1)()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2cabxx,,,,,,,,,(2010江苏卷)15、(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,点A(,1,,2)、B(2,3)、C(,2,,1)。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数t满足()?=0,求t的值。 AB,tOCOC
(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:
E为B、C的中点,E(0,1)
又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)
21042 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=;
,,,,,,,,,,,,
OC(2)由题设知:=(,2,,1),。 ABtOCtt,,,,(32,5)由(AB,tOC)?OC=0,得:, (32,5)(2,1)0,,,,,,tt
11从而所以。 511,t,,t,,5
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2ABOC,11或者:, ABOCtOC? ,AB,(3,5),,,,,t,,,25||OC
(2010江苏卷)15、(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,点A(,1,,2)、B(2,3)、C(,2,,1)。 (3)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
AB,tOCOC(4)设实数t满足()?=0,求t的值。
第19页 共99页
(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:
E为B、C的中点,E(0,1)
又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)
210 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=; 42
,,,,,,,,,,,,(2)由题设知:=(,2,,1),。 OCABtOCtt,,,,(32,5)由()?=0,得:, AB,tOCOC(32,5)(2,1)0,,,,,,tt
11从而所以。 511,t,,t,,5
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2ABOC,11或者:, ABOCtOC? ,AB,(3,5),,,,,t,,,25||OC
【2009年高考试题】
10.(2009?广东理6)一质点受到平面上的三个力FFF,,(单位:牛顿)的作用而处于123
060平衡状态(已知F,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为 FFFF32211
2527A. 6 B. 2 C. D.
第20页 共99页
12.(2009?浙江文5)已知向量,(若向量满足,,ca,(1,2)b,,(2,3)()//cab,cab,,()则( )c,
77777777(,)(,)A( B( C( D((,),,(,),,93393993【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考查,很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用(
,,,,,,,,,
cab,//解析:不妨设,则,对于,则有acmnab,,,,,,,1,2,(3,1)Cmn,(,),,,,
,,,7730mn,,cab,,;又,则有,则有 mn,,,,,,,,,3(1)2(2)mn,,93
,,,,,,,,,,,,
BCBABP,,213.(2009?山东理7;文.8)设P是?ABC所在平面内的一点,,则( )
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
PAPB,,0PCPA,,0PBPC,,0PAPBPC,,,0A. B. C. D.
,,,,,,,,,,,,
BCBABP,,2解析::因为,所以点P为线段AC的中点,所以应该选B。 答案:B。
【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,
可以借助图形解答。
,ABC14.(2009?宁夏海南理9)已知O,N,P在所在平面内,且
OAOBOCNANBNC,,,,,,0PAPBPBPCPCPA,,,,,,且,则点O,
,ABCN,P依次是的
(A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心
(C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心
第21页 共99页
(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)
解析:
; 由知为的外心;由知,为的重心OAOBOCOABCNANBNCOABC,,,,,,,,0
?PAPBPBPCPAPCPBCAPBCAPB,,,?,,,?,,?,,,00,,,, 同理,为APBCPC,?,,.ABC的垂心,选
023.(2009?辽宁文理3)平面向量a与b的夹角为,a,(2,0), | b |,1,则 | a,2b |, 60
33(A) (B)2 (C)4 (D)12
,,,
abc16.(2009?福建理9,文12)设,,为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,
,,
ab且满足与不共线,
,,,,,,
acacbc, ??=??,则? •?的值一定等于
,,,,
abbcA(以,为邻边的平行四边形的面积 B. 以,为两边的三角形面积
,,,,
abbcC(,为两边的三角形面积 D. 以,为邻边的平行四边形的面积
,,,,,,,,,,
ab,bcbcbcba解析: 假设与的夹角为,? •?=,,?,,??cos<,>?=,,?,
,,,,0,ba,ab,•?cos(90)?=,,?,,•sin,即为以,为邻边的平行四边形的面积,故选,
A。
a,b,1aba,bx3.(2009?广东理10)若平面向量,满足,平行于轴,,b,(2,,1)
B a,则 .
解析:或(,1,0),则a,b,(1,0)a,(1,0),(2,,1),(,1,1)
C A P
第7题图
第22页 共99页
或. a,(,1,0),(2,,1),(,3,1)
,,,,,,o4.(2009?江苏)已知向量和向量的夹角为,,则向量和向量的数量30abab||2,||3ab,,,,
积 。ab,=
,,3解析: 考查数量积的运算。 ab,,,,,2332
,,,,,,,,o5.(2009?安徽理14)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为. OAOB120
,,,,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动. AB
,,,,,,,,,,,,
若其中,则xy, xyR,,OCxOAyOB,,,
的最大值是________.
,,,,,,,,,,,,113,,,,,,,,BABCBD,,,,,,,,,,,,,,DC14.(天津理.15)在四边形ABCD中,==(1,1),,AB
BABCBD则四边形ABCD的面积是
,,,,,,,,
DC解析:因为AB==(1,1),所以四边形ABCD为平行四边形,所以
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1133BABCBDBABC,,,,(),,,,,,,,,,,,,,,, BABCBDBD
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
?,,,,,BDBABCBABCBD33,2,6即
第23页 共99页
16S,,,,,,2623,ABC则四边形ABCD的面积为15.(天津文15)若等边的24
,,,,,12边长为,平面内一点M满足,则________. 23CM,CB,CAMA,MB,63
解析:合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设 C(0,0),A(23,0),B(3,3)
,,3313135这样利用向量关系式,求得M,然后求得,(,)MA,(,,),MB,(,,,)222222运用数量积公式解得为-2.
,ABC3.(2009?浙江理18)(本题满分14分)在中,角所对的边分别为,且ABC,,abc,,
A25满足, cos,25
,,,,,,,,
,ABCbc,,6 ( (I)求的面积; (II)若,求的值( ABAC,,3a5.(2009?江苏15)(本小题满分14分)
,,,
设向量abc,,,,(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin),,,,,,
,,,
bc,2a(1)若与垂直,求的值;tan(),,,
,,
(2)求的最大值;||bc,
,,
ab(3)若,求证:?.tantan16,,,
解析: 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分14分。
第24页 共99页
6.(2009?广东理16)(本小题满分12分)
,已知向量与互相垂直,其中,(0,)( ,a,(sin,,,2)b,(1,cos,)2
sin,cos,(1)求和的值;
10,(2)若,求的值( cos,,,,,sin(),0,,,102
【2008年高考试题】
ABCDACOE,ODBD5、(2008?广东理科)在平行四边形中,与交于点是线段的中点,
,,,,,,,,,,,,
CDAEFAC,aBD,bAF,的延长线与交于点(若,,则()
11211112ab,ab,ab,ab,A( B( C( D( 42332433
DFFC:1:2,解析:此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的
第25页 共99页
加减法则易得答案B.
答案:B
,,
7、(2008?海南、宁夏)平面向量,共线的充要条件是( ) ab
,,,,A. ,方向相同 B. ,两向量中至少有一个为零向量 abab
,,,,,
,,,RC. , D. 存在不全为零的实数,, ba,,,,,,ab,,01212
,,
解析:若均为零向量,则显然符合题意,且存在不全为零的实数使得,,,,ab,12
,,,,,,,,,,
,,0;若,则由两向量共线知,存在,使得,即,a,0ba,,,,,ab0,,,,ab012
符合题意,故选,
答案:D
,,01((2008?海南、宁夏理)已知向量,,且,,,,ab29a,,(011),,b,(410),,,,则 (
22,,,3解析:由题意 ,,,,,ab=(4,1,),,,,,,16(1)29(0),,,答案:3
,,,,,,0ab,,1,35ab,,1202、(2008?江苏2)的夹角为,,则 ? 。 ab,
解析:本小题考查向量的线形运算。
,,,,,2,,,,13,2225(5)2510abababab,,,,,,,ab,,,,,,,13()因为 ,所以=49。 22
,,5ab,,因此7。
答案:7
【2007年高考试题】
,,,,,,,,,,ab,ab,aaab,,,2、(2007?广东理10)若向量满足||||1ab,,,的夹角为60?,则=______;
第26页 共99页
,ABCCD3、(2007?山东理11)在直角中,是斜边上的高,则下列等式不成立的是 AB
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,22(A) (B) ACACAB,,BCBABC,,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,22()()ACABBABC,,,(C) (D) CD,ABACCD,,,,,,2AB
134、(2007?海、宁理2)已知平面向量,则向量( ) ab,,ab,,,(11)(11),,,22
,( ,( (21),,,(21),,
,( ,( (12),,(10),,
答案::D
13解析:ab,, (12).,,22
【2006高考试题】
一、选择题(共28题)
1((安徽卷)如果,ABC的三个内角的余弦值分别等于,ABC的三个内角的正弦值,111222则
,ABC,ABCA(和都是锐角三角形 111222
,ABC,ABCB(和都是钝角三角形 111222
,ABC,ABCC(是钝角三角形,是锐角三角形 111222
,ABC,ABCD(是锐角三角形,是钝角三角形 111222
第27页 共99页
,,,,,,,,,,
2((北京卷)若与都是非零向量,则“”是“”的 abc,abac,,,abc,,()
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
3((福建卷)已知,,=1,,,=,=0,点C在?AOB内,且?AOC=30?,3OAOBOA,OB
m设=m+n(m、n?R),则等于 OAOCOBn
133A. B.3 C. D. 33
,,,,,,oaab,,,3,13,bab1204((福建卷)已知向量与的夹角为,则等于
(A)5 (B)4 (C)3 (D)1
,,,,,oaab,,,3,13,ab120解析:向量与的夹角为,
,,,,,,,,,,,,,32222ababb,,,,:,,||||cos120||,,? ,||||2||abaabb,,,,,1393||||,,,bb2
A
D
第28页 共99页
CB 图 1
,,
则=,1(舍去)或=4,选B. bb
,,,,,ABC5((广东卷)如图1所示,是的边上的中点,则向量 CD,ABD
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1111A. B. C. D. BCBA,BCBA,,,BCBA,,BCBA2222
1解析:,故选A. CD,CB,BD,,BC,BA2
,,,,,
6((湖北卷)已知向量,是不平行于轴的单位向量,且,则 ab ,3bb,xa,(3,1)
3113133A(() B(() C(() D(() ,,01,,222244
a,7((湖北卷)已知非零向量ab,若a2b与a2b互相垂直,则 、,,b
11A. B. 4 C. D. 2 42
22解:由a,2b与a,2b互相垂直,(a,2b),(a,2b),0,a,4b,0
22即|a|,4|b|,|a|,2|b|,故选D
,,,,,,,2ab8((湖南卷)已知,且关于的方程有实根,则与的x||2||0ab,,xaxab,,,,||0
夹角的取值范围是 ( )
,,,,2,[,][,][,]A.[0,] B. C. D. ,,36633
,,,,,,aba,bt,tt,t9((湖南卷)已知向量若时,?;时,,则 a,(2,t),b,(1,2),12
第29页 共99页
A( B. C. D. t,,4,t,,1t,,4,t,1t,4,t,,1t,4,t,11212121210((湖南卷)如图1:OM?AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,则实数对(x,y)可以是 OP,xOA,yOB
1322A((,) B. (,,)4433
1317B C. (,,) D. (,,)4455
解析:如图,OM?AB,点P由射线OM、线段OB及ABM
A O 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且, OP,xOA,yOB图1
,,,,,,,,11由图知,x<0,当x=,OA时,即OC=,,P点在线44
,,,,,,,,,,,,,,,,15135CDOBCEOB段DE上,=,=,而<<,? 选C. 44444
ABC11((辽宁卷)的三内角所对边的长分别为设向量ABC,,abc,,,,,,,,
C,,若,则角的大小为 qbaca,,,(,)pacb,,(,)pq//
,,,2,(A) (B) (C) (D) 3632
,,,,,,,,
PABAPAB,,12((辽宁卷)设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点是线段上的一个动点,,若,,,,,,,,,,,,,,,,
,OPABPAPB,,,,则实数的取值范围是
第30页 共99页
1212(A) (B) (C) (D) 1,,,,,,,,,,,111222222 ,,,,,1122
【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.
?ABCA13((辽宁卷)已知等腰的腰为底的2倍,则顶角的正切值是( )
315153,( ,( ,( ,( 287
15A2,2tan15A15152tanA,,,解:依题意,结合图形可得,故,tan,A722151521tan,1(),215选D
,ABC14((全国卷I)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数
ca,2cosB,列,且,则
1322A( B( C( D( 4443
第31页 共99页
15((全国卷I)设平面向量、、的和。如果向量、、,满aaaaaa,,,0bbb123112323
o足,且顺时针旋转后与同向,其中,则 ba,230abi,1,2,3iiii
A( B( C( D( ,,,,bbb0bbb,,,0bbb,,,0bbb,,,((全国卷I)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:)的5根细木棒围成一个三角形cm
(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为
222285cm610cm355cm20cmA( B( C( D(
解:用2、5连接,3、4连接各为一边,第三边长为6组成三角形,此三角形面积最大,
2610cm面积为,选B.
ab、ab ,2bab,,1,4,17((全国卷I)已知向量满足,且,则与的夹角为 a
,,,,A( B( C( D( 6432
,,,,
ababxx18((全国II)已知向量,(4,2),向量,(,3),且//,则,
(A)9 (B)6 (C)5 (D)3
第32页 共99页
,,
ab解://,4×3,2x,0,解得x,6,选B
,19((山东卷)在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1,则33c=
1 (B)2 (C)—1 (D) 3320((山东卷)设向量a=(1, ,2),b=(,2,4),c=(,1,,2),若表示向量4a,4b,2c,2(a,c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为
(A)(2,6) (B)(,2,6) (C)(2,,6) (D)(,2,,6)
解:设d,(x,y),因为4a,(4,,12),4b,2c,(,6,20),2(a,c),(4,,2),依题意,有4a,(4b,2c),2(a,c),d,0,解得x,,2,y,,6,选D
21((山东卷)设向量a=(1,,3),b=(,2,4),若表示向量4a、3b,2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为
(A)(1,,1) (B)(,1, 1) (C) (,4,6) (D) (4,,6)
解:4a,(4,,12),3b,2a,(,8,18),设向量c,(x,y),依题意,得4a,(3b
0,所以4,8,x,0,,12,18,y,0,解得x,4,y,,6,选D ,2a),c,
????ABACABAC1???22((陕西卷) 已知非零向量AB与AC满足( + )?BC=0且 ? = , 则????2|AB||AC||AB||AC|?ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
23((上海卷)如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是 ( )
第33页 共99页
,,,,,,,,,,,,,,,
DCAC(A),; (B)AD,,; D C ABAB
,,,,,,,,,,,,,,,,A B CB0(C),AD,; (D)AD,,( ABBD
,,,,,,,,,,,,解:由向量定义易得, (C)选项错误;; ABADDB,,
24((四川卷)如图,已知正六边形,下列向量的数量积中最大PPPPPP123456
的是
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(A) (B) PPPP,PPPP,12131214
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
(C) (D) PPPP,PPPP,12151216
2,ABCabbc,,25((四川卷)设分别是的三个内角所对的边,则是abc,,ABC,,,,
AB,2的
(A)充要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而充分条件 (D)既不充分又不必要条件
第34页 共99页
,,,,,,,,,,,,,,,,,226((浙江卷)设向量满足,,则 abc,,,0||c,abc,,abab,,,,||1,||2
(A)1 (B)2 (C)4 (D)5
27
7117,,,,((重庆卷)与向量a=的夹解相等,且模为1的向量是 ,,b,,,,,,2222,,,,
434343,,,,,,(A) (B) 或 ,,,,,,,,,,,,555555,,,,,,
,,,221221221,,,,,,(C) (D)或 ,,,,,,,,,,,,333333,,,,,,
,,7117,,,,解析:与向量的夹角相等,且模为1的向量为(x,y),则ab,,,,,,,,,,2222,,,,
44,,22x,x,,,xy,,1,,,,,55,解得或,选B. ,,,711733xyxy,,,,,,y,,y,,2222,,55,,
,,,,,,,,
kABAC,28((重庆卷)已知三点ABCk(2,3),(1,1),(6,),,,其中为常数。若,则,,,,,,,,
ACAB与的夹角为
第35页 共99页
24,2424,(A) (B)或 (C) (D)或arccosarccosarccos(),22252525
24 ,,arccos25
二、填空题(共15题)
,,,,,,,,,,,,,,,,
ABCD29((安徽卷)在中,,M为BC的中点,则ABaADbANNC,,,,,3
,,,,,
ab、_______。(用表示) MN,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1解:,,所以AMab,,由得ANNCANCab,,,343A=3()2,,,,,,,,,,,3111MNababab,,,,,,,()()。 4244
1130.(北京卷)若三点,共线,则的值等于ABaCbab(2,2),(,0),(0,)(0),ab__________.
,ABCsin:sin:sin5:7:8ABC,,B31((北京卷)在中,若,则的大小是___________.
sin:sin:sin5:7:8ABC,解: ,a:b:c,5:7:8设a,5k,b,7k,c,8k,由余弦定理
,,B可解得的大小为. 3
。 32.(北京卷)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a的值等于
,,,,,,,,,,,,,,,,
ACAC解:AB,(a,2,,2),,(,2,2),依题意,向量 AB与共线,故有2(a,2),4,0,得a,4
33.(北京卷)在?ABC中,A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若,,,
sinA?sinB?sinC=5?7?8,则a?b?c= , B的大小是 . ,
第36页 共99页
34(北京卷)已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab,那么a+b与a-b的夹角,,,,,,
的大小是 .
333,35.(湖北卷)在ABC中,已知,b,4,A,30?,则sinB, . a,24
3解:由正弦定理易得结论sinB,。 2
36.(湖南卷)如图2,OM?AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴
,,,,,,,,,,,,1影区域内(不含边界)运动,且x,,,则的取值范围是 ;当xOPxOAyOB,,2y时,的取值范围是 .
P B OM//ABOMP解析:如图, , 点在由射线, 线段 M
OBAB及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动,
且,由向量加法的平行四边形 OP,xOA,yOB
O A 图2 法则,OP为平行四边形的对角线,该四边形应是以
OB和OA的反向延长线为两邻边,? x的取值范围
是(,?,0);
113x,, 当时,要使P点落在指定区域内,即P点应落在DE上,CD=OB,CE=OB,222
13y? 的取值范围是(,). 22
第37页 共99页
37.(江苏卷)在?ABC中,已知BC,12,A,60?,B,45?,则AC,
,,,,
38.(江西卷)已知向量,,则的最大值为 ( ab,a,(1sin),,b,(1cos),,
,,,解:ab,,|sin,,cos,|,|sin(,,)|,。 224
39.(全国II)已知?ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB,1,BC,4,则边BC上的中线AD的长为 (
,ABC解析: 由的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得,
,,,B 3
AD,3AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得 。
本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。
,,,,,
,ab40.(天津卷)设向量与的夹角为,,,则a,(33),2(11)ba,,,,cos,, (
,,,,,,
ab解析:设向量与的夹角为且? ,则,,aba,,,,(3,3),2(1,1),b,(1,2)
,,
310ab,9cos,,,,。 ,,10||||ab,325,
22c,a?b,若,a,=1,则,a,41.(浙江卷)设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)?+,c,,|b|2的值是
【考点分析】本题考查向量的代数运算,基础题。
第38页 共99页
,,,,a,bc,a,c,b,c,0a,c,b,c,,,,,,a,b,c,a,b,a,b,0,a,b,0解析: ,,
,,,,,,a,ba,b,0a,b,1,,,,
22222,,,c,,a,b,2,所以 a,b,c,4
【名师点拔】向量的模转化为向量的平方,这是一个重要的向量解决思想。
ABC42.(上海春)在?中,已知,三角形面积为12,则BC,8,AC,5cos2C, .
,,,,,,,a,3,b,42a,b,43.(上海春)若向量a、b的夹角为150,,则 .
三、解答题(共11题)
,,,,
44.(湖北卷)设函数,其中向量,axx,,(sin,cos)fxabc()(),,
,,
xR,,,。 cxx,,(cos,sin)bxx,,(sin,3cos)
(?)、求函数的最大值和最小正周期; fx()
,,
d?)、将函数(的图像按向量平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心fx()
,,
d对称,求长度最小的。
点评:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像
的基本知识,考查推理和运算能力。
第39页 共99页
45.(湖北卷)设向量a,(sinx,cosx),b,(cosx,cosx),x?R,函数f(x),a?(a,b).
(?)求函数f(x)的最大值与最小正周期;
3(?)求使不等式f(x)?成立的x的取值集。 2
222fxaabaaabxxxxx,,,,,,,, sincossincoscos,,,,
)?解:(? ,1132,,,,,,1sin2cos21sin(2)xxx(),22224
2,32,fx ?的最大值为,最小正周期是。 ,,,,222
(?)由(?)知
3323,,,,,,,,,,fxxxsin(2)sin(2)0,,222424
3,,,,,,,,,,,,,,222,kxkkxkkZ,,,,,488
33,,,,fx,即成立的x的取值集合是. xkxkkZ|,,,,,,,,,,,,288,,
第40页 共99页
46 (湖南卷)如图3,D是直角?ABC斜边BC上一点,AB=AD,记?CAD=,?ABC=. ,,
A 证明 ; sincos20,,,,
α 若AC=DC,求的值. 3,β
,,,B D C 解:(1)(如图3,, ?,,,,,?,,,,(2)2,sinsin(2)cos2,,,,,,,图3 222
即( sincos20,,,,
22ABC,,abc,,?ABC47((江西卷)在锐角中,角所对的边分别为,已知, sinA,3
BCA,22tansin,(1)求的值; 22
a,2b(2)若,,求的值( S,2?ABC
122解:(1)因为锐角?ABC中,A,B,C,,,sinA,,所以cosA,,则 33
BC,2sinBCAA,2222tansinsin,,,BC,2222cos 2
1cosBC11cosA17,(,),,,(,),,,1cosA1cosBC21cosA33,(,),
第41页 共99页
1122(2),则bc,3。将a,2,cosA因为,,又,,S2SbcsinAbc, ABCABC223
1322242,,c,代入余弦定理:中得解得b, 3abc2bccosA,,,b6b90,,,3b
48.(江西卷)如图,已知?ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是边AB、AC上
,,2的点,线段MN经过?ABC的中心G,设,MGA,,(,,) ,33
试将?AGM、?AGN的面积(分别记为S与S)表示为,的函数 12
11(2)求y,的最大值与最小值 ,22SS12
,,2,2,,,因为,所以当,,或,,时,y取得最大值y,240 ,max3333
,,,当时,y取得最小值y,216 min2
BC,,ABCABC、、cos2cosA,49.(全国卷I)的三个内角为,求当A为何值时,2
取得最大值,并求出这个最大值。
B+CπAB+CA.解: 由A+B+C=π, 得 = , , 所以有cos =sin . 22222
B+CAAA2cosA+2cos =cosA+2sin =1,2sin + 2sin 2222
第42页 共99页
A132=,2(sin , )+ 222
A1πB+C3当sin = , 即A= 时, cosA+2cos取得最大值为 22322
ππ50.(全国II)已知向量a,(sinθ,1),b,(1,cosθ),,,θ,( 22(?)若a?b,求θ;
(?)求,a,b,的最大值(
本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3.三角函数
的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大
2551.(全国II)在,求 ,,,:,,ABCBACC中,45,10,cos5
BC,?(1)
DAB是的中点,求中线CD的长度。(2)若点
解:(1)由
2552310,,cossinCC,,得sinsin(18045)(cossin)ACCC,,,,,,55210,
AC10310BCA,,,,,sin32sin10B2
2由正弦定理知
第43页 共99页
AC105ABC,,,,,sin2sin5B12BDAB,,122(2)
22CDBDBCBDBCB,,,,2cos
2,,,,,,,1182132132由余弦定理知
,ABC52. (四川卷)已知是三角形三内角,向量ABC,,
,,,,,,
mnAA,,,1,3,cos,sin,且 mn,,1,,,,
(?)求角A;
1sin2,B(?)若,求tanC. ,,322cossinBB,
12sincos,BB22sinsincos2cos0BBBB,,,,,3(?)由题知,整理得 22cossinBB,
2cos0B,tan2B,tan1B,,tantan20BB,,,? ??或
22tan1B,,tan2B,cossin0BB,,而使,舍去 ?
tantanAB,23,,,,tanABtantanCAB,,,,,,,,?,,,,,,,,1tantan,AB123,
853,, 53(四川卷)已知A、B、C是三内角,向量nAA,(cos,sin),,ABCm,,(1,3),11
mn,,1.且
第44页 共99页
(?)求角A
1,sin2B(?)若求tanB. ,,3,22cosB,sinB
本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以
及倍角公式,考察应用、分析和计算能力。满分12分。
12sincos,BB(?)由题知,整理得 ,,322cossinBB,
222cos0B,sinsincos2cos0BBBB,,,tantan20BB,,,? ?
22tan2B,tan1B,,tan1B,,cossin0BB,,?或,而使,舍去
tan2B,?
3,ABCAC,2BC,1cosC,54.(天津卷)如图,在中,,,( 4
AB(1)求的值;
(2)求的值. ,,sin2A,C
本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识,考察基本运算能力及分析解决问题的能力.满分12分.
222ABACBCACBCC,,,2..cos(?)解: 由余弦定理,
3AB,2.,,,,,,,412212. 那么, 4
第45页 共99页
55(上海卷)如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方方向相距20海里的B处有一艘渔船
,C遇险等待营救。甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里处
,B的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援(角度精确到),1
[解] 连接BC,由余弦定理得
222BC=20+10,2×20×10COS120?=700.
7 于是,BC=10.
3sinACBsin120:, ?, ?sin?ACB=, 720107
??ACB<90? ??ACB=41?
?乙船应朝北偏东71?方向沿直线前往B处救援.
【2005高考试题】
,ABC1.(全国卷?)的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,
第46页 共99页
,则实数m = 1 OH,m(OA,OB,OC)
2((全国卷?)已知点A(,1),B(0,0)C(,0).设?BAC的平分线AE33
与BC相交于E,那么有等于 ( C ) BC,,CE,其中,
11 A(2 B( C(,3 D(, 23
3((全国卷?)点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,,3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为(,10,10),则5秒后点P的坐标为 ( C )
A((,2,4) B((,30,25) C((10,,5) D((5,,10)
,,,,,,,,,,,,
4. (全国卷III)已知向量,且A、B、C三点OAkOBOCk,,,,(,12),(4,5),(,10)
2,共线,则k= 3
,,,,,,,,,
ca,5.(北京卷)若,且,则向量a与b的夹角为(C ) ||1,||2,abcab,,,,
(A)30? (B)60? (C)120? (D)150?
6.(上海卷)直角坐标平面xoy中,若定点与动点满足,OP,OA,4A(1,2)P(x,y)则点P的轨迹方程是x+2y-4=0 __________。
7.(天津卷)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在?AOB的平
,,10310分线上且|OC |=2,则OC= ,,,,,,55,,
8.(福建卷)在?ABC中,?C=90?,则k的值是 AB,(k,1),AC,(2,3),
( D )
33 A(5 B(,5 C( D( ,22
9.(广东卷)已知向量a,(2,3),bx,(,6),且ab ,则x为____4_________(
10.(湖北卷)已知向量不超过5,则k的取值范围是 a,(,2,2),b,(5,k).若|a,b|
[,6,2]
第47页 共99页
,ABC11.(江苏卷)在中,O为中线AM上一个动点,若AM=2,则OA,(OB,OC)的最小值是_-2_________。
12.(江西卷)已知向量
5 ( C ) a,(1,2),b(,2,,4),|c|,5,若(a,b),c,,则a与c的夹角为2
A(30? B(60? C(120? D(150?
15. (全国I)点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,OA,OB,OB,OC,OC,OA
,ABC则点O是的(B )
(A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点
(C)三条中线的交点 (D)三条高的交点
PA,PB,PB,PC,PC,PA16.(湖南)P是?ABC所在平面上一点,若,则P是?ABC的(D )
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
【2004高考试题】
一)选择题
1((2004.全国理)已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60?,那么|a+3b|=
(C )
第48页 共99页
A( B( C( D(4 71013
3((2004. 福建理)已知a、b是非零向量且满足(a,2b) ?a,(b,2a) ?b,则a与b的夹角是 ( B )
,,,,25 B( C( D( A(6336
,,,,,,,,604((2004. 重庆理)若向量的夹角为,,则向a与b||4,(2).(3)72babab,,,,,,
量a的模为 ( C )
A(2 B(4 C(6 D(12
43,5、(2004. 四川理)已知平面上直线l的方向向量e=(-),点O(0,0)和点A(1,-2)在l55
O'A',上的射影分别为和,则λe,其中λ=( D ) O'A'
1111A B - C 2 D -2 55
,ABC6((04. 上海春季高考)在中,有命题
,ABCAB,AC,BCAB,BC,CA,0?;?;?若,则(AB,AC),(AB,AC),0为等
,ABCAC,AB,0腰三角形;?若,则为锐角三角形.
上述命题正确的是
( C )
第49页 共99页
(A)?? (B)?? (C)?? (D)???
AB1310、(2004.上海理)已知点A(1, ,2),若向量与={2,3}同向, =2,则点B的坐aAB
标为 (5,4) ..
三)解答题
11((2004.湖北理)(本小题满分12分)
如图,在Rt?ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问 PQ与BC
,的夹角取何值时的值最大,并求出这个最大值. BP,CQ
11(本小题主要考查向量的概念,平面向量的运算法则,考查运用向量及函数知识的能力,满分12分.
第50页 共99页
解法二:以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面
直角坐标系.
设|AB|,c|AC|,b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),
且|PQ|,2a,|BC|,a.
设点P的坐标为(x,y),则Q(,x,,y).
?BP,(x,c,y),CQ,(,x,,y,b),
BC,(,c,b),PQ,(,2x,,2y).
?BP,CQ,(x,c)(,x),y(,y,b)
22,,(x,y),cx,by.
PQ,BCcx,by,cos,,.?2 a|PQ|,|BC|
2,?cx,by,acos.
22,?BP,CQ,,a,acos.
故当cos,,1,即,,0(PQ与BC方向相同)时,BC,CQ最大,其最大值为0.
xOy12. (04. 上海春季高考)(本题满分12分) 在直角坐标系中,已知点
P(2cosx,1,2cos2x,2)和点
OPQ(cosx,,1)x,[0,,]x,其中. 若向量与垂直,求的值. OQ
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2cosx(2cosx,1),(2cos2x,2),012. 由OP,OQ,得,利用,化简后得 cos2x,2cosx,1
21,,,于是或,,. 2cosx,cosx,0cosx,?x,或?x,[0,,]cosx,0223【2003高考试题】
一、选择题
3.(2001江西、山西、天津文)若向量a=(3,2),b=(0,,1),则向量2b,a的坐标是
( )
A.(3,,4) B.(,3,4) C.(3,4) D.(,3,,4)
24.(2001江西、山西、天津)设坐标原点为O,抛物线y=2x与过焦点的直线交于A、
OA,OBB两点,则等于( )
33A. B., C.3 D.,3 44
5.(2001上海)如图5—1,在平行六面体ABCD—ABCD中,M为AC与BD的交点,1111
ADAABM若=a,=b,=c.则下列向量中与相等的向量是( ) AB11111
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1111A.,a+b+c B. a+b+c
2222
111C. a,b+c D.,a,
222
图5—1 1b+c 2
7.(2000江西、山西、天津理,4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ?(a?b)c,(c?a)b=0 ?|a|,|b|<|a,b| ?(b?c)a,(c?a)b不与c垂直
22?(3a+2b)(3a,2b)=9|a|,4|b|中,是真命题的有( )
A.?? B.?? C.?? D.?? 8.(1997全国,5)如果直线l沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率为( )
11A., B.,3 C. D.3 33
二、填空题
9.(2002上海文,理2)已知向量a和b的夹角为120?,且|a|=2,|b|=5,则(2a,b)?a=_____. 10.(2001上海春,8)若非零向量α、β满足|α+β|=|α,β|,则α与β所成角的大小为_____.
OAOA11.(2000上海,1)已知向量=(,1,2),=(3,m),若?,则m= . OBAB
,12.(1999上海理,8)若将向量a=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b,4
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则向量b的坐标为_____.
13.(1997上海,14)设a=(m+1)i,3j,b=i+(m,1)j,(a+b)?(a,b),则m=_____.
14.(1996上海,15)已知a+b=2i,8j,a,b=,8i+16j,那么a?b=_____.
OP115.(1996上海,15)已知O(0,0)和A(6,3)两点,若点P在直线OA上,且,,PA2又P是线段OB的中点,则点B的坐标是_____.
三、解答题
18.(2002上海,17)如图5—4,在直三棱柱ABO—A′B′O′中,OO′=4,OA=4,OB=3,?AOB=90?,D是线段A′B′的中点,P是侧棱BB′上的一点,若OP?BD,求OP与底面AOB所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
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图5—3 图5—4 图5—5
21.(2001江西、山西、天津理)如图5—6,以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,其中Ox?BC,Oy?AB,E为VC的中点,正四棱锥底面边长为2a,高为h.
(1)求cos< >; BE,DE
(2)记面BCV为α,面DCV为β,若?BED是二面角α—VC—β的平面角,求?BED.
图5—6 图5—7 图5—8
22.(2001上海春)在长方体ABCD—ABCD中,点E、F分别在BB、DD上,且111111AE?AB,AF?AD. 11
(1)求证:AC?平面AEF; 1
(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角).则在空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成
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的角相等.
试根据上述定理,在AB=4,AD=3,AA=5时,求平面AEF与平面DBBD所成角的大111小.(用反三角函数值表示)
(a×b)?c=xyz+xyz+xyz,xyz,xyz,xyz,试计算(×)?的绝对值ABADAP
的值;说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算(×)?ABADAP的绝对值的几何意义.
25.(2000上海,18)如图5—9所示四面体ABCD中,AB、BC、BD两两互相垂直,
10且AB=BC=2,E是AC中点,异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos,求四面体10ABCD的体积.
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图5—9 图5—10 图5—11
26.(2000天津、江西、山西)如图5—10所示,直三棱柱ABC—ABC中,CA=CB=1,111?BCA=90?,棱AA=2,M、N分别是AB、AA的中点. 1111
(1)求的长; BN
(2)求cos< >的值; BA,CB11
(3)求证:AB?CM. 11
28.(1999上海,20)如图5—12,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,?BAD=90?,AD?BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA?底面ABCD,PD与底面成30?角.
(1)若AE?PD,E为垂足,求证:BE?PD;
(2)求异面直线AE与CD所成角的大小. 图5—12
29.(1995上海,21)如图5—13在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中点,
31,点A的坐标是(,0),点D在平面yOz上,且?BDC=90?,22
?DCB=30?.
图5—13
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(1)求向量的坐标; OD
(2)设向量和的夹角为θ,求cosθ的值. BCAD
?答案解析
3.答案:D
解析:设(x,y)=2b,a=2(0,,1),(3,2)=(,3,,4).
评述:考查向量的坐标表示法.
4.答案:B
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5.答案:A
1111BM,BB,BM,AA,(BA,BC)解析:=c+(,a+b)=,a+b+c 1112222
评述:用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力.
6.答案:B
解析:设c=ma+nb,则(,1,2)=m(1,1)+n(1,,1)=(m+n,m,n).
1,m,,m,n,,1,,2? ? ,,m,n,23,,n,,,,2
评述:本题考查平面向量的表示及运算.
7.答案:D
解析:?平面向量的数量积不满足结合律.故?假;
?由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a,b|恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故?真;
?因为,(b?c)a,(c?a)b,?c=(b?c)a?c,(c?a)b?c=0,所以垂直.故?假;
22?(3a+2b)(3a,2b)=9?a?a,4b?b=9|a|,4|b|成立.故?真.
评述:本题考查平面向量的数量积及运算律.
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8.答案:A
解析:设直线l的方程为y=kx+b(此题k必存在),则直线向左平移3个单位,向上平
移1个单位后,直线方程应为y=k(x+3)+b+1即y=kx+3k+b+1
1因为此直线与原直线重合,所以两方程相同.比较常数项得3k+b+1=b.?k=,.
3评述:本题考查平移变换与函数解析式的相互关系.
9.答案:13
122解析:?(2a,b)?a=2a,b?a=2|a|,|a|?|b|?cos120?=2?4,2?5(,)=13. 2评述:本题考查向量的运算关系.
11.答案:4
解析:?OA={,1,2},={3,m},={4,m,2},又?, OBAB,OB,OAOAAB,1×4+2(m,2)=0,?m=4. ?
评述:本题考查向量的概念,向量的运算,向量的数量积及两向量垂直的充要条件.
23,212.答案:()
22
,解析:设a==2+i,b=,由已知、的夹角为,由复数乘法的几何意OAOBOAOB4
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,,2223义,得=(cos+isin)=(2+i). (,i),,2iOBOA442222
23?b=() ,2
22
评述:本题考查向量的概念,向量与复数一一对应关系,考查变通、变换等
数学
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方法,
以及运用数学知识解决问题的能力.
14.答案:,63
解析:解方程组
a=,3i+4j=(,3,4)
b=5i,12j=(5,,12) 得
?a?b=(,3)×5+4×(,12)=,63.
评述:本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法. 15.答案:(4,2)
110,,60,,322x,,2,y,,1解析:设P(x,y),由定比分点公式, 111,1,22则P(2,1),又由中点坐标公式,可得B(4,2).
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?CO?AB,平面ABC?平面ABBA,?CO?平面ABBA,即?CAO为直线CA与平面111111
AABB所成的角. 11
322在Rt?CAO中,CO=m,CA=, m,n112
2CO,?sinCAO=,即?CAO=45?. 112CA1
17.解:(1)取OB的中点D,连结OD, 1
则OD?OB. 1
?平面OBBO?平面OAB, 11
?OD?平面OAB. 1图5—15
过D作AB的垂线,垂足为E,连结OE. 1则OE?AB. 1
??DEO为二面角O—AB—O的平面角. 11
3由题设得OD=, 1
21OA,sinOBA=, 227OA,OB
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21?DE=DBsinOBA=
7
?在Rt?ODE中,tanDEO=, 711
??DEO=arctan,即二面角O—AB—O的大小为arctan. 7711
18.解法一:如图5—16,以O点为原点建立空间直角坐标系.
3由题意,有B(3,0,0),D(,2,4),设P(3,0,z),则 2
3={,,2,4},={3,0,z}. BDOP2
图5—16 99?BD?OP,??=,+4z=0,z=. BDOP82
?BB′?平面AOB,??POB是OP与底面AOB所成的角.
33tanPOB=,??POB=arctan. 88
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(以下同解法一)
19.解:(1)如图5—18,以点A为坐标原点O,以AB所在直线为Oy轴,以AA所在1
直线为Oz轴,以经过原点且与平面ABBA垂直的直线为Ox轴,建立空间直角坐标系. 11
由已知,得
3aA(0,0,0),B(0,a,0),A,a,,2a(0,0, a),C(). 21122
a,2(2)坐标系如图,取AB的中点M,于是有M(0, a),11图5—18 2连AM,MC有 1
3AA=(,a,0,0),且=(0,a,0),=(0,0,2 a) MCAB112
AA由于?=0,?=0,所以MC?面ABBA. MCABMC111111
?AC与AM所成的角就是AC与侧面ABBA所成的角. 1111
a3aAC,2,a,,2a?=(),=(0,a), AM1222
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20.解:(1)记P(x,y),由M(,1,0),N(1,0)得=,=(,1,x,,y), PMMP
=,=(1,x,,y),=,=(2,0) PNNPMNNM
22??=2(1+x),?=x+y,1,?=2(1,x). MNPMPNNMNPMP
于是,?,?,?是公差小于零的等差数列等价于 MNPMPNNMNPMP
1,22x,y,1,[2(1,x),2(1,x)],, 2,
,xx2(1,),2(1,),0,,
22,x,y,3,即 ,x,0,
3所以,点P的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆. (2)点P的坐标为(x,y). 00
22?=x+y,1=2. PMPN00
2222(1,x),y,(1,x),y|PM|?|PN|=. 0000
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2x,3PM,PN10?cosθ= ,,.tan,22|PM|,|PB|4,x4,x00
(2)若?BED是二面角α—VC—β的平面角,则,则有,0. BE,CVBE,CV
3aahBE,(,,,,)又由C(,a,a,0),V(0,0,h),有CV,(a,,a,h)且, 222
2223aahBE,CV,,,,,0?.
222
2即h,a,这时有
222266(2)1,a,h,a,a,,,cos<>,, BE,DE2222103a,h10(2)a,a
11,??BED,<>,arccos(),π,arccos BE,DE33
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评述:本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹
角的计算方法;考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.
9如图5—19建立直角坐标系,则得点A(0,0,0),G(,3,0),A(0,0,5), 14C(4,3,0).
9AG={,3,0},AC={4,3,,5}. 14
因为AG与AC所成的角为α, 1
AGAC,1221221,arccos,,,所以cosα=. |AG||AC|2525,1
122由定理知,平面AEF与平面DBBD所成角的大小为arccos. 1125注:没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角. 解法一:设AG与BD交于M,则AM?面BBDD,再作AN?EF交EF于N,连接11
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MN,则?ANM即为面AEF与DBBD所成的角α,用平面几何的知识可求出AM、AN的长11
度.
S,ABD解法二:用面积射影定理cosα=.
S,AEF
评述:立体几何考查的重点有三个:一是空间线面位置关系的判定;二是角与距离的计算;三是多面体与旋转体中的计算.
a因此,三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时BE=BF=,过B作BD?EF于D,连 2
B′D,可知B′D?EF.??B′DB是二面角B′—EF—B的平面角在直角三角形BEF中,直
a2角边BE=BF=,BD是斜边上的高.?BD=a. 24
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,BB?tanB′DB=,22
BD
故二面角B′—EF—B的大小为arctan2. 2
评述:本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值,二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系,把几何问题代数化,降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂
,,直等价于?=0,使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二AFCE
次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法,计算较简单,有一定的思维量.
(3)解:|(×)?|=|,4,32,4,8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍. ABADAP
猜测:|(×)?|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积ABADAP
(或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积).
评述:本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力,综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.
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25.解:如图5—21建立空间直角坐标系
由题意,有A(0,2,0)、C(2,0,0)、E(1,1,0)
设D点的坐标为(0,0,z)(z>0)
则={1,1,0},={0,,2,z}, BEAD
图5—21 设与所成角为θ. BEAD
2则?=?cosθ=,2,且AD与BE所成的角的大小为2BE4,2AD
21102,arccos.?cosθ=,?z=4,故|BD|的长度为4. 2410,z10
188又V=|AB|×|BC|×|BD|=,因此,四面体ABCD的体积为. A—BCD633评述:本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具,利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题,思路自然,解法灵活简便.
11,(3)证明:依题意,得C(0,0,2)、M(,2),={,1,1,2}, AB1122
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11CM={,0}. ,122
11??CM=,+0=0,??CM,?AB?CM. ,ABAB11111122
评述:本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条
件.
2CD(3)解:设=x,CD=2, 则CC=. 1xCC1
?BD?平面AACC,?BD?AC 111
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?只须求满足:=0即可. AC,CD11
设=a,=b,=c, ADDCAA1
?=a+b+c,=a,c, ACCD11
422422,,?=(a+b+c)(a,c)=a+a?b,b?c,c=,6,令6,=0,AC,CD1122xxxx
2得x=1或x=,(舍去). 3
评述:本题蕴涵着转化思想,即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的
求解以及待定值的探求等问题.
13AE,{0,a,a},CD于是,={,a,a,0}
22
AE,CD设与的夹角为θ,则由cosθ= AECD
|AE|,|CD|
130()0,,a,a,a,a,222, 4132222220()()()0,a,a,,a,a,22
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22,即AE与CD所成角的大小为arccos. ?θ=arccos
44
评述:第(2)小题中,以向量为工具,利用空间向量坐标及数量积,求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.
29.解:(1)过D作DE?BC,垂足为E,在Rt?BDC中,由?BDC=90?,?DCB=30?,
3BC=2,得BD=1,CD=,?DE=CD?sin30?=. 3
2
11,OE=OB,BE=OB,BD?cos60?=1,. 22
1313?D点坐标为(0,,),即向量OD[TX?]的坐标为{0,,}. ,,
2222
w
w
w第73页 共99页
.
g
模拟
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,BABC ,,,,1、(2012滨州二模)在?ABC中,若AB,1,AC,,,则3||||ABACBC,,
||BC
,,,,
xy,,,50,
,yx,2、(2012德州一模)已知在平面直角坐标系上的区域D由不等式组 确xOy,
,x,1,
,,,,,,,,,
zOAOM, 定,若为区域D上的动点,点A的坐标为(2,3),则的最大值为( ) M(x,y)
25 A.5 B(10 C( 14 D( 2
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3、(2012济南3月模拟)在?ABC中,E、F分别为AB,AC中点.P为EF上任一点,实数x,
,,,,,,,,,,,,y满足+x+y=0.设?ABC,?PBC,?PCA,?PAB的面积分别为S,,,,PCSSSPAPB123
SSS312记,,,则取最大值时,2x+y的值为 ,, ,,,,,,23123SSS
33A. -1 B. 1 C. - D. 22
,bab,ab,4、(2012济南三模)已知非零向量、满足向量与向量的夹角为,那么下a2
列结论中一定成立的是
ab,ab,bA( B( C( D(a ||||ab,
答案:B
,ab,ab,解析:因为向量与向量的夹角为,所以,即(a,b),(a,b)2
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22
a,b,所以,即,选B. a,b,0(a,b),(a,b),0
,,,,,,,,,,uv//5、(2012莱芜3月模拟)已知向量,,设,若,a,(1,2)b,(0,1)uakbvab,,,,,2
k则实数的值是
7148 (B) (C) (D) (A),,,,2233【答案】B ,,uv//【解析】,,因为,所以v,2(1,2),(0,1),(2,3)u,(1,2),k(0,1),(1,2,k)
1,解得k,,,选B. 2(2,k),1,3,02
6、(2012莱芜3月模拟)定义域为[a,b]的函数图像的两个端点为A、B,M(x,y)yfx,()
是图象上任意一点,其中,已知向量fx()xabab,,,,,,(1)[,],,,,,,,,,,,,,,,,,
,若不等式恒成立,则称函数上“k阶fxab()[,]在ONOAOB,,,,,(1)||MNk,
1线性近似”。若函数yx,,在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为 x
331[,),, A( B( C( D( [2,),,,[2,),,,[0,),,1222
,,,,,,,,
,ABCDABADDB,27、(2012临沂二模)在中,已知是边上的一点,若,
,,,,,,,,,,,,1,,,,,CDCACB,则 3
1213(A) (B) (C) (D) 3324
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【答案】B
2【解析】因为,所以,又AD,ABAD,2DB3
22122,所以。 ,CD,CA,AD,CA,AB,CA,(CB,CA),CA,CB,33333
,,,,,,,,228、(2012青岛二模).已知直线与圆交于、两点,且,yxa,,ABOAOB,,0xy,,4
O其中为坐标原点,则正实数的值为 . a
【答案】 2
,,,,,,,,
OA,OBAOB【解析】因为,所以,即三角形为直角三角形,所以OAOB,,0
a,所以圆心到直线yxa,,的距离为,又,所以AB,2R,222,2
2a,2,a,2。
、(2012青岛二模).已知向量,设函数,9m,(sinx,3sinx),n,(sinx,,cosx)f(x),m,n若函数的图象与的图象关于坐标原点对称. g(x)f(x)
,,,,(?)求函数在区间上的最大值,并求出此时的值; xg(x),,,,46,,
3,ABCf(A),g(A),A(?)在中,分别是角的对边,为锐角,若,a,b,cA,B,C2b,c,7,ABC23,的面积为,求边的长( a
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33,,1,sin(2,),sin(2,),f(A),g(A),AA(?)由得: 2662
1cos2A,,化简得: 2
,,0,,AA,又因为,解得: …………………………………………9分 32
1bc,8S,bcsinA,23由题意知:,解得, ,ABC2
2222b,c,7又,所以 abcbcAbcbcA,,,,,,,2cos()2(1cos)1,,,,,,4928(1)25 2
5故所求边的长为. a
。,ABC,A10、(2012日照5月模拟)已知在中AB,3,,A,60,的平分线AD交边BC
,,,,,,,,,,,,1于点D,且,则AD的长为 ,,,,,ADACAB(R)3
323(A) (B) (C)1 (D)3
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b,2a,0,c,a,b11、(2012泰安一模)若,且,则向量与的夹角为 c,aabA.30? B.60? C.120? D.150?
,ABCDDCN,,A60M212、(2012威海二模)如图,菱形的边长为,,为的中点,若为菱形内任意一点
,,,,,,,,,
AMAN,(含边界),则的最大值为
2336A. B. C. D.9 【答案】D
第79页 共99页
【解析】
rrrr
axzbyz,,,,,1,2,,13、(2012烟台二模)已知向量且,若变量x,y满足约ab,,,,,
x,,1,
,yx,束条件,则z的最大值为 ,
,325xy,,,
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
rr
yz,ab,解析:由xz,得(,1)(2,),0,即z,2x,y,
画出不等式组的可行域,如右图,目标函数变为:yxz,,,2,作出y,,2x的图象,并平移,图由可知,直线过A点时,在y轴上的截距最大,此时z的值最大:求出A点坐标(1,1)
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,2×1,1,3,所以,选C。 zmax
,,,,,,
【江西省泰和中学2012届高三模拟】已知平面向量,满足与的夹角为abab||1,||2,ab,,
,,,60:,则“m=1”是“”的( ) ()amba,,
A(充分不必要条件 B(必要不充分条件C(充要条件 D(既不充分也不必要条件
AB,2BC,OA,a,OB,b,OC,c,【山东省日照市2012届高三模拟理】(3)如图所示,已知
则下列等式中成立的是
31c,2b,a(A) (B) c,b,a22
31c,2a,b(C) (D) c,a,b22
【山东实验中学2012届高三第四次诊断性考试理】11. 的外接圆的圆心为O,半径为1,若,且,则向量在向量方向上的射影的数量为()
(A).(B).(C). 3 (D).
【答案】A
第81页 共99页
,ABC,ABC【解析】由已知可以知道,的外接圆的圆心在线段BC的中点O处,因此是
,,=A2直角三角形。且,又因为
,,,,|OA||CA|,?,,,,CB,,36
,,
?,,ABAC3,1,故在上BABC
,3,的射影|BA|cos,62
因此答案为A
,,,,,,,,,,,,,,kR【山东省微山一中2012届高三模拟理】9(若,恒成立,则?ABC||||BAkBCCA,,
的形状一定是 ( )
A(锐角三角形 B(直角三角形 C(钝角三角形 D(不能确定
,,,,,,,2abcaxbxc,,,0x【2012三明市普通高中高三模拟理】关于的方程,(其中、、都是
,,
ab非零平面向量),且、不共线,则该方程的解的情况是
A.至多有一个解 B.至少有一个解
C.至多有两个解 D.可能有无数个解
【2012厦门市高三模拟质检理】已知向量a,(1,2),b,(2,0),若向量λa,b与向量c,(1,
第82页 共99页
,2)共线,则实数λ等于
12A.,2 B. , C.,1 D., 33【答案】C
【解析】本题主要考查平面向量的共线的性质. 属于基础知识、基本运算的考查. λa,b,(λ,2,2λ),向量λa,b与向量c,(1,,2)共线,?(λ,2)×(,2),2λ×1, ?λ,,1
【2012厦门市高三上学期模拟质检理】如图,已知,,?,?AOPOA,3OB,1OAOB,0
,,,若,则实数t等于 OP,tOA,OB,6
133A. B. C. D.3 33
【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1】?ABC中,?C=90?,且CA=CB=3,点M满足
CMCA2,则?= BM,AM
A(18 B(3
C(15 D(12
【答案】 A
【解析】本题主要考查平面向量的共线及数量积的基本运算.
属于基础知识、基本运算的考查.
由题意,如图建立直角坐标系,则A(3,0),B(0,3)
BM,AM?2,?A是BM的中点
第83页 共99页
?M(6,,3)
,(6,,3),,(3,0) CMCA
?,18 CMCA
,,,,,,,,,,,,,2,ABC【2012黄冈市高三模拟考试理】若,则必定是 ABBCAB,,,0
( )
A(锐角三角形 B(直角三角形 C(钝角三角形 D(等腰直角三角形 【答案】 B
【解析】本题主要考查向量的运算、向量垂直的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 ABBCABABBCABABACABAC,,,,,,,,,,,,0()00
,ABC则必定是直角三角形。
,,,,,
【2012金华十校高三模拟联考理】设向量,满足 ab||1,||3,aab,,,
,,,,,
,则= ( ) aab,,,()0|2|ab,
2343 A(2 B( C(4 D(
,,,,,,,,1BDBA,【2012唐山市高三模拟统一考试理】在边长为1的正三角形ABC中,,E是3
,,,,,,,,
CDBE,CA的中点,则= ( )
2111,,,, A( B( C( D( 3236【答案】 B
第84页 共99页
【解析】本题主要考查平面向量的运算以及坐标法. 属于基础知识、基本方法的考查.
如图,建立直角坐标系,则
13133 ABCDE(1,0),(0,0),(,),(,0),(,)22344
,,,,,,,,1333 CDBE,,,,(,),(,)6244
,,,,,,,,1333131 CDBE,,,,,,,,,,(,)(,)6244882
,,,,xyaa,【2012粤西北九校联考理11】已知向量==,若,,则的9,3bb(x,1,2),(4,y)最小值为 ;
【答案】6
,,,,aa,【解析】若b=b=向量a,b,0(x,1,2),(4,y)2x,y,2,,所以,所以,由基本
xy9,3,6 不等式得
【山东省微山一中2012届高三模拟试题(理)】
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11314、在四边形ABCD中,,则四边,,,,,,,,,,,,ABDCBABCBD,,,,,,,(1,1),||||||BABCBD
C D
A B 形ABCD的面积为 。
第85页 共99页
【烟台市莱州一中2012届高三模块检测理】已知向量满足. a,b|a|2,|b|1,|ab|2,,,,
ab,(1)求的值;
的值. (2)求|ab|,
ab,【答案】17.解:(1)由,,=2得
222, ||24124abaabbab,,,,,,,,,,
1ab,,所以.……………………………………………………………………6分 2
1222||24216abaabb,,,,,,,,,(2),所以.……………12分 ||6ab,,2
【山东实验中学2012届高三一次诊断理】16. 点O在内部且满足
,则的面积与凹四边形. 的面积之比为________.
【答案】5:4
【解析】解:
作图如下
第86页 共99页
,b,60b,1【2012韶关第四次调研理7】平面向量与的夹角为,,, aa,(2,0)ab,,则( )
3737 A( B( C( D(
【答案】B
,b60b,1a【解析】因为平面向量与的夹角为,a,(2,0),,
222abaabb,,,,,27 所以
第87页 共99页
【2012深圳中学模拟理13】给出下列命题中 ,
,,,,,,,,,0? 向量满足,则的夹角为; abab,,,aab与,30ab、
,,
? ,0,是的夹角为锐角的充要条件; ab、 a,b
? 将函数y =的图象按向量=(,1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为y x,1a
=; x
,,,,,,,,,ABC? 若,则为等腰三角形; (AB,AC),,(AB,AC),0
以上命题正确的是 (注:把你认为正确的命题的序号都填上)
,【2012海南嘉积中学模拟理10】在空间给出下面四个命题(其中、为不同的两mn条直线,、为不同的两个平面) ba
m^mn^?,// nÞaa
?m//n,n//m// Þaa
?m//n,,m// n^bab^Þa
mnA:=?mmnn,//,//,//,//// bbbÞaaa
其中正确的命题个数有( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 【答案】C
m^mn^nmnnm【解析】?,//正确;?//,////错误,线可以在平面ÞÞaaaa
第88页 共99页
mnA:=内;?//,,//正确;?,//,//,//,mnmmmnn^bab^bÞaaa////正确。 nbbÞa
,,,,,
【2012黑龙江绥化市一模理13】已知向量,,若向量,,b,(1,1)a,(2,4)bab,,(),
,则实数的值为___.
,【2012 浙江瑞安模拟质检理15】已知平面向量不共线,且两两之间的夹角都相等,a,b,c
若,则 与的夹角是 . a,b,ca|a|,2,|b|,2,|c|,1
:【答案】60
(a,b,c),a10cosa,b,c,a,, 【解析】,夹角为60; a,b,ca2
,,,,,,
,】定义:ab【2012?泉州四校二次联考理5,其中为向量与的夹角,abab,,,=sin,
,,,,
ab,,,6若,,, a,2b,5
,,
ab,则等于( )
,88,886A( B( C(或 D(
,ab【2012延吉市质检理5】若向量=(x1,2),=(4,y)相互垂直,则的最小值-
为( )
2332 A(12 B( C( D(6
【答案】D
第89页 共99页
【解析】因为向量=(x-1,2),=(4,y)相互垂直,所以ab
a,b,0,4x,4,2y,0,2x,y,2
2x,yxy则9,3,23,6.
,【2012浙江宁波市模拟理】在中,D为BC中点,若,,则,ABC,A,120AB,AC,,1的最小值是 ( ) AD
132(A) (B) (C) (D) 2222
abm,,(3,1),(1,)23abab,,与【2012安徽省合肥市质检理】已知向量,若共线,则m= ;
,,Oi【2012山东青岛市模拟理】设、是平面直角坐标系(坐标原点为)内分别与轴、jxy
,,,,,OAB轴正方向相同的两个单位向量,且,,则的面积等OA,,2i,jOB,4i,3j
于 .
5【答案】
,,,,,,,,,,,,,,,,
OAOB,,,5【解析】由题可知,,,所以||5OA,||5OB,
第90页 共99页
,,,,,,,,,,,,,,,,,512,,所求面积为sin,,,,OAOBcos,,,,,,OAOB
5555
12。 S,,,,,55525
【2012吉林市模拟质检理】已知,,若向量与 2a,ba,,ba,(,2,1)b,(0,2)
,垂直,则实数的值为 . 【2012江西南昌市调研理】则k= . 【答案】6;
,,
234k,,k,6ab//【解析】由可得,解得。
(,2)x(1,)yxy,,0,0a,b,ab ,4【2012广东佛山市质检理】已知向量,,其中.若,
12,xy则的最小值为 ( )
39
22242A( B( C( D( 【答案】C
12,1219xyyxxyab ,4【解析】由得,又,选xy,,24,,,,,,,,()()1xyxy424224C。
2【2012河南郑州市质检理】在?ABC中,若则?ABCAB,AB,AC,BA,BC,CA,CB,是( )
A(等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
第91页 共99页
【答案】D
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,22【解析】由得, ABABACBABCCACB,,,,,,ABABACBABCACBC,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,即,得,,选D。 ,CABCBBCBC,,,CACB,,02
【2012河南郑州市质检理】在?ABC中,已知a,b,c分别为?A,?B,?C所对的边,S
222为?ABC的面积.若向量p=q=满足p?q,则?C= . ,,4,a,b,c,,,3,S
,【答案】; 3
,222tan3,,C【解析】由题p?q,则,即,,,。 C43()2sinSabcabC,,,,,3
DCBCABCD【2012北京海淀区模拟理】如图,正方形中,点E,F分别是,的
,,,,EDC中点,那么 EF=
,,,,,,,,,,,,,,,,1111F(A) (B) -ABAD-ABAD+2222BA,,,,,,,,,,,,,,,,1111(C)-ABAD+ (D) ABAD-2222
【答案】D
,,,,,,,,,,,,,,,,11【解析】EFDBABAD=()=-,选D。 22
0b60b,1ab,,【2012广东韶关市调研理】平面向量与的夹角为,,,则aa,(2,0)( )
337 A( B( C( D(
,【2012延吉市质检理11】 已知向量(若a— 2b与c共线,则k=________(
第92页 共99页
,,,,,,,,,,,,,,,,
,AOB【2012延吉市质检理14】已知:点C在内,且,OAOBOAOB,,,,1,3,0,
,,,,,,,,,,,,m设则 ( ,,,:AOC30,OCmOAnOBmnR,,,(,),n
【答案】3
,,,,,,,,,,,,,,,,
,AOB【解析】因为OAOBOAOB,,,,1,3,0,点C在内,且设,,:AOC30,,,,,,,,,,,,,mm30,3 ,tan30,,OCmOAnOBmnR,,,(,),根据共线成比例得所以n3n3
【2012厦门模拟质检理6】如图,平行四边开ABCD中,AB,2,AD,1,?A,60?,点M
1在AB边上,且AM,AB,则?等于 DM,DB3
A.,1 B. 1
33C., D. 33
,,,,,,【2012江西师大附中模拟理】若向量满足条件 ,(8)30abc,, abcx,,(1,1),(2,5),(3,)x则=
第93页 共99页
【2012年西安市高三年级第四次质检理】 已知向量.若a-2b与c共线 则k=_______
【答案】1
【解析】本题主要平面向量的共线和坐标运算 . 属于基础知识、基本运算的考查.
,,,,,
3331,,,,,kk? 与共线,? ab,2cab,,2(3,3),
,,,【2012三明市普通高中高三联考理】已知向量,,,若a,(3,1)b,(1,3)ck,(,7)
,,,
b?,则= ( k()ac,
【答案】5
【解析】本题主要考查向量的坐标的运算、向量的数量积公式. 属
于基础知识、基本运算的考查.
,,,,,
b ,??,?,1(6)3(3),,,,,k()ac,ack,,,,(3,6)
解得=5 k
【2012武昌区高三年级研理】在正三角形ABC中,D是BC上的点,AB=4,BD=1,则
,,,,,,,,
ABAD,, 。
第94页 共99页
,,1【2012三明市普通高中高三联考理】已知向量,函数axbx,,,,(sin,1),(3cos,)2
,,,
( fxaba()()2,,,,
(?)求函数的最小正周期; fx()T
bC,ABC(?)已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,acac,,23,4ABA
S,ABC且,求和的面积( Ab,fA()1,
【解析】本题主要考查了向量及其数量积、二倍角公式、周期公式,余弦定理和面积公式. 属
于容易题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力.
,,,,,,2解: (?) fxabaaab()()22,,,,,,,,
…………………2分
,fAA()sin(2)1,,,(?) 6
,,,,,5,,,,,,,2A,,AAA(0,),2(,)因为,所以, …………8分 3622666
113?S,bc,sinA,,2,4,,23 …………12分 222
第95页 共99页
3122x,R【2012山东青岛市模拟理】已知函数,,fxxxx()sin2(cossin)1,,,,22
,,ABCC将函数向左平移个单位后得函数,设三角形三个角、的对边、ABfx()gx()6
b分别为、、. ac
afC()0,sin3sinBA,b(?)若,,,求、的值; c,7
,,,,,,
(?)若且,,求的取值范围. mn,g(B),0mAB,(cos,cos)nAAB,,(1,sincostan)
,,gxx()sin(2)1,,,gBB()sin(2)10,,,,(?)由条件知所以, 66
,sin(2)1B,,所以 6
,,,13,,,,,2B,,,B2(,)B因为,所以 即 662666
,,,33, mA,(cos,)nAA,,(1,sincos)23
,,,3313,,,,,,,,,于是…… 8分 mnAAAAAAcos(sincos)cossinsin()23226
,,,5?,?,A,,(,,)BA(0,),,得 ……………………………………………10分 6666
第96页 共99页
,,,,【山东临沂市临沭一中高三模拟试题】已知 与的夹角,求,,:120ab||4,||8,ab,,
,,. ||ab,
,,,,,【山东省济宁市鱼台一中2012届高三模拟理】17、已知,是夹角为60?的单位向量,ee12,,,,,,,,,,,,
且,。 aee,,2bee,,,321212
,,
(1)求; ab,
,,,,
(2)求与的夹角。 ab,,ab,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,227ee【答案】17、解:(1),(,,6,,2,,; ab,(2)ee,,(32),,eeee,121212122
,,,,,,,,,,,,2|||2|(2)7aeeee,,,,,(2),同理得, ||7b,1212
,,,,,,,,ab,1所以,又,所以,120?。 ,,,:[0,180],,ab,,,ab,cos,,,,,,ab2||||ab
,【山东省济宁市鱼台一中2012届高三第三次模拟理】19、已知向量a,,(cos,,sin,)
,
3b,向量,(,,1) ,,[0,,]
,,
,ab, (1)若,求的值,;
,,
2abm,,(2)若恒成立,求实数的取值范围。 m
,,
3cos,,sin,,0tan,,3ab,【答案】19、解:(1)?,?,得,又,所,,[0,,]
π,,以; 3,,
2ab,(2)?,, (2cos,,3,2sin,,1)
,,2,,13π,,22,,2ab,所以, ,(2cosθ,3),(2sinθ,1),8,8sinθ,cosθ,8,8sinθ,,,,,223,,,,
ππ2ππ3,,,,,,[,]π又 ,?[0,,],?,?, ,sin[,1],,,,,33332,,,,,,,,2m,42ab,2abm,,2ab,?的最大值为16,?的最大值为4,又恒成立,所以。
第97页 共99页
【山东省济宁市鱼台二中2012届高三11月月考理】16.(本小题满分12分)
,,已知向量,(sin,1),,(1,cos),,( a,,b,,,22
(1) 若?,求; ab,
(2) 求|a,|的最大值( b
【答案】16. 解:(1)若a,b,则 sin,,cos,,0
,,,即 而,(,,),所以,, ,,tan,,,1422
,(2) a,b,3,2(sin,cos),3,22sin(,),,,4
,2,1,a,b当时,的最大值为 ,4
【山东省济南市2012届高三模拟】30.(本小题满分8分)已知平面向量
13,(,),(3,,1)a,b 222,(t,t,5),,kkk和t,4(?)若存在实数,满足xab,yab且x?y,求出 关,(t,2)
k,f(t)于的关系式;w.w.w..c.o.m t
k,f(t)t,(,2,2)(?)根据(?)的结论,试求出函数在上的最小值.
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