高等数学讲稿2-3反函数的导数、复合函数求导法则
章
节第三节 反函数的导数、复合函数求导法则
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
目
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
内
容
提
要
复合函数的求导法则 重
点
分
析
利用复合函数的求导法则时注意函数的复合过程、合理分解、正
确使用链导法
抽象函数求导 难 点 分 析
习:1(单)、2(单)、3(单)、5 P118题
布
置
备
注
1
教 学 内 容
一、反函数的导数
定理
,,,如果函数,在某区间内单调、可导且,x(y)I(y)0,y
那末它的反函数,在对应区间内也可导且有yf(x)I, x
1,f(x),.,,(x)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 证: 任取x,I,(,x,0,x，,x,I)给x以增量,xxx
由y,f(x)的单调性可知,y,0,
,y1于是有 ,,,x,x
,y
, ？f(x)连续,？,y,0(,x,0),又知,(y),0
,y111,,即,？fx,,, f(x).()limlim,x,0,y,0,x,,,(y),,x(y)
,y
例1 求函数y,arcsinx的导数.
,,,解: 且(siny),cosy,0,？x,siny在I,(,,)内单调、可导,y22
？在I,(,1,1)内有x
1111,(arcsinx),, ,,.22,(siny)cosy1,siny,x1
1,x,,同理可得 (arccos).2,x1
11,,x,arcx,, (arctan);(cot).22，x，x11例2 求函数y,logx的导数.a
yyy,解: ？x,a在I,(,,,，,)内单调、可导,且(a),alna,0,y
？在I,(0,，,)内有,x
2
111,(logx), ,,.ayy,(a)alnaxlna
1,特别地 (lnx),.x
二、复合函数的求导法则
定理
,,u,(x)x,y,f(u)u,(x)如果函数在点可导而在点可000
,,y,f[(x)]x,导则复合函数在点可导且其导数为 0
dy,,,f(u),,(x).x,x000dx
即:因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求
导.(链式法则)
y,,证: 由y,f(u)在点u可导,？lim,f(u)00,u,0u,
,y,, 则,y,f(u),u，,,u故,f(u)，,(lim,,0)00,u,0,u
,u,u,u,u,y,,,fu，,fu， ？limlim[(),]()limlim,lim00,x,0,x,,x,0,x,0,x,00,x,x,x,x,x
,, ,f(u),(x).00
推广:
设y,f(u),u,,(v),v,,(x),
则复合函数y,f{[(x)]}的导数为,,
dydydudv,,,.dxdudvdx
例3 求函数y,lnsinx的导数.
解: ？y,lnu,u,sinx.
dydyducosx1？,,, ,,cosx,cotxdxdudxsinxu
210例4 求函数y,(x，1)的导数.
dy2929292,解: ,10(x，1),(x，1),10(x，1),2x,20x(x，1).dx
2xax22例5 求函数y,a,x，arcsin的导数.22a
3
2xax22,,,解: y,(a,x)，(arcsin)22a
2211xa22 ,a,x,，222222a,x2a,x
22 ,a,x.
2x，1例6 求函数y,ln(x,2)的导数.3x,2
112解: ？y,ln(x，1),ln(x,2),23
111x1,？y,,,2x,,, 222x，13(x,2)x，13(x,2)
1sinx例7 求函数y,e的导数.
111sinsinsin11111xxx,,,e解: y,e(sin),e,cos,(),,,cos.2xxxxx
三、小结
反函数的求导法则(注意成立条件);
复合函数的求导法则(注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法); 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.
4
思考题
若在不可导，在可导，且，则在处u,g(x)f(u)uu,g(x)xf[g(x)]x00000
( )(
(1)必可导;(2)必不可导;(3)不一定可导;
思考题解答
正确地选择是(3)
例:在处不可导， f(u),|u|u,0
取在处可导， u,g(x),sinxx,0
在处不可导，所以1错 f[g(x)],|sinx|x,0
4在处可导， u,g(x),xx,0
44在处可导，所以2错 f[g(x)],|x|,xx,0
5
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