初中三角函数应用题练习题及答案

初中三角函数应用题练习题及答案 精品文档 初中三角函数应用题练习题及答案 第一阶梯 [例1]如图，AD?BC，AC?BC，若AD=3，DC=5，且?B=30?，求AB的长。 解:??DAC=90? 由勾股定理，有 222CD=AD+AC ?AD=3，DC=5 ?AC=4 ??B=30? ?AB=2AC ?AB=8 1 [例2]如图，?ABC中，?B=90?，D是BC上一点，且AD=DC，若tg?DAC=4, 求tg?BAD。 探索:已知tg?DAC是否在直角三角形中,如果不在怎么办,要求?BAD的正切值需要满足怎样的条件, 点拨:由于已知中的tg?DAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。 又要求?BAD的正切值应已知Rt?BAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提 供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg?DAC的条件。由于AD=DC，即?C=?DAC，这时也可 1 / 18 精品文档 把正切值直接移到Rt?ABC中。 解答:过D点作DE?AC于E， ?tg?DAC?14 tg?DAC? 且DEAE 设DE=k，则AE=4k ?AD=DC, ??DAC=?C，AE=EC ?AC=8k tgC? ? AB1?BC设AB=m，BC=4m 由勾股定理，有22AB+BC=AC ?m?8k17 k17 ?BC?由勾股定理，有22 CD=DE+EC ?CD?k ?BD?k1 由正切定理，有 DBAB15?tg?BAD?.tg?BAD? [例3]如图，四边形ABCD中，?D=90?，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。 探索:已知条件提供的图形是什么形,其中?D=90?，AD=3，DC=4，可提供什么知识,求sinB应放在什么图形中。 点拨:因已知是四边形所以不能求解，由于有 2 / 18 精品文档 ?D=90?，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12， 所以可证?ABC是Rt?，因此可求sinB。 解:连结AC ??D=90? 由勾股定理，有 22 AC=CD+CD ?AD=3，CD=4， ?AC=5 ?AB=13，BC=12 222?13=12+5 ??ACB=90? 由正弦定义，有 ACAB5?sinB?1sinB? 第二阶梯 [例1]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30?，前进20米后到D处，又测得A的 仰角为45?，求塔高AB。 探索:在河对岸的塔能否直接测得它的高度,为什么在C、D两处测得仰角的含义是什 么,怎样用CD的长, 点拨:要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如 3 / 18 精品文档 何利用两个仰角及CD长，由于塔身与地面垂直，且C、D、B三点共线这时可以构成一个直 角三角形，且有?ACB=30?，?ADB=45?，这时就可 以借助解直角三角形的知识求解了。 解:根据仰角的定义，有 ?ACB=30?，?ADB=45? 又AB?CB于B。 ??DAB=45? ?DB=AB 设 AB=x 由正切定义，有 AB DB AB及tg?ACB?.CB ?CD?x ?CD?20,tg?ADB? ?x?20 解得x?10 即塔高AB?10 答:塔高AB为10米。 第三阶梯 [例1]已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，求它的周长及面积。 4 / 18 精品文档 探索:在现在的已知条件下能否求得周长与面积,如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a， 能否确定腰长及各个内角呢,首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办, 点拨:由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形， 再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。 设已知?ABC中，AB=AC，BC=a 解:过A点作:AD?BC竽D点，设?BAD=α ?AB=AC a,?BAD??CAD???BD=CD=根据正弦定义，有 sin?BAD?BD AB aa即AB??.sin?2sin?a同理AC?2sin? a ?AB+AC+BC=a+sin? 由余切定义，有 ctg?BAD?ADDB a?ctg??AD=2 ?S?ABC?1BC?AD? S?ABCa2??ctg??注意:也可设?BAC=α，则?BAD=2。 [例2]有一块矩形纸片ABCD，若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm，且?DFC=2θ，?ECB=θ， 5 / 18 精品文档 求折痕CE长。 探索:根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么,它会有怎样的结论,这时又可以形成什么 图形关系,另知DC的长能否求折痕呢,又根据条件我们还可以确定什么,这时又可形成怎样的问 题, 点拨:由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有?EBC??FEC，同时又可有?AEF??CDF。 根据已知条件?DFC=2θ及?ECB=θ，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求CE的长。 解:根据已知条件，有 ?EBC??FEC ?EB=EF，BC=FC，?ECB=?ECF ??CFD=2θ，且?ECB=θ ??ECF=θ 由余弦定义，有 cos?ADC? CDCF ??ADC=90?,2θ CF? ? CDsin2? 由余弦定义，有 ?cos?FCE? ?CE?CFCE [例3]如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30?， 6 / 18 精品文档 又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离， 6sin2?cos? 图6-5-5 思路分析: 易知ΔACD是等腰直角三角形，要求AD，不能利用ΔACD直接求得，由于BD?20?1?10,图形中再没有2 其他的直角 三角形，必须构造直角三角形，作CE?AD于E，只要求出CE，就可能以求出AD，借助两个直角三角形中，BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE。 [解] 作CE?AD，垂足为E，设CE=x海里 ??CAD=?CDA=90?-45?=45?， ?CE=AE=DE=x。 在RtΔBCE中，?CBE=90?-30?=60?， ?BE?CE?cot60?? 由DE-BE=BD得，x, x?1x?20?，2 解得x?15?5。 ?AD?2x?海里。 第四阶梯 [例1]有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD， 7 / 18 精品文档 AB?DC，斜坡AD的坡度i1=1:1.2,斜坡BC的坡度i2=1:0.8，大 坝顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF?DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上，当新大坝顶宽EF为3.8米时，大坝加高了几米, 三角函数的应用题 考点一: 锐角三角函数的定义及性质 例1(如图，在矩形ABCD中，DE?AC于E，设?ADE,?，且cos?,，AB,4，则AD 的长为 A(3 1例2(直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角的正切值为，则k的值为 . 1.在Rt?ABC中,?C=90?,BC=4,AC=3,则cosA的值为2.如图，在?ABC中，?C=90?，?B=50?，AB=10，则BC的长为 10A.10tan50? B.10cos50? C.10sin50? D. cos50? 考点二: 特殊角的三角函数值 例3(计算:?2245??2?1?0 例4(化简30??1)2,A、1? B、3?1 C、3?1 D 、?13 8 / 18 精品文档 3B(16201C( D(35 1.计算: sin60? ?tan45?的值是。.计算?cos30 ?3(已知在?ABC 中，若sinA?1??cosB???0，求?C的度数。 ?? 考点三: 锐角三角函数的关系 3例6(在?ABC中，?C,90?，sinA,，则tanA?cosA的值是 2 34916A、 B、C、D、52525 1(如果?是锐角，且sin2??sin54??1，那么?的度数是 A(54?B(46?C(36?D(26? 2(已知?A，?B,90?，则下列各式中正确的是 A.sinA,sinBB.cosA,cosBC.sinA,cosBD.tanA,tanB [例1]如图，AD?BC，AC?BC，若AD=3，DC=5，且?B=30?，求AB的长。 [例2]如图，四边形ABCD中，?D=90?，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。 9 / 18 精品文档 [例3]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30?，前进20米后到D处，又测得A的 仰角为45?，求塔高AB。 [例4]已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，求它的周长及面积。 1(如图:6-5-8，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB=____。 2(如图6-5-9，在高2米，坡角为30?的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 _______米 图6-5-8图6-5-9 3(如图6-5-10，在高离铁塔150米的A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30?，已知测角仪高AD=1.52米，则塔高BE=_______ 图6-5-10图6-5-11 4(如上图某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为60米，坡角为30?，则坝高为_______米。 5.在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45?，沿水平方面再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60?，那么电视塔高为_______。 三角函数的应用题 一、 1、了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。 10 / 18 精品文档 2、掌握仰角、俯角、坡度、坡角等概念，利用解直角三角形解应用问题。 3、学会测量底部可以到达的物体的高度。 二、 会利用解直角三角形的知识解决一般图形问题，并能掌握把一般三角形化为直角三角形的方法。 三、 第一阶梯 [例1]如图，AD?BC，AC?BC，若AD=3，DC=5，且?B=30?，求AB的长。 解:??DAC=90? 由勾股定理，有 222CD=AD+AC ?AD=3，DC=5 ?AC=4 ??B=30? ?AB=2AC ?AB=8 1 [例2]如图，?ABC中，?B=90?，D是BC上一点，且AD=DC，若tg?DAC=4, 求tg?BAD。 探索:已知tg?DAC是否在直角三角形中,如果不在怎么办,要求?BAD的正切值需要满足怎样 11 / 18 精品文档 的条件, 点拨:由于已知中的tg?DAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。 又要求?BAD的正切值应已知Rt?BAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提 供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg?DAC的条件。由于AD=DC，即?C=?DAC，这时也可 把正切值直接移到Rt?ABC中。 解答:过D点作DE?AC于E， ?tg?DAC? 14 DE AE tg?DAC? 且设DE=k，则AE=4k ?AD=DC, ??DAC=?C，AE=EC ?AC=8k tgC? ? AB1?BC设AB=m，BC=4m 由勾股定理，有22 AB+BC=AC 1 ?m?8k17 k17 ?BC?由勾股定理，有22CD=DE+EC ?CD?k ?BD?k1 由正切定理，有 DBAB15?tg?BAD?.tg?BAD? 12 / 18 精品文档 [例3]如图，四边形ABCD中，?D=90?，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。 探索:已知条件提供的图形是什么形,其中?D=90?，AD=3，DC=4，可提供什么知识,求sinB应放在什么图形中。 点拨:因已知是四边形所以不能求解，由于有?D=90?，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12， 所以可证?ABC是Rt?，因此可求sinB。 解:连结AC ??D=90? 由勾股定理，有 22 AC=CD+CD ?AD=3，CD=4， ?AC=5 ?AB=13，BC=12 222?13=12+5 ??ACB=90? 由正弦定义，有 ACAB5?sinB?1sinB? 第二阶梯 解:过A点作:AD?BC竽D点，设?BAD=α 13 / 18 精品文档 ?AB=AC a,?BAD??CAD???BD=CD=2 2 [例1]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30?，前进20米后到D处，又测得A的 仰角为45?，求塔高AB。 探索:在河对岸的塔能否直接测得它的高度,为什么在C、D两处测得仰角的含义是什 么,怎样用CD的长, 点拨:要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如 何利用两个仰角及CD长，由于塔身与地面垂直，且C、D、B三点共线这时可以构成一个直 角三角形，且有?ACB=30?，?ADB=45?，这时就可 以借助解直角三角形的知识求解了。 解:根据仰角的定义，有 ?ACB=30?，?ADB=45? 又AB?CB于B。 ??DAB=45? ?DB=AB 设AB=x 由正切定义，有 14 / 18 精品文档 AB DB AB及tg?ACB?.CB ?CD?x ?CD?20,tg?ADB? ?x?20 解得x?10 即塔高AB?10 答:塔高AB为10米。 第三阶梯 [例1]已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，求它的周长及面积。 探索:在现在的已知条件下能否求得周长与面积,如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a， 能否确定腰长及各个内角呢,首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办, 点拨:由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形， 再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。 设已知?ABC中，AB=AC，BC=a 根据正弦定义，有 sin?BAD? BDAB aa即AB??.sin?2sin?a同理AC?2sin? 15 / 18 精品文档 3 a ?AB+AC+BC=a+sin? 由余切定义，有 ctg?BAD?ADDB a?ctg??AD=S?ABC?1BC?AD? ? S?ABCa2??ctg??注意:也可设?BAC=α，则?BAD=2。 [例2]有一块矩形纸片ABCD，若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm，且?DFC=2θ，?ECB=θ， 求折痕CE长。 探索:根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么,它会有怎样的结论,这时又可以形成什么 图形关系,另知DC的长能否求折痕呢,又根据条件我们还可以确定什么,这时又可形成怎样的问题, 点拨:由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有?EBC??FEC，同时又可有?AEF??CDF。 根据已知条件?DFC=2θ及?ECB=θ，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求CE的长。 解:根据已知条件，有 ?EBC??FEC ?EB=EF，BC=FC，?ECB=?ECF ??CFD=2θ，且?ECB=θ 16 / 18 精品文档 ??ECF=θ 由余弦定义，有 cos?ADC? CDCF ??ADC=90?,2θ CF? ? CDsin2? CFCE 由余弦定义，有 ?cos?FCE? ?CE? [例3]如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30?， 又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离， 6sin2?cos? 图6-5-5 思路分析: 易知ΔACD是等腰直角三角形，要求AD，不能利用ΔACD直接求得，由于BD?20?1?10,图形中再没有2 其他的直角 三角形，必须构造直角三角形，作CE?AD于E，只要求出CE，就可能以求出AD，借助两个直角三角形中，BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE。 [解] 作CE?AD，垂足为E，设CE=x海里 ??CAD=?CDA=90?-45?=45?， 17 / 18 精品文档 ?CE=AE=DE=x。 在RtΔBCE中，?CBE=90?-30?=60?， ?BE?CE?cot60?? 由DE-BE=BD得，x, x?1x?20?，2 解得x?15?5。 ?AD?2x?海里。 第四阶梯 [例1]有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB?DC，斜坡AD的坡度i1=1:1.2,斜坡BC的坡度i2=1:0.8，大 坝顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF?DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上，当新大坝顶宽EF为3.8米时，大坝加高了几米, 5 18 / 18