重庆工商大学第六届大学生
数学
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建模竞赛
暨2014年全国大学生数学建模选拔赛
论文题目: 养老金
计划
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参赛队员信息
姓 名
学号
学院
专业班级
联系电话
性别
宿舍
特 长
相关学科平均成绩
高
等
数
学
线性代数
概率统计
计算机
李祥龙
2012XXXXX
数统学院
151XXXXXX
男
X
无
X
X
X
X
丁月月
2012XXXXX
管理学院
151XXXXXX
女
X
建模
X
X
X
X
周影
2012XXXXX
管理学院
138XXXXXX
女
X
写作
X
X
X
X
2013年 6 月 5 日
养老金计划的数学模型
摘要
中国正在跑步进入老龄化社会,养老金短缺问题受到了社会各界的广泛关注。经预测,到2039年,我国将出现不足两个纳税人供养一个养老金领取者的局面,这被称为“老龄社会危机时点”.
本文就养老金问题进行了讨论。假定养老金计划从20岁开始至80岁结束,参加者20到60岁时工作阶段,他会每月存入一定的金额,60岁退休以后,每月初领取相等的退休金,一直领取20年。建立数学模型,计算参加者不同年龄阶段投入不同的金额,他所领取到的养老金是多少。我们把它分为了两个阶段,先是以年金的形式算出参加者从投入资金到60岁一月初时的本息和,再计算出了他从60岁到80岁领取养老金的
公式
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,从而求出了他每月领取的养老金P.
然后利用Matlab编写程序,最终得出了结果,越早参加养老金计划,领取的养老金越多。从20岁开始参加养老金计划,每月领取的养老金为12205.7元;从35岁开始参加养老金计划,每月领取的养老金为5747.6元;从48岁开始参加养老金计划,每月领取的养老金为4644.4元.
最后,本文讨论了该模型的优缺点,并进行了进一步的推广与分析.
关键词:老龄化 养老金 年金 Matlab
一、问题重述
养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金,这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束,年利率为10℅.参加者的责任是,未退休时(60岁以前)每月初存入一定的金额,其中具体的存款方式为:
20岁~29岁每月存入X1元,30岁~39岁每月存入X2元,40岁~49岁每月存入X3元,50岁~59岁每月存入X4元.参加者的权利是,从退休(60岁)开始,每月初领取退休金
,一直领取20年.建立养老金计划的数学模型,并计算不同年龄的计划参加者的月退休金.
1、从20岁开始参加养老金计划,假设X1=X2=X3=X4=200元;
2、从35岁开始参加养老金计划,假设X2=200元,X3=500元,X4=1000元;
3、从48岁开始参加养老金计划,假设X3=1000元,X4=2000元.
二、问题分析
我们先对整个问题进行分析,建立一个适用于从任何年龄(20—59岁)开始参加养老金计划的数学模型,再分别代入数据,计算出从20岁开始参加养老金计划、从35岁开始参加养老金计划和从48岁开始参加养老金计划可以得到的养老金补助.
我们把参加者从开始参加养老金计划到80岁分为两个阶段。第一个阶段为缴纳养老金阶段,从参加养老金计划开始到60岁1月初,计算出所有月份缴纳的养老金到60岁1月初时的本息和S;第二阶段为领取养老金阶段,从60岁1月初到80岁12月初,利用上一个阶段求出的S计算出每月应当领取的养老金P,使得80岁最后一个月领取养老金后账户的余额为0.
三、模型假设
1、假设参加者能领取养老金的年龄恰好到80岁,不多不少.
2、假设年利率一直都为10%不会受外界的其他因素而变动.
3、假设参加者每月初都是按时缴纳相应的养老金,不会出现拖欠或间断的情况.
4、假设参加者80岁时,银行恰好能把参加者所缴纳的养老金的本息和全部返还给参加者,账户余额没有剩余.
5、假设参加者每月初都会按时去领取养老金,不会提前或延迟.
四、符号说明
符号
符号说明
某人开始参加养老金时的年龄,i为所处年龄段,i∈{1,2,3,4};
∈[20,29],
∈[30,39],
∈[40,49],
∈[50,59]
第i个年龄段存钱时每个月要存的金额, 单位为元;
b
在[20,29]年龄段存钱的计息次数;
c
在[30,39]年龄段存钱的计息次数;
d
在[40,49]年龄段存钱的计息次数;
e
在[50,59]年龄段存钱的计息次数;
B
在[20,29]年龄段存钱的存到60岁时的本息和,单位为元;
C
在[30,39]年龄段存钱的存到60岁时的本息和,单位为元;
D
在[40,49]年龄段存钱的存到60岁时的本息和,单位为元;
E
在[50,59]年龄段存钱的存到60岁时的本息和,单位为元;
S
某人开始存钱到60岁存的钱的本息和, 单位为元;
某人每月初领取退休金, 单位为元.
五、模型的建立
一、建立每个年龄段存入的金额到60岁时所产生的利息和的数学模型
分不同的年龄段求在该年龄段内每个月所存入的金额及到60岁时所产生的利息和.由于人们是每个月的存钱,计算利率时也要用月利率,即10%/12.
1、 20—29岁
当人们在20岁~29岁中的
岁开始每月存入X1元时,到60岁时该月金额的本息和为(1+10%/12)的b次方乘X1,b为该月月利率循环的次数。计算
到29岁最后一个月所有月份循环的次数,则b从361到12× (29-
+1)+360。故在该年龄段,60岁时所产生的本息和一般模型为
B =
(化简得之)
其中,20<=
<29
2、30—39岁
当人们在30岁~39岁中的
岁开始每月存入X2元时,到60岁该月金额的本息和为(1+10%/12)的c次方乘X2,c为该月月利率循环的次数。计算
到39岁最后一个月所有月份循环的次数,则c从241到12×(39-
+1)+240。故在该年龄段,60岁时所产生的本息和一般模型为
C =
(化简得之)
其中,30<=
<39
3、40—49岁
当人们在40岁~49岁中的
岁开始每月存入X3元时,到60岁该月金额的本息和为(1+10%/12)的d次方乘X3,d为该月月利率循环的次数。计算
到49岁最后一个月所有月份循环的次数,d从121到12×(49-
+1)+120。故在该年龄段,60岁时所产生的本息和一般模型为
D =
(化简得之)
其中,40<=
<49
4、50—59岁
当人们在50岁~59岁中的
岁开始每月存入X4元时,到60岁该月的金额的本息和为(1+10%/12)的e次方乘X4,e为该月月利率循环的次数。计算
到59岁最后一个月所有月份循环的次数,e从1到12×(59-
+1)。故在该年龄段,60岁时所产生的本息和一般式为
E =
(化简得之)
其中,50<=
<59
二、计算参加者从参加养老计划开始到60岁一共所得金额
基础公式
S=B+C+D+E
求解得到模型为
在20~29岁时参加养老金计划
+
+
+
在30~39岁时参加养老金计划
在40~49岁时参加养老金计划
在50~59岁时参加养老金计划
三、求参加者每月初领取退休金金额
参加者到60岁时产生的本利息和为s,从退休(60岁)开始,每月初领取退休金
,但余额仍然在产生利息.以此一边产利一边领p的模式领取20年,直到80岁的最后一个月账户余额为0,并以最后一个月账户余额为0的情形建立等式,求得p.
第一个月账户余额
第二个月账户余额
第三个月账户余额:
第四个月账户余额:
......
由上述结果,我们可以演绎推理出更一般的情形
即第n个月账户余额为
由于第80岁的最后一个月,应为第240个月,故令n为240,联系此时账户余额为0建立平衡
0=
=
解之得
的模型为:
六、模型的求解
问题一的求解
=12205.7
问题二的求解
=5747.6
问题三的求解
=4644.4
七、模型的优缺点讨论
1、 模型优点
(1) 给出一个年龄就可以计算出相应的月退休金,若运用到实际中,会带来很大的便利;
(2) 因为等式是以最后一个月的账户金额为0建立的,所以按照我们计算的
值,可以让参加者完全取出自己的本利和,最大限度的保障了自己的利益;
(3) 建模的思路简单,原理易于让他人接受;
(4) 编程简单易行,可以快速计算出
值.
2、 模型缺点:
(1) 该模型是在假设的条件下建立的,所以有一定的局限性,比如若没有考虑到利率的变化,参加者能领取养老金的年龄不可能恰好到80岁等;
(2) 该模型只能以参加者的整数年龄计算,即参加者开始缴纳养老金是每个年龄阶段1月初,而不能更加细致地表现出其他月份不为1甚至是天数不为1的情况.比如某人是27岁8月6日参加养老计划的,而不是27岁1月1日,那么在模型中就不能很方便地计算出
值.
八、模型改进与推广
(1)上述我们只是计算了参加者开始缴纳养老金是每个年龄阶段1月初的情况,我们可以将其改进成不是1月初的情况,进一步推广,将年利率变成日利率,还可以计算出不是月初而是某一天的情况,这样就能更接近实际情况.
(2)在实际生活中,利率不是一成不变的,我们可以将利率的变动情况考虑进去,进一步推广成养老金的动态模型.
参考文献
[1] 王化成主编,财务管理(第三版),北京:中国人民大学出版社,2010
[2] 姜启源 谢金星 邢文训 张立平编著,大学数学实验(第2版),清华大学出版社,2010
附录
附录一:用MATLAB编程
(1)
x=[200 200 200 200];
a=[20 30 40 50];
syms b c d e
B= symsum(x(1).*(1+0.1/12)^b,b,361,720-12.*a(1));
% 20岁~29岁中的
岁开始每月存入X4元时,到60岁该月的金额的本息和;
C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)^c,c,241,720-12.*a(2));
% 30岁~39岁中的
岁开始每月存入X4元时,到60岁该月的金额的本息和;
D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)^d,d,121,720-12.*a(3));
% 40岁~49岁中的
岁开始每月存入X4元时,到60岁该月的金额的本息和;
E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)^e,e,1,720-12.*a(4));
% 50岁~59岁中的
岁开始每月存入X4元时,到60岁该月的金额的本息和;
S=B+C+D+E;
% 从开始存钱到60岁时,总共产生本息和;
S=vpa(S);
% 将计算结果化成小数;
p=[(1+0.1/12)^(239)*0.1]/[12*(1+0.1/12)^(240)-12]*S
% 每月初领取退休金。