三 幂级数问题
1 收敛域问题
例 40 求下列级数的收敛域：
（1） ( )∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−
+
−
1 2
2
23
1
n
nn
x
x
n
； （2） ( )( ) ( )∑
∞
= +++1 2 111n n
n
xxx
x
" ；
（3）∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
1
1
n
x
n
n
n
x
； （4） ( )∑∞
=
++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
1
2 1
3
1sin
n
nxx
n
．
解（1）令 ( ) ( ) nnn x
x
n
xu ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−
+
−=
2
2
23
1 ，由于
( )
x
x
x
x
n
xu n
n
n
nn +
−=+
−
+= ∞→∞→ 2
2
2
2
23
1limlim ．
当 1
2
2 <+
−
x
x ，即 xx +<− 22 ， 时，原级数绝对收敛； 0>x
当 1
2
2 >+
−
x
x ，即 时，原级数发散； 0
<=+= +∞→
+
∞→ 1,0
1,
1
limlim
1
1
x
xx
x
x
xu
xu
nn
n
n
n
故当 1>x 或 1x 1≤x 时发散，故原级数的收敛域为 ( )． ∞+,1
（4）令 ，则原级数化为12 ++= xxt ∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
1 3
1sin
n
nt
n
， 1
33
1sin
3
1sin
lim =
+
= ∞→
n
nR
n
， 发
散， 收敛，因此原级数在 ，即
1=t
1−=t 111 2 <++≤− xx 01 <<− x 时收敛．
例 41 求下列幂级数的收敛半径与收敛域．
（1）∑∞
=
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
1
2
11
n
n
n
x
n
； （2）∑∞
= +1n nn
n
ba
x （ ） 0,0 >> ba
（3） ( )∑∞
=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+
1
12sin1
2
1
n
nn
n xn ； （4）
( ) ( )∑∞
=
+−+
1
123
n
n
nn
x
n
．
解（1） 111lim11lim
2
−
−
∞→
−
∞→ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + e
nn
n
n
n
n
n
， eR = ，收敛区间为 ． ( )ee,−
当 ex = 时，原级数变为∑∞
=
− ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+1 1 )1(n
n
nn
e ，而 ( ) en n <+ −11 ， 1
)1( 1
≥⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+ −
n
nn
e ，发
散；同理 ex −= 时也发散，故收敛域为 ( )ee,− ．
（2） { }bababa n nn
n
n
nnn ,max
1
lim
11lim =+=+ ∞→∞→
，所以 { }baR ,max= ．
不妨设 ，则当ba ≥ ax = 时，得数项级数 ∑∞
= +1n nn
n
ba
a ， 01≠→+= nn
n
n ba
au ，发散；同
理 ax −= 时也发散，因此收敛域为 { } { }( )baba ,max,,max− ．
（3）原级数化为三个幂级数之和，即
( ) ( ) ∑∑∑∑ ∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
+ ⋅+−+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+
1
12
1
12
1
12
1
12 sin1
2
1sin1
2
1
n
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n xnxxxn ．
∑∞
=
+
1
12
2
1
n
n
n x ： 2
2
2
1
12 →+n n ， 2=R ，收敛区间为 ( )2,2− ；
( )∑∞
=
+−
1
121
n
nn x ：收敛域为 ； ( )1,1−
∑∞
=
+⋅
1
12sin
n
nxn ： 1212sin ++ ≤⋅ nn xxn ，而∑∞
=
+
1
12
n
nx 的收敛域为 ( )1,1− ，因此，幂级数
在 内收敛． ∑∞
=
+⋅
1
12sin
n
nxn ( 1,1− )
因此原级数的收敛域为 ( )． 1,1−
（4）令 ，则原级数化为1+= xt ( )∑∞
=
−+
1
23
n
n
nn
t
n
，而
( ) 323lim =−+∞→ n
nn
n n
．
所以
3
1=R ．当
3
1=t 时，原级数化为 ( ) ∑∑∑ ∞
=
∞
=
∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
111 3
211
3
123
n
n
nn
nnn
nnn
，发散，
当
3
1−=t 时，原级数化为 ( ) ( ) ∑∑∑ ∞
=
∞
=
∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⋅−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−+
111 3
2111
3
123
n
n
n
n
n
nnn
nnn
，收敛．因此
收敛域为 ⎟⎠
⎞⎢⎣
⎡− 1,
3
1 ，从而所求级数的收敛域为
3
11
3
1 <+≤− x ，即 ⎟⎠
⎞⎢⎣
⎡ −−∈
3
2,
3
4x ．
思考题 8（华中科技大学）求级数∑∞
= +
−−+
0
2 )1
1)(11(
n
n
x
xnn 的收敛域．
例 42（北师大）讨论级数 "" +++++++ 12
1
48
1
34
1
22
11
32 nxxxx nn
的收敛
性，求出它的收敛区间与一致收敛区间．
解 令
x
t
2
1= ，则原级数化为 ∑∑ ∞
=
∞
= +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+ 00 12
1
1
1
n
n
n
n
n
t
xn
，此级数收敛域为
，故原级数在[ )1,1− ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −≤⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ >=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ <≤−
2
1
2
11
2
11 xxxx
x
x ∪ 收敛，由幂级数性质知在
其内部任一闭区间一致收敛．
例 43（北京大学 1998）解答下列问题：
（1）求级数 nn
n
n
xe
n
n
)(
!
)1(
1
∑∞
=
− 的收敛半径；
（2）求级数∑∞
=
+
0 !
)1(2
n
n
n
n 的和．（内蒙古大学）
解（1）记该级数的系数为 ，则 na
1)1(lim)(
)1(
!)1(
)!1(
)1(limlim
1
1
1
1 =+=−⋅
+
+
−=
−
∞→
+
+
∞→
+
∞→ e
n
n
en
e
n
na
a n
n
n
n
n
n
nn
n
n
，
所以，收敛半径为 1．
（2） 2
1 0
1
00
3!
2
)!1(
22)!
2
!
2(
!
)1(2 ennnn
n
n
n
n n
nn
n
nn
n
n
=+−=+=
+ ∑ ∑∑∑ ∞
=
∞
=
−∞
=
∞
=
．
例 44求下列级数的收敛域：
（1）∑∞
=
++
1
)1()11(
n
nnn xn ；（武汉大学 1999）
（2） n
n
nn
xn∑
∞
=
+
1
23 ；（天津大学 1998）
解（1）由于 enn
n
n
n nn
n
=+=+ +∞→
+−
∞→
1)1(1 )11(lim)1(lim ，所以收敛半径为 ．当
时，
1−e 1−±= ex
1))1(()1()11(
11
)1( ≥+=±+
+−
+ n
n
nnn
e
n
en ，
即级数在 处都发散，所以收敛域为 （其中最后一步是由于数列1−±= ex ),( 11 −−− ee
{ }11 )1( +−+ nn 严格单调递减收敛于 e）．
（2）由于 323lim =+
∞→
n
nn
n n ，所以收敛半径为 ．当 时，
13− 13−=x
∑ ∑∑∑ ∞
=
∞
=
∞
=
∞
= ⋅+=
+=+
1 111 3
21
3
12323
n n
n
n
n
n
nn
n
n
nn
nnn
xn ，
右端第一个级数发散，第二个级数收敛，所以原级数发散．当 时， 13−−=x
∑ ∑∑∑ ∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−+−=−
+=+
1 111 3
2)1()1(
)3(
12323
n n
n
nnn
n
n
nn
n
n
nn
nnnxn ，
右端两个级数都收敛，所以原级数收敛．由此得收敛域为 )
3
1,
3
1[− ．
例 45 求下列级数的收敛域与和函数：
（1） n
n
n xn
n 2
1
1 12)1(∑∞
=
− +− ；（北航 2001）
（2）∑ ；（北航 2000） ∞
=
−
1
)1(
n
nxn
（3）∑∞
= +1 )1(n
n
nn
x ．（北航 1999）
解（1）由于
2
2
22
12)1(
1
32)1(
lim x
xn
n
x
n
n
nn
nn
n
=+−
+
+− +
∞→
，
令 得12 ∀ε ， 0>∃N ， Nn >∀ ， ，
有
Ν∈∀p
( ) ε<∑+
+=
pn
nk
k xu
1
， ( )00 xUx∈∀
令 得 0xx→
ε≤∑+
+=
pn
nk
kc
1
由 Cauchy准则，级数 收敛，设其和为C． ∑∞
=1n
nc
设 ， ，( ) ( )∑∞
=
=
1n
n xuxS ( ) ( )∑
=
=
n
k
kn xuxS
1
( )00 xUx∈ ．由其一致收敛和 的收敛性
知，
∑∞
=1n
nc
0>∀ε ， Ν∈∃ 0n ，使得
( ) ( ) 3
0
ε<− xSxS n ， 3
0
1
ε<−∑
=
n
k
kcC ．
又 （ ）．对上述( ) ( ) ∑∑
==
→= 00
0
11
n
k
k
n
k
kn cxuxS 0xx→ 0>ε ， 0>∃δ ， δ<−<∀ 00: xxx ，
有
( ) 30
0
1
ε<−∑
=
n
k
kn cxS ．
从而有
( ) ( ) ( ) ( ) ε<−+−+−≤− ∑∑
==
CccxSxSxSCxS
n
k
k
n
k
knn
00
00
11
，
故命题成立．
证法二 关于∑ 的敛散性同上． ∞
=1n
nc
由于 ( ) nnxx cxu =→ 0lim 存在，补充 ( )xun 在 处的值0x ( ) nn cxu = ，则 ( )xun 在 连续且
一致收敛，从而和函数在
0xx =
( )∑∞
=1n
n xu 0xx = 点连续，由和函数连续定理知
( ) ( ) ∑∑∑ ∞
=
∞
= →
∞
=→
==
111 00
limlim
n
n
n
nxxn
nxx
cxuxu ．
注 此命题表明：若级数 在 内一致收敛，且∑ 收敛，则
在 内一致收敛．
∑∞
=1
)(
n
n xu )( 0
0 xU
∞
=1
0 )(
n
n xu
∑∞
=1
)(
n
n xu )( 0
0 xU
例 47（北师大）设 在 连续（( )xun [ ba, ] ",2,1=n ）， 在( )∑∞
=1n
n xu ( )ba, 内一致收敛．求
证 在 一致收敛． ( )∑∞
=1n
n xu [ ba, ]
]证 由于 在 [ 连续，故( )xun ba, ( ) ( )auxu nnax =+→lim ， ( ) (buxu nnbx )=−→lim ，又
在 内一致收敛，利用逐项取极限定理可知级数 和 收敛，从而由
在 ( 内一致收敛知 在在
( )∑∞
=1n
n xu
( ba, )
)
( )∑∞
=1n
n au ( )∑∞
=1n
n bu
( )∑∞
=1n
n xu ba, ( )∑∞
=1n
n xu [ ]ba, 一致收敛（利用 Cauchy 准则证明）．由
连续和函数在( )xun [ ]ba, 连续，从而在 [ ]ba, 一致连续．
例 48（厦门大学）设函数 在( )xun ( )1,0 单调增加，且 ( ) 0≥xun ， ，又假设
在 ( 逐点收敛，并且有上界，那么 在
",2,1=n
( )∑∞
=1n
n xu )1,0 ( )∑∞
=1n
n xu ( )1,0 一致收敛，且
( ) ( )∑∑ ∞
= −→
∞
=−→
=
1 1101
limlim
n
nxn
nx
xuxu
证 根据逐项取极限定理，要证上式成立，只需证 在( )∑∞
=1n
n xu ( )1,0 内一致收敛，并且
存在． ( )xunx −→1lim
10 先证 ( )xunx −→1lim 存在．
由于 在 ( ，故只需证( )xun ) ↑1,0 ( )xun 有界即可．
事实上，由 ( ) 0≥xun 及 收敛知( )∑∞
=1n
n xu ( ) ( )xSxun ≤ ，而 ( )xS 有上界，故 有上
界．从而极限存在，记为 ，即
( )xun
( )1nu
( ) ( )1lim
1 nnx
uxu =−→
且由 的单增性知( )xun ( ) ( )10 nn uxu ≤≤ ， ",2,1=n ．
20 证明 在 一致收敛．由上式，只需证 收敛即可． ( )∑∞
=1n
n xu ( 1,0 ) ( )∑∞
=1
1
n
nu
事实上， ，令( ) ( ) MxSxun
k
k ≤≤∑
=1
−→1x 得
( ) Mun
k
k ≤∑
=1
1 ．
而 ，故 收敛，由( ) 01 ≥ku ( )∑∞
=1
1
n
nu −M 判别法知 在( )∑∞
=1n
n xu ( )1,0 上一致收敛．
（2）和函数的连续性
例 49 证明： ( )∑
∞
−∞= −n xn 2
1 当 x不等于整数时收敛，周期为 1，且和函数连续．
证 ( ) ( ) ( )∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
−∞= −−+−=− 1 20 22
111
nnn xnxnxn
．
当 x不等于整数时， ，则有∞→n ( ) ( ) 11
11
22 →⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−± nxn ，收敛，可设其和函数为
．又( )xf ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )xfxkxnxnxf knn =−=−−=+−=+ ∑∑∑
+∞
−∞=
+∞
−∞=
+∞
−∞=
222
1
1
1
1
11 ，故 以
1为周期．由此，其连续性仅在 ( 中证明即可．由于
( )xf
)1,0
( ) ( )22 1
11
−<− nxn ， ( ) 22
11
nxn
<+ （ ） 2>n
所以级数在 一致收敛，故 连续． ( 1,0 )
)
( )xf
例 50 设 是 的一个序列，{ }nx ( 1,0 10 << nx ，且 ji xx ≠ ， ji ≠ ．试讨论函数
( ) ( )∑∞
=
−=
1 2
sgn
n
n
nxxxf 在 ( 的连续性，其中)1,0 xsgn 是符号函数．（北京大学）
解 10 ( ) nn nxx 2
1
2
sgn ≤− ，而∑∞
=1 2
1
n
n 收敛，故
( )∑∞
=
−
1 2
sgn
n
n
nxx 一致收敛．
20 设 为 中任一点，则通项nxx ≠0 ( 1,0 ) ( )xun 在 连续，由定理10x ′（P17）知 在
连续．
( )xf
0x
30 设 为{ 中某点，不妨设为 ，则 0x }nx kx
( ) ( ) ( )∑
≠
−+−=
kn
k
k
n
n xxxxxf
2
sgn
2
sgn ，
上式右端第一项连续，第二项在 kxx = 处间断，从而其和间断，即 ( )xf 在 处间断． kx
例 51 证明： ( ) ∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
1
1
n
n
n
xxf 在 ( )1,1− 内连续．
证 10: <<∀ qq ，考虑闭区间 [ ] ( )1,1, −⊂− qq ．因为
nnn
n
q
n
x
n
x ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 111 ， [ ]qqx ,−∈∀ ．
且∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
1
1
n
n
n
q 收敛（ 11 <→⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + q
n
qn
n
）．所以∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
1
1
n
n
n
x 在 [ ]qq,− 上一致收敛，从
而 在 [ 上连续．由 的任意性知( )xf ]qq,− q ( )xf 在 ( )1,1− 内连续．
例 52 证明： ( )∑
∞
= +1 21n nx
x 在 ( )∞+,0 内非一致收敛．
分析： ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
=
= 0,1
0,0
x
x
x
xS 不连续，从而非一致收敛（用反证法）．
例 53（北师大）设 ，求极限 ． ∑∞
=
−=
0
2cos2)(
n
nn xxf ))0()((lim 1
0
fxfx
x
−−
→ +
证 由比较判别法知级数 在∑∞
=
−
0
2cos2
n
nn x ),( +∞−∞ 上收敛，所以
∑∞
=
−=
0
2)0(
n
nf ， ， ∑∞
=
− −=−
0
)12(cos2)0()(
n
nn xfxf
∑∞
=
−− −=−
0
1 12cos2))0()((
n
n
n
x
xfxfx ，
令 x
xxu
n
n
12cos)( −= ，则 0)(lim
0
=+→ xunx ，由极限的不等式性质， 0>∃δ ，当 ],0( δ∈x
时， 12)( −≤xun ．补充定义 0)0( =nu ，则 在)(xun ],0[ δ 上连续，且有
12
112cos2 +
− ≤− n
n
n
x
x ，
所以级数∑∞
=
− −
0
12cos2
n
n
n
x
x 在 ],0[ δ 上一致收敛，且通项连续，故有
∑∞
= →
−−
→
=−=− ++
0 0
1
0
0)12coslim2())0()((lim
n
n
x
n
x x
xfxfx ．
例 54（北京大学 1998）求极限 ∑∞
=→ + 10 2
1lim
n
xnx n
．
解 由 M判别法易知级数∑∞
=1 2
1
n
xn n
在 一致收敛，且通项连续，因此， ]1,0[
1
2
1
2
1lim
2
1lim
11 010
=== ∑∑∑ ∞
=
∞
= →
∞
=→ =+ n
n
n
xnxn
xnx nn
．
例 55（厦门大学 2002）证明：
（1）级数∑∞
=
+−
3
1 1sin)1(
n
n
n收敛；
（2） ∑∑ ∞
=
+∞
=
−+
→
−=−+
3
1
3
11
0
1sin)1(
)(ln
sin)1(lim
n
n
n
x
n
x nn
n ．
证（1）由 Leibniz判别法易知其收敛．
（2）由 Abel判别法易证其在 ),0[ +∞ 上一致收敛．由幂级数性质得
∑∑∑ ∞
=
+∞
=
−+
→
∞
=
−+
→
−=−=− ++
3
1
3
11
03
11
0
1sin)1(
)(ln
sin)1(lim
)(ln
sin)1(lim
n
n
n
x
n
xn
x
n
x nn
n
n
n ．
（3）和函数的可微性与逐项求导
例 56 证明 在( ) ∑∞
=
−=
1n
nxnexf ( )∞+,0 内收敛，但不一致收敛，而和函数在 内
无穷次可微．
( )∞+,0
证 10 ( )∞+∈∀ ,0x ， （02 →⋅ −nxnen ∞→n ）．所以∑ 收敛． ∞
=
−
1n
nxne
20 Ν∈∀n ， （ ），所以在nne nx →− 0→x ( )∞+,0 上级数通项 不趋于 0
（ ），故 在
nxne−
+∞→n ∑∞
=
−
1n
nxne ( )∞+,0 上非一致收敛．
30 在 内收敛，设其和函数为∑∞
=
−
1n
nxne ( ∞+,0 ) ( )xf ，即
( ) ∑∞
=
−=
1n
nxnexf ， ( )∞+∈ ,0x
( ) nxnx enne −− −=′ 2 ，连续，且 在∑∞
=
−−
1
2
n
nxen ( )∞+,0 内闭一致收敛，故 可微，且 ( )xf
( ) ∑∞
=
−−=′
1
2
n
nxenxf ， ( )∞+∈ ,0x
一般地， ． 为任意正整数． ( ) ( ) ( ) ∑∞
=
−+−=
1
11
n
nxkkk enxf k
注 1 的无穷可微性亦可证明如下： ( )xf
( ) "" ++++= −−− nxxx neeexf 22 ，
( ) ( ) ( ) "" ++−+++= +−−−−− xnnxxxx neeneexfe 132 12 ，
( ) ( ) xxnxxxx eeeeexfe −
−
−−−−
−=++++=− 11
2 "" ，
即 ( ) ( )21 x
x
e
exf −
−
−= ，它在 ( 内有任意阶导数． )∞+,0
注 2 对于开区间内的连续性，总可化归纳其内任一闭区间上的连续性问题．从而使其
原来的非一致收敛化为一致收敛（一致收敛性通常在某点邻域被破坏）．如
例 57（北京大学 2001）证明 Riemann函数 ( ) ∑∞
=
=
1
1
n
xn
xξ 在 ( )∞+,1 连续，且有各阶连
续导数．
证 记 xn n
xu 1)( = ，由归纳法得： .,2,1,ln)1()()( "=−= k
n
nxu x
kk
k
n ，),1(0 ∞+∈∀x
,0>∃δ 使得 ]31,21[0 δδ ++∈x ．在区间 ]31,21[ δδ ++ 上，有
.,2,1,1lnln)1()( 1
)( "=⋅≤−= + knn
n
n
nxu
k
x
kk
k
n δδ
而 0lnlim =
∞→ δn
nk
n
，所以当 充分大时，有 n
δ+≤ 1)( 1)( nxu
k
n ，
由M 判别法知：对任意正整数 ，级数∑ 在k ∞
=1
)( )(
n
k
n xu ]31,21[ δδ ++ 上一致收敛，因此，
由数学归纳法知 )(xξ 在 ]31,21[ δδ ++ 上存在任意阶导数，从而在点 存在任意阶导数，
由 的任意性知
0x
0x )(xξ 在 上存在任意阶导数，且连续． ),1( ∞+
思考题 11（中国科技大学）证明： ∑∞
=
=
0
4
)!4(
)(
n
n
n
xxy 满足方程 ． yy =)4(
例 58（同济大学）设 在( )xf ( )∞+∞− , 内有任意阶导数，级数
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ""
"""
++
++++′++++
∫ ∫ ∫
∫ ∫∫
−
−
x t t
nn
x txnn
n dttfdtdt
dttfdtdttfxfxfxfxf
0 0 0 111
0 0 1120
1
2
2
按两个方向在 ( )∞+∞− , 内一致收敛．试求级数的和函数．
分析：显然 有各阶连续导函数，该级数求导后仍是它自己．因此一致收敛，满足( )xf
逐项求导三个条件，所以其和函数 ( )xF 存在， ( )∞+∞−∈ ,x ，且有
( ) ( )xFxF =′ ， Rx∈ ．
解此方程得 ，其中 ． ( ) xcexF = ( )( )∑∞
=
=
0
0
n
nfc
例 59（北京大学 1997）设 在)(xf ),( +∞−∞ 上有任意阶导数，且在任意有限区间
上， 一致收敛于
],[ ba
)()( xf n )(xϕ ．求证： ． xcex =)(ϕ
证 显然函数列{ })()( xf n 在 上满足可微性定理条件，因此有 ],[ ba
)()(lim)(
)(
x
dx
xdf
dx
xd n
n
ϕϕ ==
∞→
，
即 dx
x
xd =
)(
)(
ϕ
ϕ ，由此立得 ． xcex =)(ϕ
例 60（复旦大学）设 ∑∞
=
−
+−=
1
1)1()(
n
nx
n
n
exf ，求
（1） 的连续范围； )(xf
（2） 的可导范围． )(xf
解（1）由于 nx
n
n
n
nx
n
enn
exf 1)1()1()(
1
1
1
1 ⋅−=−= ∑∑ ∞
=
+∞
=
−
+ ，而级数∑∞
=
+−
1
1)1(
n
n
n
收敛，从
而一致收敛．又 ),0[ ∞+∈∀x ， nxe
1 单调递减，且 11 ≤nxe ，由 Abel判别法知其在
一致收敛，所以 在 上连续．当
),0[ ∞+
)(xf ),0[ ∞+ 0x ),0(],[ +∞⊂∃ ba ，使得 ，
在 上，有
],[ bax∈
],[ ba nanxn ee −− ≤− )1( ，而级数 收敛，所以 在 上一致
收敛，即满足逐项可微条件，因此， 在 上可导，由
∑∞
=
−
1n
nae ∑∞
=
−−
1
)1(
n
nxn e ],[ ba
)(xf ],[ ba x的任意性知 在
内可导，即 的可导范围为
)(xf ),0( +∞
)(xf ),0( +∞ ．
(4) 逐项积分与积分号下取极限
要点：
（1）验证是否满足逐项积分定理的条件，若满足，直接使用定理；
（2）若不满足逐项积分条件，而要证明 ，只需证 ( ) ( )∑∫∫ ∑ ∞
=
∞
=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
11 n
b
a n
b
a
n
n dxxfdxxf
( ) 0lim =∫∞→ ba nn dxxR
其中 为级数 的余和． ( )xRn ( )∑∞
=1n
n xf
例 61（南京大学） 设 在( ) ( )xfxh n′, [ ]ba, 上连续， ",2,1=n ，又对 [ ]ba, 中任意的
和正整数n，有
21, xx
( ) ( ) 2121 xxn
Mxfxf nn −≤− （1）
其中 为常数．求证 0>M
( ) ( ) 0lim =′∫∞→ ba nn dxxfxh
分析：积分与极限能否交换次序，取决于 ( ) ( ){ }xfxh n′ 是否一致收敛．因此本题的关键
在于证明： ,0（ ）．由所给条件（1）知：( )xf n′ ∞→n ( ) 0→≤′ n
Mfn ξ （ ）．∞→n ξ介
于 之间．由 与 的任意性知21, xx 1x 2x [ ]ba, 上存在无穷多个这样的ξ ，由 的连续，从
而一致连续便能证明
( )xf n′
( )
n
Mxfn ≤′ ，故 ( )xf n′ ,0（ ∞→n ）．
证 在 上连续，所以一致连续，即( )xf n′ [ ba, ] 01 >=∀ nε ， 0>∃δ ，当 δ<− 21 xx ，
，有 [ baxx ,, 21 ∈ ]
( ) ( )
n
xfxf nn
1
21 <′−′
取 充分大，使m δ<−
m
ab ，将 [ 等分： ]ba, m
bxxxa n =<<<= "10 ，
利用（1）式得
( ) ( ) 11 −− −≤− iiinin xxn
Mxfxf ，
由微分中值定理， ( iii xx ,1−∈ )∃ξ ，使得
( )
n
Mf in ≤′ ξ ．
于是， ，[ ]bax ,∈∀ x必属于某个小区间 [ ]ii xx ,1− ，所以
( ) ( ) ( ) ( )
n
M
n
M
n
ffxfxf ininnn
11 +=+<′+′−′≤′ ξξ ，
故 0（( )xf n′ ∞→n ）．又 在( )xh [ ]ba, 连续，则 ( )xh 在 [ ]ba, 有界，从而
( ) ( )xfxh n′ 0（ ∞→n ）．
由逐项积分定理知命题为真．
例 62 设 ， ，且在( ) ( ) 0, ≥xfxg ",2,1=n [ ]ba, 上有界可积．又 ( bac , )∈∀ ，当 ∞→n
时， ,0于 [ ]， ，nf bc, ( ) 1lim =∫∞→ ba nn dxxf ( ) Axgax =+→ 0lim ．试证
( ) ( ) Adxxfxgb
a nn
=∫∞→lim ．
分析：已知 ，则 ．因此只需证明： ( ) 1lim =∫∞→ ba nn dxxf ( ) AdxxAfba nn =∫∞→lim
( )( ) ( ) 0lim =−∫∞→ ba nn dxxfAxg ．
由于 ，( ) Axg
ax
=
+→ 0
lim 0>∀ε ， 0>∃δ ， baxax <+<<∀ δ: ，有
( ) ε<− Axg ．
在 [ ]ba ,δ+ 上 0，对上述nf 0>ε ， 0>∃N ， Nn >∀ ， [ ]bax ,δ+∈∀ ，有
( ) ε≤xfn ．
再由 的有界性假设可得：( ) ( )xfxg n, 0>∃M ， ( ) MAxg <− ， ( ) Mxfn ≤ ， ．于
是当 时，
",2,1=n
Nn >
( ) ( ) ( ) ( )εδδ abMdxfAgdxfAgdxfAmg ba naa nba n −<−+−≤− ∫∫∫ ++ 2 ．
故命题为真．
例 63 试证明级数 在∑∞
=1
2 ln
n
n xx ( )1,0 内不一致收敛，但在 [ ]1,0 可逐项积分．
证 10 此级数为等比级数，所以有
( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
∈−==∑∞
= 1,0
1,0,ln
1ln 2
2
1
2
x
xx
x
x
xxxS
n
n
由此得
( ) ( ) ( )1
2
1
)1)(1(
))1(1ln(limlim01
2
11
S
xx
xxxSS
xx
≠−=−+
−−==− −− →→ ，
故该级数非一致收敛（例 46）．
20 能逐项积分
事实上， ( ) x
x
xxxxR
n
nk
k
n ln1
ln 2
22
1
2
−==
+∞
+=
∑ 在 ( )1,0 内连续，记 ( ) xxxxk ln1 2
2
−= ，则
( ) 0lim
0
=
+→
xk
x
，
( )
2
1
1
ln
1
limlim
22
11
−=−⋅+=
+
−→−→ x
x
x
xxk
n
xx
，
因此 在 内有界，即 ，有( )xk ( 1,0 ) 0>∃M ( ) Mxk ≤ ，从而有
( ) nn MxxR 2≤ ， ( )1,0∈x ．
由此得 ( ) 01
0
21
0
→≤ ∫∫ dxxMdxxR nn （当 ∞→n ）．于是，
∑∫∫ ∑
=
∞
=
−
n
k
k
n
n xdxxdxxx
1
1
0
21
0
1
2 lnln ( ) 01
0
21
0
→≤= ∫∫ dxMxdxxR nn （ ）． ∞→n
(5) 和函数的其它问题
例 64（北京大学） 设 在 [ 连续，并且( )xfn ]ba, ( ) ( )xfxf nn 1+≥ ， [ ]1,0∈∀x ， ，
若 在 [ 上收敛于 ，试证明
",2,1=n
( )xfn ]1,0 ( )xf ( )xf 在 [ ]1,0 上达到最大值．
证 由 的单减性知( ){ xfn } ( ) ( )xfxf n≤ ， Ν∈∀n ， [ ]1,0∈∀x ．由 的连续性知
其有上界，从而 有上界，其上确界存在，设为
( )xfn
( )xf μ ，即
[ ]
( )xf
x 1,0
sup
∈
=μ （1）
下证 在 上能达到上确界．由（1）及上确界的定义知，存在{ } ，使
得
( )xf [ 1,0 ] ][ 1,0⊂nx
( ) μ=
∞→ nn
xflim ．由致密性定理， { }nx 中必存在收敛子列 { }knx ，设其极限为 ，
．下证
0x
[ 1,00 ∈x ] ( ) μ=0xf ．
事实上，由 ( ) μ=
∞→ nn
xflim 得 ( ) μ=
∞→ knk
xflim ．又 ( ) ( )xfxf
lnl
=
∞→
lim ，从而
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) εμ <−+−+−+−≤− uxfxfxfxfxfxfxfxf
kkklklll nnnnnnnn
)(0000
．
故 ( ) μ=0xf ．
3 幂级数展开式
（1）求幂级数展开式
1）通过变形、转换、利用已知的展开式（基本初等函数，尤其是等比级数）；
2）利用逐项积分或逐项微分；
3）待定系数法；
4）计算指定点的各阶导数，然后用 Taylor级数；
5）利用级数的运算．
例 65（武汉大学）把下列函数展成 x的幂级数，并说明收敛范围：（利用已知展式）
（1） ( ) ( )( )( )42 111 1 xxxxf +++= ，
（2） ． ( ) xx 3sin=ϕ
解（1） ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )∑∑
∞
=
∞
=
⋅−=−
−=+++−
−=
0
8
0
8
842 1
1
1111
1
n
n
n
n xxx
x
x
xxxx
xxf
"+−+−+−= 1716981 xxxxx （ 1na ",2,1,0=n ）的收敛半径为 ∞+ ，且 收
敛，则 也收敛，且 ．（东北师大）
∑ !nan
( )∫ ∞+ −0 dxxfe x ( ) ∑∫
∞
=
∞+ − =
0
0
!
n
n
x nadxxfe
证 ( ) ∫ ∑∫ ∞+ +∞
=
−∞+ − ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
0
0
0
dxxaedxxfe
n
n
n
xx
∫ ∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
∞
=
−
+∞→
A
n
xn
nA
dxexa
0
0
lim
（ !
!!
1
1
na
n
xxa
n
xxxaexa n
n
n
n
n
n
n
xn
n =<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++++=
−
− "" 一致收敛）
∑ ∫∞
=
−
+∞→= 0 0lim n
A xn
nA
dxexa
∑ ∫∞
=
−
+∞→= 0 0limn
A xn
An
dxexa （ !
00
nadxexadxexa n
xn
n
A xn
n =≤ ∫∫ +∞ −− ）
∑∑ ∫ ∞
=
∞
=
∞+ − ==
00
0
!
n
n
n
xn
n nadxexa ．
四 傅立叶（Fourier级数）
注意 10 分段光滑：将 [ 分成有限段，在每个小区间内部有连续导数，在端点函数
与 有单侧极限．
]ba, f
f ′
20 可积函数在指定区间上的Rourier展式是唯一确定的，而其三角展开式是随意的，可
将 按不同方式延拓便得不同展开式． ( )xf
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