圆的有关知识点
圆的定义与有关概念(知识点)
圆的定义:
1、形成性定义:在一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆(固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径(记作“?O”，读作“圆O”(
2、集合性定义:圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点是圆心，定长是圆的半径( 与圆有关概念
3、弦:连结圆上任意两点间的线段叫做弦( 直径:经过圆心弦，称为直径(注意:直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径(
4、弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A、B为端点的弧用“”
表
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示(读作“弧AB”(能够重合的两条弧叫做等弧( 小于半圆周的弧叫做劣弧，大于半圆周的弧叫做优弧(在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等;相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等(
5、半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆(
6、等圆:能够重合的两个圆叫做等圆(半径相等的两个圆是等圆(
7、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴(圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心( 注意:圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴(圆具有旋转对称性。特别的，圆是中心对称图形，对称中心为圆心，围绕圆心任意旋转一个角度α，都能够与原来的图形重合。
注意:?圆不但是轴对称图形，还是中心对称图形。?实际上，圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。。
8、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
9、垂径定理推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧;平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
10、弓高(拱高)，弦心距:一条弦的中点和它所对的弧的中点所连线段叫做弓形的高，圆心到弦的距离叫弦心距。
a211、半径、弦长、弓高及弦心距之间的关系:设圆的半径为R，弦长为a，弦心距为d，弓高为h，则d+h=R;d+()2C22 =R，在R、a、d、h这四个量中，已知其中两个量即可求出另两个量。 ABD圆心角
O1、圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角(
2、圆心角度数定理
图1-5(1)把顶点在圆心的周角分成360等份时，每一份的圆心角是1?的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被分成360等份，我们把每一份这样的弧叫做1?的弧。
定义:1?的圆心角所对的弧叫做1?的弧。 (2)圆心角度数定理:圆心角的度数和它所对弧的度数相等。 3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。可简记为:“等角对等弧”、“等角对等弦”、“等弧对等角”„圆心角定理基本图形，如图2-1，在?O中，OM?AB，OM′?A′B′，则 B'
M'? ? ?
A'O? ? ? ,,,OM=OM?AOB=?A′OB′ AB=A′B′
′ ? ? ? BA圆周角定理: M
图2-11、圆周角:顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角(
2、圆周度数与它所对的弧得度数相等。圆周角的度数等于他所对弧得度数一半，等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 3、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
直径所对的圆周角是直角;直角所对的弦是直径。
(1)半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90?(直角)(90?的圆周角所对的弦是圆的直径( (2)圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等(“等弧对等角”、“等角对等弧”(角既可以是圆心角，也可以是圆周角)
4、不在同一条直线上的三个点确定一个圆 。因此，三角形的三个顶点确定一个圆。经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角
切线的定义:过半径外端且垂直于这条半径的直线叫做圆的切线。圆的切线垂直于过切点的半径。 切线长定理:1、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。 2、与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 圆的位置定理:
1、点与圆的位置关系:两点间的距离为d，半径为r，点在圆外d>r、在圆上d=r、在圆内d
r)，我们说直线和圆相离。
3、圆与圆的位置关系:外离、外切、相交、内切、内含;两圆之间有5种位置关系:无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R?r，圆心距为P:外离P,R+r;外切P=R+r;相交R-r,P,R+r;内切P=R-r;内含P,R-r。
3、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
正多边形和圆的定理:
1、正多边形都是轴对称图形。一个正n边形一共有n条对称轴，这n条对称轴相交于一点，这个点到正n边形各顶点的距离相等，到各边的距离也都相等。我们把这个点叫做正多边形的中心。
2、正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距。正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
3、正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
圆的
计算公式
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222(1)圆的周长C=2πr=πd (2)圆的面积S=πr; (3)扇形弧长l=nπr/180 (4)环形面积S=π(R-r) 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的
1半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S,?2πr?l2
,πrl(因此圆锥的侧面积为S,πrl( 侧
证明点共圆的方法
要证明几个点在同一个圆上，根据圆的定义，可以证明几个点到某一个定点的距离相等，那么这些点就在以这个定点为圆心，以其中一点到定点的距离为半径的圆上。
注意:这个定点可能是已知的，也可能是未知的，要是未知的就要先设法找到它。
掌握方法:如何确定到三个点距离相等的点的位置，三点所连线段中任意两条垂直平分线的交点。 辅助线作法小结
(1)当已知中有弦的中点时，常常连接圆心和中点，进而利用垂径定理、勾股定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理;另外，当要证明同一圆中的两条弦相等时，也常常作弦心距(即过圆心作弦的垂线段)。 (2)在计算弧的度数时，或者有等弧的条件时，或需要证明等弧时，常连接半径作出弧所对的圆心角。 (3)当条件中有弧的中点或需要证明弧的中点时，常有以下几种作辅助线的方法:?连接弧的中点与圆心，构造半径;?连接等弧所对的弦;?作等弧所对的圆心角。
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