原函数与基本积分公式教学难点：被积表达式的变形（可编辑）

原 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 与基本积分公式教学难点：被积 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式的变形（可编辑） 第 一 节 不 定 积 分 概 念 与 性 质教 学 目 的 : 不 定 积 分 的 概 念 与 性 质教 学 重 点 : 原 函 数 与 基 本 积 分 公 式教 学 难 点 : 被 积 表 达 式 的 变 形主 视 图 不定积分 及其性质 求导与 原函数 不定积分 求不定积分 存在定理 基本积分表 性质前 言 早在两千多年前,数学家们就已经开始注意到累积 计算的重要性,随着生产的发展,这类问题不断有人提 出,如求某块平面图形的面积,某条定曲线的长度等 等. 其中某些问题甚至得到了解决. 例如,阿基米得 Archimedes 、开普勒Kepler 、卡瓦列里Cavaliere 都在具体问题中得到了后来用积分计算得到的相同结 果. 费马Fermat 与巴洛Barrow 已初步意识到某些 问题与微分之间存在互逆关系. 但当时并没有一般地 引入积分概念,他们的方法也不具有普遍意义. 直到 十七世纪, 牛顿和莱布尼茨 各自独立地看到了积分问题 是微分问题的逆问题,并从微分逆运算的角度提了简洁 的一般解决办法.原 函 数 定义: 如 果 在 区 间 I 内 ,? xI ,都 有 F xf x 或 d F xf x d x , 那 么 函 数 F x 就 称 为 f x f x d x 或 在 区 间 I 内 原 函 数例如 sin xcos x sin x 是cos x 的 原 函 数. 1 ln x x0 x 1 ln x 是 在 区 间0,? 内 的 原 函 数. x原 函 数 存 在 定 理 原函数存在定理: 连续函数一定有原函数F x 设 f x 是 区 间 I 内 的 连 续 函 数 , 则 存 在 可 导 函 数 ,? xI F xf x 使 , 都 有注意:1 原函数不唯一; 若 F xf x, 则 对 任 意 常 数 C F xC 都 是 f x 的 原 函 数例如sin xcos x sin xCcos x 2 原函数之间的关系: f x 若 F x 和 G x 都是 的原函数, 则 F xG xC. 回主视图不 定 积 分 不 定 积 分 的 定 义 : 设 函 数 F x 是 f x 的 一 个 原 函 数 , 则 在 区 间 I 内 , f x d x f x 的 全 体 原 函 数 F x+C 称 为 f x 的 不 定 积 分f x dxF xC 被 被 任 积 积 积 积 意 分 分 表 函 常 号 变 达 数 数 量 式例 题 5 例 1求 x dx6 6xx 5 5x , 解x dx? C 6 6? 1 例2求 dx 2 1x 1解?arctan x? , 2 1x 1dxarctan xC. 21x例 题 例 3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程. yf x, 设曲线方程为 解 dy 根据题意知2 x, dx 即 f x 是2 x 的 一 个 原 函 数. 2 2f xxC,2 xdxxC,? C1, 由曲线通过点(1,2 ) 2 yx1. 所求曲线方程为 回主视图不 定 积 分 的 性 质 f x dxg x dx; 1 [ f xg x] dx? f x dxg x dx 证 f x dxg x dxf xg x? 等式成立. (此性质可推广到有限多个函数之和的情况) 2 kf x dxk f x dxk k0 ( 是 常 数 ,第 求 导 与 求 不 定 积 分 注: 1 求导数与求不定积分是互逆运算? [ f x dx]f x; F x dxF xC? 或 d[ f x dx]f x dx; dF xF xC? 2 同一函数的不定积分的结果形式会不同11 dx? ar c t gxC ; dxar c c t gxC? 2 2 1x 1x 可用求导数的方法验证正确性. 函 数 f x 的 原 函 数 的 图 形 称 为 f x 的 积 分 曲 线.求 导 与 求 不 定 积 分? f x d x? f x 3 , 即? df x d x? f x d x? F x d xF xC 4 , 即? d F xF xC回主视图基 本 积 分 表 是常数; 1 kdxkxC k 基1 x 本2 x dx? C 1; 1 积 dx 分 3ln xC;x 表 dxln xC, x0,说明:x1 1? x, x0, [lnx]? x x dx dx? lnxC,? ln | x |C,? x x基 本 积 分 表 1 arctan xC; 4 dx? 2 1x 1 arcsin xC; 5 dx? 2 1x sin xC; 6 cos xdx? 7 sin xdx? cos xC;dx 2 8sec xdxtan xC;2cos x dx 2 9? cot xC; csc xdx? 2sin x基 本 积 分 表 sec xC; 10 sec x tan xdx? 11 csc xcot xdx? csc xC;x x 12 e dxeC;x a x 13 a dx? C;ln a cosh xC; 14 sinh xdx? sinh xC; 15 cosh xdx?例 题 2 x x dx. 例4求积分5 2 2 x x dxx dx 解 ?1 xx dx? C 根据积分公式(2) 1 5 ?1 7 2 x 2 2? CxC. 5 71 2例 题 3 2 dx. 例 5求积分2 2 1x 1x 3 2 解 dx2 2 1x 1x 1 13 dx2 dx22 1x 1x3arctan xC2arcsin x例 题 2 1xx dx. 例6求积分2 x1x 2 2 1 1 1xx x1x dx dxdx? 解222 1x x x1x x1x ? 1 1dxdxarctan xln xC2 1x x 4 x dx 例7:求2 1x 4 1 x11 2 解:原式 x1 dxdx? 2 2 1x 1x 3 x? xarctan xc 3例 题 1 dx. 例8求积分1cos2 x 1 1 1 1 dx 解dxdx? 22 1cos2 x 12cos x ?1 2 cos x 1t gxC. 2 cos 2 x dx 例9 : 求2 2 cos x sin x 2 2 cos xsin x 1 1 解:原式dxdxdx 2 2 2 2 cos x sin x sin x cos x? c t gxt gxc 有 时, 被 积 函 数 需 要 进 行 恒 等 变 形 , 才 能 使 用 基 本 积 分 表.例 题 例 8 已 知 一 曲 线 yf x 在 点 x, f x 处 的 2 切 线 斜 率 为sec xsin x , 且 此 曲 线 与 y 轴 的 交 点 为0,5 , 求 此 曲 线 的 方 程. dy 2 解? sec xsin x, dx 2 ysec xsin x dx? t gxcos xC,C6,y05, yt gxcos x6. 所求曲线方程为小 结 小 结 : f xF x F xf x , 则 称 为 若 1原 函 数 : 的 一 个 原 函 数 . 连 续 函 数 存 在 无 穷 多 个 原 函 数 . 2. 不 定 积 分 : 原 函 数 的 全 体. 3基 本 性 质f x d x? f x df x d x? f x d x 1 , 即 d F xF xC2 F x d xF xC , 即 [ k f xk f x] d xk f x d xk f x d x 3 1 1 2 2 1 1 2 2 k k , 2 是 不 同 时 为 零 的 常 数1 回主视图习 题 习 题 4 -1习 题