【doc】含绝对值符号的曲线方程的图形的作法

【doc】含绝对值符号的曲线方程的图形的作法【doc】含绝对值符号的曲线方程的图形的作法含绝对值符号的曲线方程的图形的作法 2000年第7期数学通报含绝对值符号的曲线方程的图形的作法梁泽刚(四川攀枝花市第三高级中学617000) 我们知道绝对值是一种特殊运算,学生在处理该类问题时,常出现种种错误.究其原因是不能正确地将含绝对值符号的问题等价转化为含条件对于做如曲线方程F(』, 限制的基本数学问题. r )一0的图形的一类问题,其作法不仅需要等价转化,而且还需要作有关平移,对称等变换才能正确地作出其相应的图形.下面就一次,二次曲线方...

【doc】含绝对值符号的曲线方程的图形的作法含绝对值符号的曲线方程的图形的作法 2000年第7期数学通报含绝对值符号的曲线方程的图形的作法梁泽刚(四川攀枝花市第三高级中学617000) 我们知道绝对值是一种特殊运算,学生在处理该类问题时,常出现种种错误.究其原因是不能正确地将含绝对值符号的问题等价转化为含条件对于做如曲线方程F(』, 限制的基本数学问题. r )一0的图形的一类问题,其作法不仅需要等价转化,而且还需要作有关平移,对称等变换才能正确地作出其相应的图形.下面就一次,二次曲线方程中含有绝对值符号的图形的作法作一些介绍. 1含绝对值符号的一次曲线方程例1画出方程r一2+一2—2的图形,并说出形状 _ yy 4/\2 \o/tD24 解令代换 f===一2, lY一Y一2. 则原方程化为』+』Y:2. 在新坐标系,OY下讨论上述方程,可知图形关于轴Y轴对称. 只须在OY系下的第一象限内作出相应图形,再利用对称性便可得方程』一2』+』一2』一 2的图形.如上图. 该图形为边长等于22的正方形. 对于方程F(』一』,』Y—b』)===0的图形, 可先作平移变换,在新系下讨论F(,,Y)一0的对称性,利用对称性就可画出整个曲线的图形. 例2(1994年全国高中数学竞赛题)在平面直角坐标系中,方程+一1(,6 为不相等的两个正数)所代表的曲线是(). (A)三角形(B)正方形 (C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形解i~F(x一+一1— 0,则有F(,)一F(一Y,一)一F(,Y)===0. . ' . F(,):==0的图形关于直线Y一和Y 一一对称. 当+Y?0且一Y?0时有F(,)=== 去+一1一.于是F()一0在一 ?Y?I时表示一条线段.如图 - /:\A(n.nl /\ /\l.'V=一 \/2 o\\ cf,一.曰f6,一6J /1, 又AC上BD且?OB所以 F(,y)===0表示非正方形的菱形,选D(也 I,一下JT-(+), 可用旋转变换,令二__ J,一(一+). 在新坐标系oy下原方程变为+ 一 ~/r再用对称性作图). 例3作方程lIl一2l+Ilyi一2l一4的图形,并求其面积. 2000年第7期数学通报解设(』'.,)一.'一2+,2— 4—0.则(j'.j,)一F(.一)一F('r.Y)一0. . . . 其图形关于.轴.jt轴对称.并且当?0 且'?0时.F(j.-,,)一一2?:i_v24 —0…?对于方程作平移变换一 . t一j---一2. 任新系-'下有1+jI_v一4且 ?一2,t?一2. ? D B\\\\, \' O24 ,?_ /\/.\4 \20/ \\\/. 再在原坐标系1"oy下作关于-'轴,,轴的对称图即得原方程的图形如上图. 1 其面积—4(5,+S+1?,)一4(1×4 , 尺4+×4~/r)一96. 对于含有多重绝对值符号的方程.往往依次去掉绝对值符号.即依次进行平移变换和相应的对称变换.但要注意去绝对值时条件的限制. 2含绝对值符号的二次曲线例4(1991年全国高中数学竞赛题)方程 j'一-,,j:1I的图象见图解所给方程等价于当?,时.j'!一1j'; 当0?<时.,+j,一1r; 当I,<0时.,J!J'一1— 当?时.产一2.r1; 即0?-<时,一1; i当<0时.一2a'+1. 故图象为(D). 对于该类问题应用绝对值的定义.分类讨论等价转化为含有条件下的普通曲线方程进行作图. /" (A1 ? . - 4-(,1) l - I-(.,1) /,/ ,, (B) /..?'? 一 IC)(D) ................'.'........ 例5作方程j,一~/:+2v+ ?'.,.......................''.....,.'''—— ,/'r!一2v/'r:1的图象. 解由方程知11?0, 所以?(一.一1]U[1.十). 且一 ?!+2v/__?_.+?:2,/= ________1____'___?1__r?_?'? J___J_________________________________^_^__r—— 一 ,/:一1+2v/.一1+1 ?.........................'....'.''........'................一 +?'r一12v/'r一1+1 一,丁二+1I+1v/1I j2v/'r!,1(?2), l2(1?1<2). 对于I'r?2时,Y一2r1可得 : 一荨一1(其中I?,,?2). 所以原方程的图象为 \3, ,, 2 , ,.. 一 1//,l /\ / 对于可化简的方程应先进行化简再转化为普通曲线的画法.

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