同方专转本冲刺班数学习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
训练5至9讲
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3,则其拐点坐标为(C) 3(设曲线yxx,,3第五讲:微分中值定理与导数的应
A 0 B(0,1) 用的强化
练习题
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答案 C(0,0) D 1 一、单项选择题(每小题4分,共24分) 3y''0,解:(令(得( x,0yxyx''3,''6,,,,
fxxxx()(3)(4)(5),,,,fx()0',1、已知,则有
当有xy,,0,''0y''0,(当时,( x,0(B)
故(0,A 一个实根 B 两个实根 0)为曲线的拐点 C C 三个实根 D 无实根 4(若内 fxfx()(),0,,,且在(,+)解:(1) ?fx()[34]34在,连续在(,)
必有(C) fxfx'()0,''()00,,,,则在(,)
可导且ff(3)(4)0,,
fxfx'()0,''()0,,A ?fx()[34],在满足罗尔定理条件
fxfx'()0,''()0,,B 故有() f'()0,,34,,,11
fxfx'()0,''()0,,C (2)()[4,5]同理在满足罗尔定理fx
fxfx'()0,''()0,,D
有f'()0,45,,,,,22
解: ?fx()0为偶函数且在(,),,
fx'()0(,在至3,5综上所述,少有两个实根,
凹弧 ?fx()单调递增,曲线为()是一元二次方程3fx'()0,,至多有两个根,故选
,
2(下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是 (D)
2A fxxx(),[0,3],,
1如示意图,故有 B fxx(),[1,1],,,2x (,0),()0,''0,,,,?fxfC选
fxxx(),[1,1],,,C
35(设 ()fxaxbxx,,,ln3D fxxxx()3,[0,3],,,
ab,xx,,12,在取得极值。则为((((,) 解: fxxx()3[0,3],,在连续11A B ab,,2,ab,,,222xfxx'()3,,, 11C D ab,,,,2ab,,,,2,23,x22
afx()f(3)0,, 解:? ??fxbxxf'()23'(1)0,,,,在,可导且[03](0)0f,x满足罗尔定理条件(故选 D ?,,,,,,,ab32?
1
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?fab'(2)0,68,,,,,,,?? f'x,0,驻点(是fx不可(2)令x,1x,0,,,,
1导点 630b,,?—? 得? b,代入2(,0),,(0,1)(1,),, 1x 1 0 得 aab,,,22,答 2
答案选, '+ __ + fx()6(下列命题中正确的是----------(B)
单调极A 为极值点,则必有 fx'()0,xfx() 单调增 单调增 00减 小
31fx()fx()B 若在点 处可导,且 为 的极值xx(3)极小值 f(1)1,,,,0022
2点,则必有 fx'()0,03fxx()1(2),,,在[0,3]10(的最大值为 1
1fx()ab,C 若在()有极大值也有极小值则极大值,23fx(),,,-2)解:(1)是的不可导fxxx'()(,23必大于极小值。
点。 fx()D 若则点必有的极值点。 fx'()0,x002
3) (2?fff(2)1,(0)12,(3)0,,,,':可导函数的极值点一定是驻点,故有解=0 选fx()
f(2)1,(3)最大值为 B
二、填空题(每小题4分,共24分) 2x,1y,11(曲线的水平渐进线为,, fx()7(设可导,且的极小值。则fxfx()()是0xx(21),
fxnfx(2)(),,001 lim0,1,2n,20x,11nx?,,解:limlim 2fxhfx(2)(),,xx,,,,1xx22,00解:原式= lim2,2,n,02hx
1' ,,,,2()200fx?直线是曲线的一条水平渐进线 y,02
lnx8(的单调增加区间为 (0,)efx(),fxxx()ln,12(函数在[1,2]满足拉格朗日中值定x
1ln,x'(0,),,解:(1)定义域(2) fx(),42,, 理条件的xe'fx()当0
0()(),x
fxf'()'(),,至少有一实根?由零点定理知:fx()0, ,x
fx'()fx()0,x,0当时,单调增加 (4)综上所述:有且仅有一个实根 ?
ffxfxf'()'(),'()'()0,,,,,即?
第六讲:利用导数证明不等式及导数fx()故有单调增加 Fx'()0.(0,),,,即在x
应用题的强化练习题答案 在可导(a,b),24 设证明fxab()[,]在连续,
nnn,1,,(,)ab, nfbfabaf,,[()()]()'(),,,
111,,x,0,,,ln11(当时,证明成立. 证明:1)构造辅助函数: ,,xxx,1,,nnn Fxxfbfabafx()[()()]()(),,,,
1,,证:(1)变形:ln1ln1ln,,,,xx,这是对数函,,,,在可导(a,b),(2)且 ?Fxab()[,]在连续,x,,
数的增量形式 nnnnFaafbafabfaafa()()()()(),,,,
ftttxx,,,ln,,1令 ,,,,
nnnnFbbfbbfabfbafb()()()()(),,,,
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xftt()ln,(2)在xx,1,应用拉格朗日中值定,,?e是单调增函数 (3)
0,xxx1?,,eeexexe,,,1x,0,故有, 理: ln1ln1,,,,,xxxx,,,,,证毕
1,111x,04(当时,证明成立. ,,arctanx ,,,,,,,1xxx2xx,,11,x,0证:(1)令 ,,,fxxarctan,,,,x2111 (3) ?xx,,,,?,,1,111,xx,,1,(2) ?fx,,,, 0,,22221,xxxx1,,,
111,,故有 ,,,,ln10x,,,,0,,,?fx在单调减少 ,,,,xxx,1,,
证毕~ 0,,,?fx(3) 在单调减少,且 ,,,,
arctanarctanabab,,, 2(证明:成立
1,,,fxxlimlimarctan0,,,, ,,证:(1)构造辅助函数, ,,xx,,,,,,x2,,fxxbaba,,arctan,,,令 ,,,,
?,fx0x,0故当时, ,,
fxx,arctanba, (2)在应用拉格朗日定,,,,1, 证毕 ,,arctanxx21理: ,,,arctanarctan()abab,2,5(当时,证明成立. 0,,x,sinxx,,1,2
sin2xba,,, 证:(1)变形, ?,?,x0,x
1sin2x,,,,,, arctanarctanabab令fxx,,,,0 ,,,,,,,1x2,,,
xxxcossin,,1(2) fx,,,2(3) 对于 01arctanarctanabab?,,?,,,x,1,,
gxxxx,,cossin令 ,,ba,的情形,同理可证.
证毕 ,gxxxxxxx,,,,,,cossincossin0,,
xxxexe,,,1x,03(证明:当时,有成立. ,,,gx 0,,x,,证:(1) 构造辅助函数: 2
xx0ggxg0000,,,,且 ,,,,,,?eee,,,1
tftetx,,,0,?令 gx,,,,,,,fx,,0从而 ,,,2xtfte,0,x(2) 在应用拉格朗日中值定,,,,
,,,fx0,在单调减少 ,,x0,,,eeexx,,,,,,0,0理, ,,2,,
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x,1是最小值点 由单峰原理,,,,,fxf(3)?且=0 ,,,,f110,,最小值 ,,2,,
fxf,,10故有,即 ,,,,,,,fxf0 ?,,,,,,2,,24ln24002xxxxx,,,,,, ,,2即有成立 ,sinxx证毕 ,
x01,1,,,xp8(设,证明 exx,,,,11cosx,06(当时,证明成立. ,,
1pxp证:(1)变形,令 fxexx,,,,,(1)1cos成立. ,,,,xx,,11,,,1p2
ppxfxxx,,,1证:(1)令 ,,,,,,,,exxcos2
x,px,,,1,01fxex,,,1sin (2) ,,
p,1p,1,,fx(一阶导数符号不易判定,借助) ,fxpxpx,,,,10,, (2),,,,
1x,,fxexx,,,cos00= ,xx,,1,驻点 x,,,,,2
pp,,fx f00,且 ,,,,,1111,,,,,,(3) f,,,,,12,,,,,,p2222,,,,,,,,fxf,,,00 ,,,,1 ,,,ff,01,11,,,,p,12,fxfx,,0单调增加 ,,,,(4)比较上述函数值的大小:
10,,,?fx(3)在单调增,且 mM,,,,,,,1p,12f00,?,,fxf00mfxM,,, 故有,即 ,,,,,,,,
1pxpexxx,,,,,(1)1cos0故有 ,,,,xx,,11,,,1p2
证毕 px,,,1,01
24ln240xxxx,,,,02,,x7(当时,证明:成立. 证毕
42(02),,x45xx,,x,1解:(1)令 9(证明:当时,有. fxxxxx,,,,4ln24,,
4,fxxx,,,,4ln422fxxxx,,,4,1 (2) 证:(1)令 ,,,,
3,,,,4ln(22)xxfxx,,44 (2) ,,
3,,,,410xx,1fx,0x,1, 令,驻点 ,,,,
4,,,fx,1,1,,在单调增加 f(1)4220,,,,x,1(3) ,为fx,,2,,,,,,,x
极小值点.
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mf,,,,,,,1415fx,0 (3) 有且仅有一个正根 (3)综上所述:,,,,
12(证明方程: Mf,,,,1413 ,,
xxxx,,,,,1223 ,,,,,,,,4,,,,543xxmfxM,,由,得 ,,
,,,,xx310 ,,,,445xx,,从而有 证毕 有且仅有两个实根. 二、证明方程根的个数 fxxx,,,,12解:(1)令 ,,,,,,
5p,010(证明:当时,方程仅有一个xpxq,,,0
xxxx,,,,,2331 ,,,,,,,,实根.
5fxxpxqp,,,,,0?fx1,2 证:(1)令 在连续且 ,,,,,,
4,fxxp,,,50f1121320,,,,, ,,,,,,,,,fxfx,0f210,,,单调增,故最多有一个实根 ,,,,,,
?由零点定理知: 5?fxxpxq,,,,0(2) ,,
fx1,2在至少有一个实根 ,,,,是一元五次方程
?,fx0fx2,3至少有一个实根 同理:=0在至少有一实根 ,,,,,,
fx,0fx1,3(3)综上所述:有且只有一个实根. 证毕 总之, =0在至少有两个实根 ,,,,,,
3fx(2) =0是一元二次方程,最多有两个 ,,xxx,,cos11(证明方程只有一个正根.
实根( 3fxxxxx()cos0,,,,证(1) ,,
fx(,)综上所述:=0有且仅有两个实根 ,,2,fxxx,,,,31sin0 ,,
k,0,13(设常数 ,fx单调增 ,,x0,,,证明方程,在内有且仅有两ln0xk,,,,,efx,0故最多有一实根 ,,个正根.
x,证:(1)令 (x>0) fxxk()ln,,,,,?fx0,(2)在连续且 ,,e,,2,,11',fx,0(2) ;令 fx(),,,,xef010,,, ,,驻点 xe,
,1,13,,,,<0, fx,fe,,0,,,,,,,,,,,22 f0,,,xe,,,,222,,,,为极大值点. xe,
由单峰原理:是最大值点 xe,fx,0?由零点定理知: ,,
fe,,,,110k最大值 ,,至少有一个正根.
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,69,,2且, limfx,,,,, (4),,,,,d20920,,,,,x,02
最小值 limfx,,,,,x,,,293213,,,d,,,,,,293 ,,yfx,故与轴有且仅有两个交点 x,,4242,,
(如示意图) 15(在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最大体积时
的底半径与高.
解:(1)画出示意图
fx,00,,,即在有 ,,,,
且只有两个实根. 三、 应用题(每小题10分,共50分) (2)依题意,设所求圆柱体体积为V
1222214(已知曲线. y, VrhrRh,,,,,2x
2223VRhhRhh,,,,,,, (1)求曲线在横坐标为的点处的切线方程. x,,0
(2)求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度. (3)求驻点
22,,,,VhRh,,3,,V,0,令, 1,,解:(1)求切线方程:切点 x,,,02x0,,
122Rh,3,驻点 hR,,,33yxyxx'2,'2,,,, ,,300
,,Vh6,,,(4)求最值点: 12,切线方程:yxx,,, ,,023,,3xxR00,,hR,, V,0,,33,,23xy,,即 32xx120022rRRhR,,,为最大值点 33
3x0(2)令 yx,,,0;232rR,hR,答:当,时,所得圆柱体体积最大 33
3xy,,0,令 16(某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,2x0若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为
2每小时公里,求客轮最经济的速度? c2,,339,,224,解:(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程dxxx,,,,9(3) ,,000,,224x,,0,,为.消耗总费用为y.依题意: s
s9,25,3 ,其中是甲城到乙城所需要的ykvtt,,,,t,,,dxx49,,00vc,2
1时间 ,26令 dxxy,,,,,0,8,2,,,0002
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3v yks,vc,
(2)求驻点:
23 解:(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V 33vvcv,,,,, yks,,122222Rhr,,, 依题意:,,Vrhvc,,,3
21222vvcks23,,,2,rR,, , ,,,VrRr ,23vc,,,(2) 求驻点
33,,,,ry,0令,驻点 vc,22,VrrRr2 ,,,,,,,2223Rr,,,(3)求最值:由实际问题的意义知道:
32r最小值存在,且驻点唯一,当时, vc,22,Vr令=0. ,,,Rr,,222Rr,客轮消耗燃料总费用最省.
32m17(欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的蓄水池,2232rR,rR,,驻点 3已知池底单位面积造价为池壁单位面积的3倍,问蓄水
池的尺寸怎样
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
,才能使总造价最低? 228,解:(1)列出函数关系式:设池底半径为h,池高为,?,,~?,,,r2rRR又 ,,R33池壁单位面积造价为元,总造价为,依题意: ya
(3) 求最值 22 ?yarrha,,32,,,3000,rh,由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一,
60002 ?,,,yara38,,,当时,漏斗的容积最大. r36000,(2) 求驻点: ,,,yara62r
10,第七讲:不定积分的概念与换元积分法y,0令,驻点, r3,
(3) 求最值: 的强化练习题答案
1012000,,,,,, y()0,,,ya633r,一、单项选择题(每小题4分,共24分)
Fxfx,,,,,1(设是在上的一个原函数,且10,,,,,,当,时,总造价最省. r3,
Fxfx为奇函数,则是 ( ) ,,,,
30003010h,,(4) 当,时, rA (偶函数 B( 奇函数 233,,,,10C( 非奇非偶函数 D(不能确定 ,,3,,,解:可导奇函数的导函数必为偶函数. ?
hr,3答:当时,总造价最低. ,?,fxFx必为偶函数.选A ,,,,18(从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下
的中心角为取多大时,做成的漏斗的容积最大? ,fxgx2(已知的一个原函数为,的一个原cosx,,,,
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22xfgx,,函数为,则的一个原函数为 ( ) ,,x,,fxx,,,选A ,,222cosxxA ( B( ,2xefx5(设是的一个原函数,则 ,,
2cosxC( D ( cosx
fxxfx,,,2(),, ( ) lim,,,,x0解:(1),?fxxx,,,cossin,x,,,,
,2x,2x,22e8eA( B( gxxxfgxx,,?,,2sin2,, ,,,,,,,,
,2x,2x,2,2e4eC( D( ?cos2cos(sin)xxx,,(2) ,,
解:(1) ,,?sin2x 选B
fx3(设为连续导函数,则下列命题正确的是 ,,fxxfx,,,,22,,,,,,,,,,lim原式= ,,x0,,,x( )
1,,,2fx ,A( ,,fxdxfxc22,,,,,,,2
,2x,fxdxfxc22,,B ( ?Fxe,(2) ,,,,,,,
,,,,22xxfxee2 ?,,,,C( fxdxfx222,,,,,,,,,,,,
,,22xx,fxdxfxc2,,D( ,,,,(3) 原式= 选D ,,,2(2)4ee,
1,,, 解: fxlnfxdxfxdx222,,,,,,,,x,,fxe,dx6(设,则=( ) 2,,,x1 ,,fxc2,,12,,lnxcA( B( ,,c选A x
122,fxxcossin,4(设且 lnxc,C( D( ,c,,xf00,fx ,则=( ) ,fxln,,,,,,,dxfxdx,lnln解:(1) ,,,,x1122A ( B( ,xxx,22,,fxcln ,,131,xC( D ( xx,,x3?fxe,,(2) ,,22,?fxxcos1cos,,解:(1) ,,
1ln1,xlnx?,,,fxeeln ,,,?,,fxx1 ,,x
12(3)原式= 选C ,cxfxxc,,, (2) ,,x2二、填空题 f00,fxc,0xxln且得 7(若是的一个原函数,则 ,,,,
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,, fx= ,,lncosfxx,,则 12(若,,,,,,
?Fxxx,lnfx, 解:(1) ,,,,
,,?,,,fxFxx1ln ,,,,lncosfxdxxdx,,,解: ,,,,,,
1,lnsinfxxc,, ,(2) fxx,,,1ln,,,,,,1x
cx,sinsinx1fxkx,tan2fxece,,,8(设的一个原函数为 ,,,,,,2三、计算题 k, ,则 lncos2x23xx 13(edx,3,,,2解: ?Fxx,lncos2,,22xxxx3,,eedx,,,323 解:原式= ,,,,,,,2sin2,x ?,,fx2,,,,x3cos2x2xx ,,,edxdxedx923,,,,,44,故 k,,,,,,tan21lnxFxx,,,,33xxx1923,,e2x ,,,,ec2fxdxxc,,9(若,则 ,,2ln91ln3,,
23xfxdx1,= sinlncoslnxx,,,,,,,,,,,,,,,dx14( ,x133 解: 原式= ,,,fxdx11,,,,,3sinlncoslnlnxxdx, 解:原式= ,,,,,13 ,,,,1xc,,3,sinlnsinlnxdx ,,,,,
cos2,,,10(, d2,12,= ,,sinlnxc,,,sin2,,,,,2
ln(tan)x2215( dxcossin,,,, 解:原式= d,sincosxx,224sincos,,
lntanx,,11dd,,dx 解:原式= 2, ,,tancosxx22,,44sincos,,
11 ,,,,,,lntanxcottantc,,,dxtan 44,tanx
1,,,,,,cscc或 ,,,lntanlntanxdx ,,,,2,,,
1fxdxFxc,,11(若,则 ,,,,arctan,21xdx 16( ,,,,lntanxc,,2,,,1,x,,xx2efedx, ,,,
,,,xxx,,,,fedeFec 解:原式= ,,,,,
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21 解:令xtdxtdt,,tan,secarctanxdx 解:原式= ,31,,tant22x,1原式= sectdt,,2,x,,sect
21tansectdt= ,arctan1,,x,,d ,,2,2x,,sec1sectdt ,,1,,,,,1,,,x,,13 ,,,secsecttc113 ,,arctanarctand,xx31回代12222 11,,,,xxc2,,,,11,,3 ,,,arctanc,,2x,,1dx 20(1,217( dxxx4,,1sin,x
1sin,x 解:原式= dx2,1sin,x
1sinx ,,dxdx2,,cosxcosx dxcos ,,tanx2,cosxxtdxtdt,,2sin,2cos 解:令 1,,,tanxc 2costcosx原式= dt,2sincostt
11 ,csctdt,18( dx,2xx,,21,,
公式1 lncsccotttc,,,,2 解:令 xtxtdxtdt,,,,,1,1,22
221t回代124,,x原式= dtdt,2 ln,c2,,21,t1,tt,,2x
四、综合题(每小题10分,共20分) 2arctantc,=
1回代dx21( 2arctan1xc,, ,2xx,9
11,3x 解:(倒代换)令 xdxdt,,,2dx19( tt,21,x
1,,tdt,,,2dtt,,原式= ,,,,2119,t,92t
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12dt3,,11 lnln1lnFxxc,,,,,,,1 ,,,,,arcsin3tc,223313,t,,2F02,c,2,由,得 Fxcx,,1,,,,1回代13 ,,arcsinc2 ?Fxx,,21,,3x
13222,xx ,,arccosc?,,fx ,,3x22211,,xx
xt,3sec,(注:(三角代换)令
1Gx()Fxfx24(设是的一个原函数,是的,,,,dxttdt,3sectan, fx()3sectan1tt原式= dttc,,,一个原函数且 9sectan3tt
FxGxf,,,1,01,证明: ,,,,,,回代13) arccos,c3xx,xfxe,fxe,或 ,,,,
x22( edx,1,?FxGx,,,1.证:(1) ,,,,
xx2etet,,,,1,1, 解:令
,,?,,FxGxFxGx0 ,,,,,,,,2t2 xtdxdt,,,ln1,,,21,t1,,,fxGxFx0 ,,,,,,2fx,,ttt,,,211原式= dtdt,2,,2211,,tt
,11,,,fxFx0 ,,,,Fxfx2arctanttc,,= ,,,,,,
22,,Fxfx 回代,,,,xx21arctan1eec,,,, ,,
Fxfx,i(2)讨论,若,即 ,,,,,,五、 证明题(每小题9分,共18分)
,fx,,Fx,0fx23(设是 的一个原函数,且,,,,, fxfx,,,1 ,,,,fx,,
fx,,xF02,,,, ,,x2ln,fxxc,,fxce, ,,,,Fx1,x,,1
2xf01,c,1由,得 ,,fx,证明: ,,21,xxfxe,故有 ,,
,Fx,,x,?fxFx,?, 证: ,,,,2,Fxfx,,fxfx,,ii若,即 ,,,,,,,,,,Fx1,x,,
,x,Fx,,,,,,lnfxxcfxce,x, ,,,,2dxdx, 2,,Fx1,x,,
f01,c,1由,得 ,,
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,x,x,xfxe,exc,,1,,,exc1故有 证毕 B( A( ,,,,,,选做题 ,x,xexc1,,exc,,1C( D( ,,,,
11( dx,10,,xx,FxefxFxe,?,,,,xx,2解: ,,,,,,,,
1010xx,,2,,xdFx原式= ?1,,,解:原式= ,,102xx,2,,
,,xFxFxdx ,,,,,9,,1dxx ,,dx,,,xxx,,,,10,,,,,xeedxxec1 ,,2xx,2,,,
10选A ,,dx,2,,11,, ,,,lnx2,10lnxfx2(若的一个原函数为,则 ,,210x,2,,,,
,xfxdx,( ) 11,,,,10,,,,,lnln2xxc ,,,,210,,22lnlnxxc,,2lnlnxxc,,A( B(
xex,sin选做题2( dx22,x2lnlnxxc,,lnlnxxc,,C( D( ex,cos
2xFxx,ln,解: ,,dex,cos,,解:原式= ,xex,cos2, fxFxx,,ln,,,,xx,,,lncosexc
,xfxdxxdfx, ,,,,,,1选做题3( dx4,sinx,,xfxfxdx ,,,,,2csccotxdx,解:原式= ,,,2,,,2lnlnxxc 2,,,1cotcotxdx ,,,选C
13,fxxxln1ln,,3(设,则 ,,,,cotcotxxc,,,,3
fx =( ) ,,
第八讲:不定积分的分部积分法等的22xxxx1A(xec,, B(xec,,, ,,22强化练习题答案
22xxxx1C(xec,, D(xec,,, ,,22一、单项选择题(每小题4分,共24分)
,xlnx,efx1(设是的一个原函数,则 ?fxexln1ln,,解:(1) ,,,,,,
x,xfxdx,( ) ?,,fxex1 ,,,,,,,
15
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1xfxxedx,,1 (2) A( ,,,,arctanxc,,,x
122B( ,,arctanxcxxxxx ,,xde,,,,xeecx,221C( ,,,arctanxc选B x
1,,xfxdx4(= ( ) D( ,,,,,arctanxc,x
22xx,,1,xfxfxdx,A( ,,,,,解: 原式,dx ,22xx1,,,xfxfxc,,B( ,,,,11 ,,dxdx22,,xx1,,xfxfxc,,C( ,,,,1 ,,,,arctanxcx,fxxfxc,,D( ,,,,选C
二、填空题(每小题4分,共24分) ,xdfx解: 原式= ,,,
lnxdx7(= ,
,,,,xfxfxdx ,,,,,
,,xxxdxlnln解: 原式 ,,,,xfxdfx ,,,,,1 ,,,xxxdxln,x,,,,xfxfxc 选C ,,,,,,,xxxcln
xxdx,5( ( ) 8( edx,2,,cosx
xxxctanlncos,,A( xt,t2etdt,解: 原式 ,xxxctanlncos,,B(
ttt,,,,222tdeteec ,
xxxctanlnsin,,C(
回代xx22xeec,, xxxctanlnsin,,D(
1xdxtan解: 原式= ,dx9(= ,xx,,12,,,,sinx ,,xxdxtan,cosxxx,,,21拆项,,,, 解: 原式 dxdxcos,= xxtan,xx,,12,,,,,cosx
1dxxxxctanlncos,,= ,,dx,,xx,,12
选B ,,,,,ln1ln2xxc
16( ( ) dx,,22xx1,,,
16
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1122 x,1=xxxxcarctanln1arctan,,,,,,,, ,,lnc22x,2
xxxdxcossin15( ,x,fexx,,,1010(若,则 ,,,,1解:原式= xxdx,sin2,2fx= ,,,1= xdxcos2,xx4,?fee,,1ln解:(1) ,,,1,,= xxxdxcos2cos2,,,,4,?,,fxx1ln ,,,11= xxxecos2sin2,,48fxxxxxcxxc,,,,,,lnln (2) ,,,,23,x16( xedx,x11(dx, 2,sinx22x2,x.解:原式= xed,xdx,cot 解: 原式=? ,,2
cosx2,,,xxcot? dxxt,11,,tt tedttde,,,sinx,,22,,,xxxcotlnsin ,c1,,tt,, teedt,,,,,,222,xfxfxdx,12( ,,,,,1,,tt,, teec,,,,,,12222, 解: 原式= fxfxdx,,,,,,2回代212,x,,2凑微分11xec,,,1 ,,222,,,, fxdfxfxc,,,,,,,,2,,,24
三、计算题(每小题8分,共64分) 2xxdxcos17( ,lnsinx13( dx2,2cosx,xdxsin 解: 原式 ,
lnsintanxdx.解:原式= ,22 ,,xxxdxsinsin,cosx= tanlnsintanxxxdx,,,,,,2sinx,,xxxxdxsin2sin ,tanlnsinxxdx,,= ,,,2,,xxxdxsin2cos ,tanlnsinxxxc,,,= ,,2,,,xxxxsin2cos2cosxdx ,211,,x14( arctanxdx22,xxxxxcsin2cos2sin,,,= 1,x
3x218( edxx,arctanxdx解:原式= 2,1,x3xt,2tx3etdt,解: 原式 ,= xdxxdxarctanarctanarctan,,2,,1,x
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2t,,xfxdx21, 证 ,,tde=3? ,
12tt,, ,,,,,32teetdt ,,,xfxdx2121,,,,,,,,2
12tt,, ,,,32tetde ,,xdfx21,,,,,,2
12ttt,,,, ,,,,,322teteedt ,,,,fxxfxdx2121,,,,,,,,,,2
1112133311,,xxx33 ,,,,36xexeec,,,,,,,fxxfxdx212121,,,,,,,,,22,,4xx119(dx 2,, ,,,,,fxfxc2121,,,,1,x24
五、综合题 4x,,11 解: 原式 ,dx32,secxdx22( 1,x,
132,secxdx解: 原式 ,,,xdxdx1,,,,,21,x
23,,1tansecxxdx ,,x,,,,,xxcarctan 3
,,tansecsecxdxxdx ,,xdx20( 2,xx,,62secsecxxsecxdx,sectanxx-?+?
xx,解:(1) 32,secxdxxx,,32,,,,sectanlnsectanxxxx xx,,6,,,,,AB3secx移项: AxBxx,,,,23,,, ,,,,,xx,,32
31x,3令,5A=3,, A,,,,,,,sectanlnsectanxxxxc,,52
2sinxx,,2fx令,得 23(已知的一个原函数为, B,,,5x
323,xfxdx求 ,,,55(2) 原式= dxdx,,,sinxxx,,32解: ?Fx,,,xdx,2,,32xxxcossin,ln3x,,= ,, ?,,fxFx,,,,552x,2x323,xdfx原式 ,,,,,,,ln3ln2xxc,55
四、证明题(本题8分) 32,,,xfxfxxdx3 ,,,,,
fx21(已知有二阶连续导数,证明 ,,xxxxxxcossincossin,,22,,,xxdx3,22x1xx,,,xfxdx21, ,,,,,fxxc2121,,,,,,,224,,,,xxxxxdxxdxcossin3sin3sin,,
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2x1,,,,,xxxxxxxdxxdxcossin3sin3sin3sine,,dxdx, =,,2x2xe,11e,2,,,,xxxxxccos4sin6cos xx,deedx ,,x,1,,22xx,24( dx11,,ee2,xx,,29
,x2de解: ?pq,,,,44360xx2ee,,,,ln1 ,,,,x2e1,配方x,,12原式 dx?2xxx2,,,,,,,ln1arcsineeec x,,18,,,,
tdttdtxtt,,,12 ,,2dt 222,,,tt,,88t,8
2dt,8,, 12t ,,,arctanc,22t,888
回代121x,2 (注:ln29arctanxxc,,,,,,2222
1224x,,原式= ,2,2xx,,29
2dxx,,29,,dx,1,,1 ,,dx2,,222xx,,29x,,18,,
121x,2) ,,,,,ln29arctanxxc,,2222
2x2选做题1(计算 exdx1tan,,,,
22xexxdx1tan2tan,, 解: 原式= ,,,
2x2x,,edxexdxtan2tan ,,
222xxx,,,,,exxedxexdxtantan22tan,,
22xx,,,exxedxtan2tan ,
2x2x,,exctan,2tanxedx ,
xe,1选作题2( dx,xe,1
xe,1解: 原式=? dx2xe,1
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